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ksdensity

单变量和二元数据的核平滑函数估计

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语法

[f,xi] = ksdensity(x)
[f,xi] = ksdensity(x,pts)
[f,xi] = ksdensity(___、名称、值)
[f,xi,bw] = ksdensity(___）
ksdensity (___）
ksdensity (ax,___）

描述

例子

［f，西= ksdensity(x）返回概率密度估计值，f，表示向量或两列矩阵中的样本数据x．估计是基于一个正常的核函数，并在等间距的点上进行评估，西的数据范围x．ksdensity对单变量数据估计密度为100点，对双变量数据估计密度为900点。

ksdensity最适合连续分布的样本。

例子

［f，西= ksdensity(x，分）指定点(分)来评估f．在这里,西而且分包含相同的值。

例子

［f，西= ksdensity(___，名称,值）除前面语法中的任何输入参数外，使用由一个或多个名-值对参数指定的其他选项。例如，可以定义函数类型ksdensity计算，如概率密度、累积概率、幸存者函数等。或者你可以指定平滑窗口的带宽。

例子

［f，西，bw= ksdensity(___）还返回核平滑窗口的带宽，bw．默认带宽是正常密度的最佳带宽。

例子

ksdensity (___）绘制核平滑函数估计。

ksdensity (斧头，___）使用带有句柄的轴绘制结果，斧头，而不是返回的当前轴gca．

例子

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打开实时脚本

从两个正态分布的混合物中生成一个样本数据集。

rng (“默认”）%用于再现性X = [randn(30,1);5 + randn(30日1)];

画出估计的密度。

[f,xi] = ksdensity(x);图绘制(xi, f);

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。

密度估计显示了样品的双峰性。

打开实时脚本

从半正态分布生成一个非负样本数据集。

rng (“默认”）%用于再现性Pd = makedist(“HalfNormal”，“亩”0,“σ”1);X = random(pd,100,1);

用两种不同的边界修正方法，对数变换和反射来估计pdf“BoundaryCorrection”名称-值对参数。

PTS = linspace(0,5,1000);%的点来评估估计器[f1,xi1] = ksdensity(x,pts，“万博1manbetx支持”，“积极”）;[f2,xi2] = ksdensity(x,pts，“万博1manbetx支持”，“积极”，“BoundaryCorrection”，“反射”）;

绘制两个估计的pdf文件。

Plot (xi1,f1,xi2,f2) LGD = legend(“日志”，“反射”）;标题(乐金显示器,“边界修正法”) xl = xlim;xlim ([-0.25 xl xl (1) (2)))

图中包含一个轴对象。axis对象包含2个line类型的对象。这些对象代表日志、反射。

ksdensity当指定正支持或有界支持时，使用边界修正方法。万博1manbetx默认的边界修正方法是对数变换。当ksdensity将支持转换回来，它引入万博1manbetx1 / x核密度估计中的项。因此，估计有一个峰值附近X = 0．另一方面，反射法不会在边界附近产生不理想的峰。

打开实时脚本

加载样例数据。

负载医院

计算并绘制在指定值集上计算的估计cdf。

pts = (min(hospital.Weight):2:max(hospital.Weight));图()ecdf(医院。重量)等待在[f,xi,bw] = ksdensity(医院。体重、分“万博1manbetx支持”，“积极”，.．.“函数”，“提供”）;情节(xi, f,“g”，“线宽”2)传说(“经验提供”，“kernel-bw:违约”，“位置”，“西北”)包含(“病人体重”) ylabel (“估计提供”）

图中包含一个轴对象。坐标轴对象包含楼梯、直线类型的2个对象。这些对象表示经验cdf, kernel-bw:default。

ksdensity似乎平滑累积分布函数估计太多。较小带宽的估计可能产生更接近经验累积分布函数的估计。

返回平滑窗口的带宽。

bw
Bw = 0.1070

用较小的带宽绘制累计分布函数估计值。

[f,xi] = ksdensity(医院。体重、分“万博1manbetx支持”，“积极”，.．.“函数”，“提供”，“带宽”, 0.05);情节(xi, f,“——r”，“线宽”2)传说(“经验提供”，“kernel-bw:违约”，“kernel-bw: 0.05”，.．.“位置”，“西北”)举行从

