模拟钟摆周期性摆动的运动gydF4y2Ba

此示例演示如何使用符号数学工具箱™模拟单摆的运动。推导出摆的运动方程，然后对小角度的摆进行解析求解，对任意角度的摆进行数值求解。gydF4y2Ba

第一步:推导运动方程gydF4y2Ba

摆是一个遵循微分方程的简单机械系统。钟摆最初是在垂直位置上静止的。当摆被一个角度移动时gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 释放后，重力把它拉回到它的静止位置。它的动量使它超越并形成一个角度gydF4y2Ba $-gydF4y2Ba θgydF4y2Ba$ (如果没有摩擦力)等等。沿钟摆运动方向由于重力的恢复力为gydF4y2Ba $-gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba θgydF4y2Ba$ 。因此，根据牛顿第二定律，质量乘以加速度一定是相等的gydF4y2Ba $-gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba θgydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Ba米gydF4y2Ba一个gydF4y2BaggydF4y2Baθ(t)gydF4y2Baeqn = m*a == -m*g*sin(theta)gydF4y2Ba

eqn (t) =gydF4y2Ba
                  $一个gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba -gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba (gydF4y2Ba θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

对于有长度的钟摆gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$ ，摆锤的加速度等于角加速度乘以gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

$一个gydF4y2Ba =gydF4y2Ba rgydF4y2Ba \frac{{dgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} θgydF4y2Ba}{dgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}$ 。gydF4y2Ba

代替gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$ 通过使用gydF4y2Ba潜艇gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BargydF4y2Baeqn =潜艇(eqn r * diff(θ,2))gydF4y2Ba

eqn (t) =gydF4y2Ba
                 
                   $米gydF4y2Ba rgydF4y2Ba \frac{{\partialgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba -gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba (gydF4y2Ba θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

把角加速度分离出来gydF4y2BaeqngydF4y2Ba通过使用gydF4y2Ba隔离gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

eqn =隔离(eqn diff(θ,2))gydF4y2Ba

eqn =gydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{ggydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba (gydF4y2Ba θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba}$

收集常量gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$ 和gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$ 转换成单个参数，也称为gydF4y2Ba固有频率gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba \sqrt{\frac{ggydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba}}$ 。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Baomega_0gydF4y2Baeqn =潜艇(eqn, g / r, omega_0 ^ 2)gydF4y2Ba

eqn =gydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} 罪gydF4y2Ba (gydF4y2Ba θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

第二步:将运动方程线性化gydF4y2Ba

运动方程是非线性的，很难用解析方法求解。假设角度很小，用泰勒展开将方程线性化gydF4y2Ba $罪gydF4y2Ba θgydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaxgydF4y2Ba约=泰勒(sin (x), x,gydF4y2Ba“秩序”gydF4y2Ba2);约=潜艇(大约x,θ(t))gydF4y2Ba

约=gydF4y2Ba
                  $θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

运动方程变成了线性方程。gydF4y2Ba

eqnLinear =潜艇(eqn,罪(θ(t)),约)gydF4y2Ba

eqnLinear =gydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

第三步:解析求解运动方程gydF4y2Ba

解方程gydF4y2BaeqnLineargydF4y2Ba通过使用gydF4y2BadsolvegydF4y2Ba。指定初始条件作为第二个参数。通过假设来简化解gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 是真实的使用gydF4y2Ba假设gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Batheta_0gydF4y2Batheta_t0gydF4y2Batheta_t = diff(θ);cond = [theta(0) == theta_0, theta_t(0) == theta_t0];假设(omega_0gydF4y2Ba“真实”的gydF4y2BathetaSol(t) = dsolve(eqnLinear,cond)gydF4y2Ba

thetaSol (t) =gydF4y2Ba
                 
                   ${θgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} 因为gydF4y2Ba (gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba \frac{{θgydF4y2Ba}_{t0gydF4y2Ba} 罪gydF4y2Ba (gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{{ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}}$

第四步:物理意义gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$

这个词gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba$ 被称为gydF4y2Ba阶段gydF4y2Ba。cos和sin函数重复每一次gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba$ 。需要改变的时间gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba$ 通过gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba$ 叫做时间段。gydF4y2Ba

$TgydF4y2Ba =gydF4y2Ba \frac{2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba}{{ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}} =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba \sqrt{\frac{rgydF4y2Ba}{ggydF4y2Ba}}$ 。gydF4y2Ba

的时间段gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$ 正比于钟摆长度的平方根它不依赖于质量。对于线性运动方程，时间周期不依赖于初始条件。gydF4y2Ba

