隐式曲面的切平面与法线

自从R2021b

这个例子展示了如何找到隐式曲面的切平面和法线。此示例使用符号矩阵变量(带有symmatrix数据类型)用于紧凑的数学符号。

曲面可以隐式地定义，如球面 $$x^2+y^2+z^2＝R^2$$．一般来说，隐式曲面由方程表示 $$f（x，y，z）＝k$$．这个例子求出了一个有半径的球的切平面和法线 $$R＝\sqrt{14}$$．

创建一个符号矩阵变量 $$r$$表示 $$⟨x，y，z⟩$$坐标。定义球面函数为 $$f（r）＝r\cdot r$$．

清晰;关闭所有；clc信谊r3 [1]矩阵F = r*r。”

f =
                 $$r{r}^{\mathrm{T}}$$

隐式方程 $$f（r）＝14$$表示一个球体。将方程转化为信谊使用数据类型symmatrix2sym．用fimplicit3函数。

Feqn = symmatrix2sym(f == 14)

feqn =
                 $${r_{1，1}}^2+{r_{1，2}}^2+{r_{1，3.}}^2＝14$$

fimplicit3 (feqn)轴平等的轴([-6 6 -6 6 -6 6])

接下来，求出该点的切平面和法线 $$r_0＝⟨x_0，y_0，z_0⟩$$．

回忆一下梯度向量 $$f$$是 $$\nabla f（r）＝⟨f_x（r），f_y（r），f_z（r）⟩$$．这一点的切平面方程 $$r_0$$然后由 $$f_x（r_0）（x-x_0）+f_y（r_0）（y-y_0）+f_z（r_0）（z-z_0）＝0$$．在简洁的数学符号中，切平面方程可以写成 $$\nabla f（r_0）\cdot （r-r_0）＝0$$．

求的梯度 $$f（r）$$使用梯度函数。注意，结果是一个3乘1的符号矩阵变量。

Fgrad =梯度(f,r)

fgrad =
                 $$2r^{\mathrm{T}}$$

大小(fgrad)

ans =1×23个1

定义切平面的方程。使用潜艇函数求该点的梯度值 $$r_0＝⟨1，-2，3.⟩$$．

R0 = [-2,1,3];Fplane = (r-r0)*subs(fgrad,r,r0)

fplane =

                 

                  $$\begin{array}{l}2\left(-{\Sigma }_1+r\right){{\Sigma }_1}^{\mathrm{T}}\\ \\ \mathrm{在哪里}\\ \\ \mathrm{}{\Sigma }_1＝（\begin{array}{ccc}-2& 1& 3.\end{array}）\end{array}$$
                

画出点 $$r_0$$使用plot3的切线平面fimplicit3．

持有在plot3 (r0(1)、r0(2)、r0 (3),“罗”，MarkerSize = 10,MarkerFaceColor =“r”) fimplicit3(symmatrix2sym(fplane == 0))

这一点的法线方程 $$r_0$$是由 $$n（t）＝⟨x_0，y_0，z_0⟩+t⟨f_x（r_0），f_y（r_0），f_z（r_0）⟩$$．在简洁的数学符号中，方程可以写成 $$n（t）＝r_0+t\nabla f（r_0）$$．

定义法线方程。

信谊tN = r0 + t*子(fgrad,r,r0)。'

n =

                 

                  $$\begin{array}{l}{\Sigma }_1+2t{\Sigma }_1\\ \\ \mathrm{在哪里}\\ \\ \mathrm{}{\Sigma }_1＝（\begin{array}{ccc}-2& 1& 3.\end{array}）\end{array}$$
                

将法线方程转化为信谊使用数据类型symmatrix2sym．提取参数曲线 $$x（t）$$， $$y（t）$$, $$z（t）$$对于法线，下标到n．绘制法线fplot3．

N = symmatrix2sym(N)

n =
                 $$（\begin{array}{ccc}-4t-2& 2t+1& 6t+3.\end{array}）$$

fplot3 (n(1),(2)、n (3), (0 - 1),的r - >）