物理计算单元gydF4y2Ba

这个例子展示了如何在物理计算中使用单位。用国际单位和英制单位计算空降兵下落的终端速度。在考虑重力和阻力的情况下，求解伞兵的运动。gydF4y2Ba

介绍gydF4y2Ba

想象一个伞兵从飞机上跳下来。假设只有两种力作用在伞兵身上:重力和来自降落伞的相反阻力。阻力与伞兵速度的平方成正比。gydF4y2Ba

作用在伞兵身上的合力可以表示为gydF4y2Ba

$质量gydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba 加速度gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 拖gydF4y2Ba 力gydF4y2Ba -gydF4y2Ba 引力gydF4y2Ba 力gydF4y2Ba$ ，gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba {cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} -gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba$ ，gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba$ 伞兵的质量是多少gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba是重力加速度gydF4y2Ba
$vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 伞兵的速度是多少gydF4y2Ba
${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ 是拖动常数gydF4y2Ba

定义并求解运动方程gydF4y2Ba

定义描述运动方程的微分方程。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaggydF4y2Ba米gydF4y2Ba重金属镉gydF4y2Ba信谊gydF4y2Bav (t)gydF4y2BaEq = m*diff(v(t)，t) + m*g == c_d*v(t)²gydF4y2Ba

情商=gydF4y2Ba
                  
                    $米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba {cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$

假设降落伞在gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 所以这个方程gydF4y2Ba情商gydF4y2Ba对的所有值都有效gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba \geqgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 。对微分方程进行解析求解gydF4y2BadsolvegydF4y2Ba在初始条件下gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 。解表示伞兵的速度作为时间的函数。gydF4y2Ba

速度=简化(dsolve(eq, v(0) == 0))gydF4y2Ba

速度=gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba \frac{\sqrt{ggydF4y2Ba} \sqrt{米gydF4y2Ba} 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba \frac{\sqrt{{cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}} \sqrt{ggydF4y2Ba} tgydF4y2Ba}{\sqrt{米gydF4y2Ba}} ）gydF4y2Ba}{\sqrt{{cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}}}$

找到单位的拖动常数gydF4y2Ba

求阻力常数的SI单位gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ 。gydF4y2Ba

力的国际单位是牛顿gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba NgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 。用基单位表示，牛顿是gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} ）gydF4y2Ba$ 。因为它们是等价的，所以它们的单位转换系数是1。gydF4y2Ba

U =符号单位;unitConversionFactor (u。N, u.kg * u.m /美国^ 2)gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba
                   $1gydF4y2Ba$

拖曳力gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$ 必须有相同的单位牛顿gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba NgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 因为引力gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba$ 。利用量纲分析，求出单位gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ 。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Badrag_units_SIgydF4y2Badrag_units_SI = simplify(solve(drag_units_SI * (u.m / us)^2 == u.N))gydF4y2Ba

drag_units_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $\frac{公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}$

估计终端速度gydF4y2Ba

通过定义以下值来描述伞兵的运动。gydF4y2Ba

伞兵的质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 70gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba$
重力加速度gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 81gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba /gydF4y2Ba {年代gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$
阻力系数gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba 40gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba$

将这些值代入速度方程并简化结果。gydF4y2Ba

vel_SI = subs(速度，[g,m,c_d]，[9.81*u.m/u。s ^ 2, 70 * u。公斤，40*drag_units_SI])

vel_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba \frac{双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba \frac{tgydF4y2Ba \sqrt{40gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}} \sqrt{\frac{981gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}}}{\sqrt{70gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba}} ）gydF4y2Ba \sqrt{70gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba} \sqrt{\frac{981gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}}}{\sqrt{40gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}}}$

vel_SI = simplify(vel_SI)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba \frac{3.gydF4y2Ba \sqrt{763gydF4y2Ba} 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba \frac{3.gydF4y2Ba \sqrt{763gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba}{35gydF4y2Ba} \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba}{20.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

计算速度的数值近似为3位有效数字。gydF4y2Ba

(3) vel_SI = vpa(vel_SI)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba tgydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

当重力与阻力平衡时，伞兵接近恒定速度。这被称为终端速度，它发生在降落伞的拖曳力抵消了重力(没有进一步的加速度)时。求极限，求终速度gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba ⟶gydF4y2Ba \inftygydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

vel_term_SI = limit(vel_SI, t, Inf)gydF4y2Ba

vel_term_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

将速度转换为帝国单位gydF4y2Ba

最后，将速度函数从国际单位转换为英制单位。gydF4y2Ba

vel_Imperial =重写(vel_SI,u.ft)gydF4y2Ba

vel_Imperial =gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba tgydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba 英尺——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

转换终端速度。gydF4y2Ba

vel_term_Imperial =重写(vel_term_SI,u.ft)gydF4y2Ba

vel_term_Imperial =gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba 英尺——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

随时间变化的Plot VelocitygydF4y2Ba

要把速度画成时间的函数，要把时间表示出来gydF4y2BatgydF4y2Ba在几秒钟内gydF4y2BatgydF4y2Ba通过gydF4y2BaTgydF4y2Ba年代,gydF4y2BaTgydF4y2Ba是一个无量纲符号变量。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaTgydF4y2Bavel_SI = subs(vel_SI, t, t *u)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

vel_Imperial =重写(vel_SI, u.ft)gydF4y2Ba

vel_Imperial =gydF4y2Ba
                  
                    $-gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba 英尺——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

使用将表达式与单元分开gydF4y2BaseparateUnitsgydF4y2Ba。使用以下方法绘制表达式gydF4y2BafplotgydF4y2Ba。将单位转换为字符串，以用作绘图标签gydF4y2Basymunit2strgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[data_SI, units_SI] = separateUnits(vel_SI);[data_Imperial, units_Imperial] = separateUnits(vel_Imperial);gydF4y2Ba

空降兵速度趋于稳定时gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba >gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba$ 。通过绘制速度在范围内的曲线来显示速度如何接近终端速度gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba \leqgydF4y2Ba TgydF4y2Ba \leqgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

subplot(1,2,1) fplot(data_SI，[0 2]) title(gydF4y2Ba“国际单位制速度”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba' s中的时间'gydF4y2Ba) ylabel ([gydF4y2Ba“速度”gydF4y2Basymunit2str(units_SI)) subplot(1,2,2) fplot(data_Imperial，[0 2]) title(gydF4y2Ba“帝国单位的速度”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba' s中的时间'gydF4y2Ba) ylabel ([gydF4y2Ba“速度”gydF4y2Basymunit2str (units_Imperial)))gydF4y2Ba

图中包含2个轴对象。标题为Velocity in SI Units的Axes对象1包含一个functionline类型的对象。标题为Velocity in Imperial Units的Axes对象2包含一个functionline类型的对象。gydF4y2Ba