图中包含一个轴对象。坐标轴对象包含三个楼梯、直线类型的对象。这些对象表示经验cdf, kernel-bw:default, kernel-bw:0.05。

的ksdensity带宽越小的估计越符合经验累积分布函数。

打开实时脚本

加载样例数据。

负载医院

在50个等距点处绘制估计的cdf。

图()ksdensity(医院。重量,“万博1manbetx支持”，“积极”，“函数”，“提供”，.．.“NumPoints”, 50)包含(“病人体重”) ylabel (“估计提供”）

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。

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从均值为3的指数分布生成样本数据。

rng (“默认”）%用于再现性X =随机的(“经验”, 3100, (1);

创建一个表示审查的逻辑向量。在这里，寿命超过10年的观测结果被审查。

T = 10;cens = (x>T);

计算并绘制估计密度函数。

图ksdensity (x,“万博1manbetx支持”，“积极”，“审查”岑);

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。

计算并绘制幸存者函数。

图ksdensity (x,“万博1manbetx支持”，“积极”，“审查”岑,.．.“函数”，“幸存者”）;

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。

计算并绘制累积危险函数。

图ksdensity (x,“万博1manbetx支持”，“积极”，“审查”岑,.．.“函数”，“cumhazard”）;

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。

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生成两个正态分布的混合物，并在指定的概率值集上绘制估计的逆累积分布函数。

rng (“默认”）%用于再现性X = [randn(30,1);5 + randn(30日1)];PI = linspace(.01，.99,99);图ksdensity (x,π,“函数”，“icdf”）;

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。

打开实时脚本

生成两个正态分布的混合。

rng (“默认”）%用于再现性X = [randn(30,1);5 + randn(30日1)];

返回用于概率密度估计的平滑窗口带宽。

[f,xi,bw] = ksdensity(x);bw
Bw = 1.5141

默认带宽对于正常密度是最优的。

画出估计的密度。

图绘制(xi, f);包含(“十一”) ylabel (“f”)举行在

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。

使用增加的带宽值绘制密度。

[f,xi] = ksdensity(x，“带宽”, 1.8);情节(xi, f,“——r”，“线宽”, 1.5)

图中包含一个轴对象。axis对象包含2个line类型的对象。

更高的带宽进一步平滑密度估计，这可能会掩盖分布的一些特征。

现在，用减小的带宽值绘制密度。

[f,xi] = ksdensity(x，“带宽”, 0.8);情节(xi, f,“同意”，“线宽”传说,1.5)('bw = default'，'bw = 1.8'，'bw = 0.8')举行从

图中包含一个轴对象。axis对象包含3个line类型的对象。这些对象表示bw = default, bw = 1.8, bw = 0.8。

较小的带宽使密度估计更平滑，这夸大了样本的某些特征。

打开实时脚本

创建一个由点组成的两列向量来评估密度。

Gridx1 = -0.25:.05:1.25;Gridx2 = 0:.1:15;[x1,x2] = meshgrid(gridx1, gridx2);X1 = X1 (:);X2 = X2 (:);

从二元正态分布的混合物中生成一个包含随机数的30 × 2矩阵。

rng (“默认”）%用于再现性X = [0+.5*rand(20,1) 5+2.5*rand(20,1);综合成绩+ .25 *兰德(10,1)8.75 + 1.25 *兰德(10,1)];

绘制样本数据的估计密度。

图ksdensity (x, xi);

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个surface类型的对象。

输入参数

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其中的示例数据ksdensity返回f值，指定为列向量或两列矩阵。对于单变量数据使用列向量，对于双变量数据使用两列矩阵。

例子:[f,xi] = ksdensity(x)

数据类型:单|双

要计算的点f，指定为向量或两列矩阵。对于单变量数据，分可以是行向量或列向量。返回输出的长度f等于里面的点数分．

例子:PTS = (0:1:25);ksdensity (x,分);

数据类型:单|双

图形的轴句柄ksdensity绘制到，指定为句柄。

例如，如果h那是一个数字的柄吗ksdensity可以画出这样的图形。

例子:ksdensity (h, x)

名称-值参数

的可选逗号分隔对名称,值参数。的名字参数名称和价值对应的值。的名字必须出现在引号内。您可以以任意顺序指定多个名称和值对参数Name1, Value1,…,的家．

例子:“审查”,岑,“内核”、“三角形”,“NumPoints”,20岁的“函数”,“提供”指定ksdensity通过在覆盖数据范围的20个等间隔点上评估CDF，使用三角核平滑函数并考虑向量中的删减数据信息岑．