第五步:画钟摆运动gydF4y2Ba

为小角度近似值绘制钟摆的运动曲线。gydF4y2Ba

定义物理参数:gydF4y2Ba

重力加速度gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba =gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba {米/秒gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$
摆的长度gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba$

gValue = 9.81;右值= 1;omega_0Value =√gValue /右值);T = 2 *π/ omega_0Value;gydF4y2Ba

设置初始条件。gydF4y2Ba

theta_0Value = 0.1 *π;gydF4y2Ba解只对小角度有效。gydF4y2Batheta_t0Value = 0;gydF4y2Ba%最初在休息。gydF4y2Ba

将物理参数和初始条件代入通解。gydF4y2Ba

vars = [omega_0 theta_0 theta_t0];value = [omega_0Value theta_0Value theta_t0Value];thetaSolPlot =潜艇(thetaSol、var值);gydF4y2Ba

画出谐波摆的运动。gydF4y2Ba

fplot (thetaSolPlot (t * t) /π,[0 5);网格gydF4y2Ba在gydF4y2Ba;标题(gydF4y2Ba“谐摆运动”gydF4y2Ba);包含(gydF4y2Ba“电汇”gydF4y2Ba);ylabel (gydF4y2Ba“θ/ \ \π”gydF4y2Ba);gydF4y2Ba

找到解决方案后gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ ，想象钟摆的运动。gydF4y2Ba

x_pos =罪(thetaSolPlot);y_pos = cos (thetaSolPlot);fanimator (@fplot x_pos y_pos,gydF4y2Ba“柯”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“MarkerFaceColor”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“k”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“AnimationRange”gydF4y2Ba[0 5 * T]);持有gydF4y2Ba在gydF4y2Ba;fanimator(@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，gydF4y2Ba“k -”gydF4y2Ba),gydF4y2Ba“AnimationRange”gydF4y2Ba[0 5 * T]);fanimator (@ (t)文本(-0.3,0.3,gydF4y2Ba计时器:“gydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +gydF4y2Ba“s”gydF4y2Ba),gydF4y2Ba“AnimationRange”gydF4y2Ba[0 5 * T]);gydF4y2Ba

输入的命令gydF4y2Ba那里gydF4y2Ba播放钟摆运动的动画。gydF4y2Ba

步骤6:确定非线性摆运动使用恒定能量路径gydF4y2Ba

为了理解钟摆的非线性运动，可以用总能量方程来表示钟摆的运动轨迹。总能量是守恒的。gydF4y2Ba

$EgydF4y2Ba =gydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{2gydF4y2Ba} 米gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} {(gydF4y2Ba \frac{dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba}{dtgydF4y2Ba})gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba (gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba -gydF4y2Ba 因为gydF4y2Ba θgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

利用三角恒等式gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba -gydF4y2Ba 因为gydF4y2Ba θgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {罪gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ 和的关系gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba \sqrt{ggydF4y2Ba /gydF4y2Ba rgydF4y2Ba}$ 来改写能量的比例。gydF4y2Ba

$\frac{EgydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} =gydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{2gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba {(gydF4y2Ba \frac{dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba}{dtgydF4y2Ba})gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {(gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} 罪gydF4y2Ba \frac{θgydF4y2Ba}{2gydF4y2Ba})gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}]gydF4y2Ba$

由于能量是守恒的，所以摆的运动可以用相空间中恒定的能量路径来描述。相空间是一个具有坐标的抽象空间gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 和gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba$ 。使用以下工具可视化这些路径gydF4y2BafcontourgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaθgydF4y2Batheta_tgydF4y2Baomega_0gydF4y2BaE(θ,theta_t omega_0) = (1/2) * (theta_t ^ 2 + (2 * omega_0 * sin(θ/ 2))^ 2);Eplot(theta, theta_t) = subs(E,omega_0,omega_0Value);图;fc = fcontour(Eplot(pi*theta, 2*omega_0Value*theta_t)， 2*[-1 -1 -1]，gydF4y2Ba…gydF4y2Ba“线宽”gydF4y2Ba2,gydF4y2Ba“LevelList”gydF4y2Ba0:5:50,gydF4y2Ba“MeshDensity”gydF4y2Ba1 + 2 ^ 8);网格gydF4y2Ba在gydF4y2Ba;标题(gydF4y2Ba“相位空间中的恒定能量等值线(\theta vs. \theta_t)”gydF4y2Ba);包含(gydF4y2Ba“θ/ \ \π”gydF4y2Ba);ylabel (gydF4y2Ba“\ theta_t / 2 \ omega_0”gydF4y2Ba);gydF4y2Ba

等能线是对称的gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 轴和gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba$ 轴是周期的gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 轴。图中显示了两个具有不同行为的区域。gydF4y2Ba

等高线图的较低能量接近它们本身。钟摆在两个最大角度和速度之间来回摆动。摆的动能不足以克服万有引力，使摆完成一个完整的循环。gydF4y2Ba

等高线图的高能量并不封闭。钟摆总是朝着一个角的方向运动。钟摆的动能足以克服万有引力，使钟摆完成一个完整的循环。gydF4y2Ba

第七步:解非线性运动方程gydF4y2Ba

非线性运动方程为二阶微分方程。数值求解这些方程gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba解算器。因为gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba只接受一阶系统，将系统简化为一阶系统。然后，生成作为输入的函数句柄gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

将二阶ODE重写为一阶ODE系统。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Baθ(t)gydF4y2Batheta_t (t)gydF4y2Baomega_0gydF4y2Baeqs = [diff(theta) == theta_t;diff (theta_t) = = -omega_0 ^ 2 *罪(θ)]gydF4y2Ba

方程式(t) =gydF4y2Ba
                 
                   $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} {θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} 罪gydF4y2Ba (gydF4y2Ba θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

方程式=潜艇(方程式,omega_0 omega_0Value);vars = [theta, theta_t];gydF4y2Ba

求质量矩阵gydF4y2Ba米gydF4y2Ba方程组的右边gydF4y2BaFgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[M F] = massMatrixForm(方程式一样,var)gydF4y2Ba

M =gydF4y2Ba
                 
                   $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} 1gydF4y2Ba & 0gydF4y2Ba \\ 0gydF4y2Ba & 1gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

F =gydF4y2Ba
                 
                   $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} {θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ -gydF4y2Ba \frac{981gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba (gydF4y2Ba θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \end{array})gydF4y2Ba$

米gydF4y2Ba和gydF4y2BaFgydF4y2Ba请参阅此表格。gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba \frac{dxgydF4y2Ba}{dtgydF4y2Ba} =gydF4y2Ba FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba$

为了简化进一步的计算，将系统重写为以下形式gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba xgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

f = M \ fgydF4y2Ba

f =gydF4y2Ba
                 
                   $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} {θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ -gydF4y2Ba \frac{981gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba (gydF4y2Ba θgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \end{array})gydF4y2Ba$

转换gydF4y2BafgydF4y2Ba一个用MATLAB实现的函数句柄gydF4y2BaodeFunctiongydF4y2Ba。得到的函数句柄是MATLAB ODE求解器的输入gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

f = odeFunction(f, vars)gydF4y2Ba

f =gydF4y2Bafunction_handle与价值:gydF4y2Ba@ (t, in2) [in2(2:);罪(in2 (1:))。* 2./1.0 (-9.81 e + e + 2))gydF4y2Ba

步骤8:求解闭合能量等值线的运动方程gydF4y2Ba

求解闭合能量等值线的ODEgydF4y2Ba数值gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

从能量等值线图看，闭合等值线满足条件gydF4y2Ba ${θgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ ,gydF4y2Ba ${θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba} /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} \leqgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba$ 。存储的初始条件gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 和gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba$ 在变量gydF4y2Bax0gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

x0 = [0;1.99 * omega_0Value];gydF4y2Ba

指定从0秒到10秒的时间间隔来找到解决方案。这个间隔允许钟摆经过两个完整的周期。gydF4y2Ba

tInit = 0;tFinal = 10;gydF4y2Ba

解决ODE。gydF4y2Ba

sols = ode45(f，[tInit tFinal]，x0)gydF4y2Ba

溶胶=gydF4y2Ba结构体字段:gydF4y2Ba解码器:'ode45' extdata: [1x1 struct] x: [1x45双]y: [2x45双]stats: [1x1 struct] idata: [1x1 struct]gydF4y2Ba

:sols.y (1)gydF4y2Ba表示角位移gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 和gydF4y2Ba:sols.y (2)gydF4y2Ba表示角速度gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

画出闭合路径解。gydF4y2Ba

图;yyaxisgydF4y2Ba左gydF4y2Ba;情节(溶胶。x,:sols.y (1),gydF4y2Ba“o”gydF4y2Ba);ylabel (gydF4y2Ba“\θ(rad)”gydF4y2Ba);yyaxisgydF4y2Ba正确的gydF4y2Ba;情节(溶胶。x,:sols.y (2),gydF4y2Ba“o”gydF4y2Ba);ylabel (gydF4y2Ba' \ theta_t (rad / s) 'gydF4y2Ba);网格gydF4y2Ba在gydF4y2Ba;标题(gydF4y2Ba“相空间中的闭合路径”gydF4y2Ba);包含(gydF4y2Ba“t (s)”gydF4y2Ba);gydF4y2Ba