核平滑窗口的带宽，这是一个函数的点的数量x，指定为逗号分隔的对，由“带宽”和一个标量值。如果样本数据是二元的，带宽也可以是二元向量。默认值是估计正常密度的最佳值［1］，但你可能想要选择一个更大或更小的值来平滑或多或少。

如果你指定“BoundaryCorrection”作为“日志”(默认),“万博1manbetx支持”作为“积极”或者向量(L U)，ksdensity使用日志转换将有界数据转换为无界数据。的价值“带宽”在变换后的值的尺度上。

例子:“带宽”,0.8

数据类型:单|双

边界修正方法，指定为由逗号分隔的对组成“BoundaryCorrection”而且“日志”或“反射”．

价值 描述
“日志”

ksdensity转换有界数据x不受下列转换之一的限制。然后，经过密度估计后，变换回原来的有界尺度。

  • 对于单变量数据，如果指定“万博1manbetx支持”,“积极”,然后ksdensity适用于日志(x)．

  • 对于单变量数据，如果指定“万博1manbetx支持”,[L U],在那里l而且U数字标量和L < u,然后ksdensity适用于日志((xl) / (U-x))．

  • 对于二元数据，ksdensity变换的每一列x单变量数据也是如此。

的价值“带宽”和bw输出以转换后的值为尺度。
“反射”

ksdensity通过在边界附近添加反射数据来增强有界数据，然后返回与原始支持相对应的估计值。万博1manbetx详细信息请参见反射法．

ksdensity仅在指定时应用边界校正“万博1manbetx支持”作为一种价值“无限”．

例子:“BoundaryCorrection”、“反射”

表示哪些条目被删除的逻辑向量，指定为逗号分隔的对，由“审查”和一个二进制值的向量。值为0表示没有审查，值为1表示观察结果被审查。默认情况是没有审查。此名称-值对仅对单变量数据有效。

例子:“审查”,censdata

数据类型:逻辑

函数要估计，指定为逗号分隔的对，由“函数”下面是其中之一。

价值 描述
“pdf” 概率密度函数。
“提供” 累积分布函数。
“icdf”

逆累积分布函数。ksdensity计算中值的估计逆CDFx，并按中指定的概率值计算π．

该值仅对单变量数据有效。
“幸存者” 幸存者的功能。
“cumhazard”

累积危险函数。

该值仅对单变量数据有效。

例子:“函数”，“icdf”

内核平滑器的类型，指定为逗号分隔的对，由“内核”下面是其中之一。

  • “正常”(默认)

  • “盒子”

  • “三角形”

  • “epanechnikov”

  • 一种自定义或内置函数的内核函数。将函数指定为函数句柄(例如，@myfunction或@normpdf)或作为字符向量或字符串标量(例如，“myfunction”或“normpdf”)．该软件使用一个参数调用指定的函数，该参数是数据值和计算密度的位置之间的距离数组。该函数必须返回一个相同大小的数组，其中包含核函数的相应值。

    当“函数”是“pdf”时，核函数返回密度值。否则，它返回累积概率值。

    指定自定义内核时“函数”是“icdf”返回一个错误。

对于二元数据，ksdensity对每个维度应用相同的内核。

例子:“内核”、“盒子”

中等距点的数目西，指定为逗号分隔的对，由“NumPoints”和一个标量值。此名称-值对仅对单变量数据有效。

例如，对于指定函数在样本数据范围内80个等间隔点上的核平滑估计，输入:

例子:“NumPoints”,80年

数据类型:单|双

万博1manbetx支持的密度，指定为由逗号分隔的对组成“万博1manbetx支持”下面是其中之一。

价值 描述
“无限” 违约。允许密度扩展到整个实线。
“积极” 将密度限制为正值。
双元素向量,(L U) 给出密度支持的有限下界和上界。万博1manbetx此选项仅对单变量样本数据有效。
2乘2矩阵,(L1 L2;U1 U2) 给出密度支持的有限下界和上界。万博1manbetx第一行包含下限，第二行包含上限。此选项仅对二元样本数据有效。

对于二元数据，“万博1manbetx支持”可以是正数、无界或有界变量的组合，指定为[0负无穷;正正)或[0 L;正你)．

例子:“万博1manbetx支持”,“积极”

例子:“万博1manbetx支持”,[0 10]

数据类型:单|双|字符|字符串

函数用于创建内核密度图，指定为逗号分隔的对，由“PlotFcn”下面是其中之一。

价值 描述
“冲浪” 三维阴影表面图，创建使用冲浪
“轮廓” 等高线图，创建使用轮廓
“plot3” 3-D线图，创建使用plot3
“surfc” 三维阴影表面下的等高线图，使用surfc