想象钟摆的运动。gydF4y2Ba

x_pos = @(t) sin(deval(sols,t,1));y_pos = @(t) -cos(deval(sols,t,1));图;fanimator (@ (t)情节(x_pos (t) y_pos (t)gydF4y2Ba“柯”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“MarkerFaceColor”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“k”gydF4y2Ba));持有gydF4y2Ba在gydF4y2Ba;fanimator(@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，gydF4y2Ba“k -”gydF4y2Ba));fanimator (@ (t)文本(-0.3,1.5,gydF4y2Ba计时器:“gydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +gydF4y2Ba“s”gydF4y2Ba));gydF4y2Ba

输入的命令gydF4y2Ba那里gydF4y2Ba播放钟摆运动的动画。gydF4y2Ba

步骤9:开放能量万博尤文图斯等值线上的解决方案gydF4y2Ba

求解能量等值线的常微分方程gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba。从能量等值线图看，开放等值线满足条件gydF4y2Ba ${θgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ ,gydF4y2Ba ${θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba} /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} >gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

x0 = [0;2.01 * omega_0Value];sols = ode45(f， [tInit, tFinal]， x0);gydF4y2Ba

绘制开放能等值线的解。gydF4y2Ba

图;yyaxisgydF4y2Ba左gydF4y2Ba;情节(溶胶。x,:sols.y (1),gydF4y2Ba“o”gydF4y2Ba);ylabel (gydF4y2Ba“\θ(rad)”gydF4y2Ba);yyaxisgydF4y2Ba正确的gydF4y2Ba;情节(溶胶。x,:sols.y (2),gydF4y2Ba“o”gydF4y2Ba);ylabel (gydF4y2Ba' \ theta_t (rad / s) 'gydF4y2Ba);网格gydF4y2Ba在gydF4y2Ba;标题(gydF4y2Ba“相空间中的开路”gydF4y2Ba);包含(gydF4y2Ba“t (s)”gydF4y2Ba);gydF4y2Ba

想象钟摆的运动。gydF4y2Ba

x_pos = @(t) sin(deval(sols,t,1));y_pos = @(t) -cos(deval(sols,t,1));图;fanimator (@ (t)情节(x_pos (t) y_pos (t)gydF4y2Ba“柯”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“MarkerFaceColor”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“k”gydF4y2Ba));持有gydF4y2Ba在gydF4y2Ba;fanimator(@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，gydF4y2Ba“k -”gydF4y2Ba));fanimator (@ (t)文本(-0.3,1.5,gydF4y2Ba计时器:“gydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +gydF4y2Ba“s”gydF4y2Ba));gydF4y2Ba

输入的命令gydF4y2Ba那里gydF4y2Ba播放钟摆运动的动画。gydF4y2Ba

模拟钟摆周期性摆动的运动gydF4y2Ba

第一步:推导运动方程gydF4y2Ba

第二步:将运动方程线性化gydF4y2Ba

第三步:解析求解运动方程gydF4y2Ba

第四步:物理意义gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$

第五步:画钟摆运动gydF4y2Ba

步骤6:确定非线性摆运动使用恒定能量路径gydF4y2Ba

第七步:解非线性运动方程gydF4y2Ba

步骤8:求解闭合能量等值线的运动方程gydF4y2Ba

步骤9:开放能量万博尤文图斯等值线上的解决方案gydF4y2Ba

符号数学工具箱文档gydF4y2Ba

万博1manbetx

数学建模与符号数学工具箱gydF4y2Ba

模拟钟摆周期性摆动的运动gydF4y2Ba

第一步:推导运动方程gydF4y2Ba

第二步:将运动方程线性化gydF4y2Ba

第三步:解析求解运动方程gydF4y2Ba

第四步:物理意义gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba

第五步:画钟摆运动gydF4y2Ba

步骤6:确定非线性摆运动使用恒定能量路径gydF4y2Ba

第七步:解非线性运动方程gydF4y2Ba

步骤8:求解闭合能量等值线的运动方程gydF4y2Ba

步骤9:开放能量万博 尤文图斯等值线上的解决方案gydF4y2Ba

符号数学工具箱文档gydF4y2Ba

万博1manbetx

数学建模与符号数学工具箱gydF4y2Ba

第四步:物理意义gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$

步骤9:开放能量万博尤文图斯等值线上的解决方案gydF4y2Ba