此名值对仅对二元样本数据有效。

例子:“PlotFcn”、“轮廓”

样例数据的权重，指定为逗号分隔的对，由“重量”和一个长度向量大小(x, 1),在那里x是示例数据。

例子:“重量”,xw

数据类型:单|双

输出参数

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估计的函数值，返回为一个向量，其长度等于在西或分．

评估点ksdensity计算f，以向量或两列矩阵的形式返回。对于单变量数据，默认是100个等间距的点，涵盖的数据范围x．对于二元数据，默认是900个等间距点meshgrid从每个维度的30个等距点开始。

平滑窗口的带宽，作为标量值返回。

如果你指定“BoundaryCorrection”作为“日志”(默认),“万博1manbetx支持”作为“积极”或者向量(L U)，ksdensity使用日志转换将有界数据转换为无界数据。的价值bw在变换后的值的尺度上。

更多关于

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内核分配

核分布是随机变量的概率密度函数(pdf)的非参数表示。当参数分布不能正确描述数据时，或者当您希望避免对数据的分布进行假设时，可以使用内核分布。核分布由平滑函数和带宽值定义，带宽值控制得到的密度曲线的平滑度。

核密度估计器是一个随机变量的估计pdf。的任何实值x时，核密度估计器的公式为

f ＾ h （ x ） ＝ 1 n h ∑ 我 ＝ 1 n K （ x − x 我 h ） ，

在哪里x1，x2、……xn是来自未知分布的随机样本，n是样本容量， K （ · ） 是核平滑函数，和h是带宽。

的任何实值，累积分布函数(cdf)的核估计器x，由

F ＾ h （ x ） ＝ ∫ − ∞ x f ＾ h （ t ） d t ＝ 1 n ∑ 我 ＝ 1 n G （ x − x 我 h ） ，

在哪里 G （ x ） ＝ ∫ − ∞ x K （ t ） d t ．

详情请参见内核分配．

反射法

反射法是一种边界修正方法，当随机变量具有有界支持时，它能准确地找到核密度估计量。万博1manbetx如果你指定“BoundaryCorrection”、“反射”，ksdensity使用反射方法。该方法通过添加边界附近的反射数据来增强有界数据，并估计pdf。然后,ksdensity通过适当的归一化返回与原始支持度相对应的估计PDF，以便估计PDF对原始支持度的积分等于1。万博1manbetx

如果你另外指定“万博1manbetx支持”,[L U],然后ksdensity如下所示查找核估计器。

  • 如果“函数”是“pdf”，则核密度估计量为

    f ＾ h （ x ） ＝ 1 n h ∑ 我 ＝ 1 n ［ K （ x − x 我 − h ） + K （ x − x 我 h ） + K （ x − x 我 + h ） ］ 为l≤x≤U，

    在哪里 x 我 − ＝ 2 l − x 我 ， x 我 + ＝ 2 U − x 我 ,x我是我样本数据。

  • 如果“函数”是“提供”，则CDF的核估计量为

    F ＾ h （ x ） ＝ 1 n ∑ 我 ＝ 1 n ［ G （ x − x 我 − h ） + G （ x − x 我 h ） + G （ x − x 我 + h ） ］ − 1 n ∑ 我 ＝ 1 n ［ G （ l − x 我 − h ） + G （ l − x 我 h ） + G （ l − x 我 + h ） ］ 为l≤x≤U．

  • 为了获得逆cdf、幸存者函数或累积危险函数的核估计量(当“函数”是“icdf”，“幸存者”,或“cumhazrd”)，ksdensity使用两种 f ＾ h （ x ） 而且 F ＾ h （ x ） ．

如果你另外指定“万博1manbetx支持”作为“积极”或[0正],然后ksdensity通过替换找到核估计器(L U)与[0正]在上面的方程中。

参考文献

[1]鲍曼，a.w.和A.阿扎里尼。平滑技术在数据分析中的应用．纽约:牛津大学出版社，1997年。

[2] Hill, P. D. <分布函数的核估计>。统计通讯-理论与方法“，．第14卷，1985年第3期，第605-620页。

[3] Jones, m.c.“核密度估计的简单边界修正”。统计与计算．第3卷，1993年第3期，第135-146页。

[4]西尔弗曼，b.w.。用于统计和数据分析的密度估计．查普曼和霍尔/CRC, 1986年。

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