好的。这里有一个例子,或多或少是为了好玩。因为你会看到我试着去做。你可以做得更好。我把这个问题称为滚块。只是在这个例子中,在我的演示中,它将是一本翻滚的书。
我要拿一本书,神圣的书,把它扔到空中。我用三种不同的方式扔。问题是,旋转的书是否稳定?我来告诉你们三种方法然后给出欧拉的三个方程。
这就是三个方程。你会发现它们不是线性的。这些是关于角动量的。方程式背后有一些物理原理。但对我们来说,这是三个方程。
所以第一次投掷会绕着很短的轴旋转,只有书的厚度,也许一英寸。所以当我抛的时候,就像我现在做的一样,你会看到我是否能抛得太紧张,我希望。它来了——它很稳定。这本书毫不动摇地还给了我。
当然,我的神经会让它有点摇晃,而这种摇晃会持续下去。它只是中性稳定的。摆动不会消失。但它不会变成一团乱麻。好的。这是一个轴,短轴。
然后我也把它扔在长轴上,像这样翻转。我认为这也是稳定的。最后,在中间轴上,是中间长度轴。注意把书固定在一起的橡皮筋。握着,这样书页就打不开了。这个,我想,是不稳定的。
同样的,扔足球,扔飞盘,不管你扔什么。任何3D物体都有这三个轴:短轴、中轴和长轴。方程会告诉我们短轴和长轴应该有稳定的转动。中间轴是不稳定的。
我们如何确定微分方程中的不动点,一个不动点,这是一个临界点,一个稳态,我们必须找到这个稳态,然后对每个稳态线性化。我们求稳态下的导数。这就给出了稳态下的常数矩阵。然后特征值就确定了。
首先,找到临界点。第二步,求出临界点处的导数。第三步,求导数矩阵的特征值并确定稳定性。这就是步骤的顺序。好的。这是我们第一次做3 × 3矩阵。也许是最后一次。好的。
在我开始之前,在我找到临界点之前,请注意一些很好的性质。如果我把这个方程乘以x,这个乘以y,这个乘以z,然后相加,它们相加等于0。当这里有一个x,一个y,一个z,我得到一个1 - 2和一个1,它们加起来是0。所以是x乘以dx乘以dt。Y乘以dy / dt。Z乘以dz乘以dt等于0。
这是一个重要的事实。它告诉我们某个函数的导数是0。这是一个常数。所以我看到整个式子的导数可能是1 / 2的导数。X²,因为X²的导数是1 / 2。导数是x / dx / dt。y²和z²的导数是0。这条线的导数就是这条线。是0。所以这是一个常数。
毫无疑问,这可能告诉我总能量,动能,是恒定的。我把那本书扔到空中后,就不会碰它了。它在做自己的事。它不会改变能量因为它什么都没发生。它就在那里。现在还有其他的——这是一件很好的事情。这是一个常数。
现在还有另一种方法。如果这个乘以2x,这个乘以y,把这两个相加,就消掉了。所以2x / dx / dt, 2x乘以第一个,y乘以第二个,结果是0。我又看到了一些不变的东西。x²+ 1/ 2y²的导数是常数。另一个美好的事实。另一个守恒的量。
当我在空间中飞行时,这个量(x²+ 1/2 y²)不变。这涉及到所有的xyz。当然这是一个球的方程。所以在能量空间中,或者在xyz空间中,我们的解是在一个球体上移动。这是一个椭圆的方程。在这个球面上有一个椭圆它实际上在这个椭圆上。
事实上,还有另一个椭圆因为我可以把这个乘以2z这个乘以y,然后相加。然后这些就消掉了。- 2xyz + 2xyz。这也告诉我它可能是z方加1/2 y方等于一个常数。这是另一个椭圆。Z方加上1/2 y方。看到了吗?如果对它求导,得到2z (dzdt) + y (dy / dt)加上give 0。导数是0。 The thing is a constant.
但是!但是,但是,但是!如果我用这个减去这个,求这两个的差。假设我用这个减去这个。1/2 y²会消失。这就告诉我们x方减z方是常数。哦,男孩!我还没解出这三个方程。但我发现了很多解决方案。溶液停留在球体上,以某种方式四处游荡。 It also at the same time stays on that ellipse. And it stays on that ellipse. But this is not an ellipse, not an ellipse. That's the equation of a hyperbola. And that's why-- which, of course, goes off to infinity. And that's why the-- well, it goes off to infinity, but it has to stay on the sphere. It wanders. This will be responsible for the unstable motion.
教授,他在这方面做得比我好得多,他在1803年的精彩讲座,微分方程,就是这样。整整一个小时告诉你关于翻滚箱的一切。所以我要做演示,写下主要的事实,理解稳定性,讨论稳定性。我准备继续讨论稳定性。
这是我的三个方程。我们有三个方程,所以我们有一个3 × 3矩阵。首先我要找出临界点,这个运动的稳态。我怎样才能把它扔得完美,让它保持原样呢?答案是,绕着轴。
如果我扔得完美,不紧张,它就会随着我扔的方向旋转。x y z都是常数。现在,当我把它放在这个轴上。我在找——这是我的右手边。YZ - 2XZ和XY。我用大写字母写这些是因为它们是稳态。现在我要找的是什么都没发生的点。
如果方程右边的三个边都是0,我就不会移动。Xyz将保持在原来的位置。你们能看出这三个方程的解吗?万博 尤文图斯它们是非常特殊的方程。我得到一个解,比如,解可以是1 0 0/万博 尤文图斯
如果三个中的两个,如果y和z都是0。y = 0 z = 0 y和z = 0,得到0。所以这是一个稳定的状态。X = 1 y和z = 0和0。稳态是围绕一个轴旋转的。实际上,我也可以有一个- 1也可以是。实际上,我已经找到了y和z为0的两种稳态。然后还有两个x和z0。这个可以是,它绕着中轴旋转。然后是0,0,1或者- 1,它会绕着第三个轴旋转,长轴。
这些就是稳态。我想,想想看,0,0,0也是一个稳态。我想我都找到了。这些是xy。这些是x y z的稳态。好的。
一旦你知道了稳态,这通常很有趣,就像这里一样。现在稍微不那么有趣的一步是求出所有的导数,求出导数的雅可比矩阵。我有三个方程。三个未知数,xyz。右边有三个边。我要找到,我要有一个3 × 3矩阵的导数。这个雅可比矩阵。雅可比矩阵的J,一阶导数矩阵。
矩阵的一阶导数是什么?我写雅可比矩阵。它以雅各比的名字命名。它是一阶导数的矩阵。第一行是第一个函数关于x的导数,它对x的导数是0。关于y的导数是z,关于z的导数是y,这些是偏导数。题目告诉我第一个未知x移动了多少。题目告诉我第一个未知x在临界点附近发生了什么不管它是什么。
好的。第二个方程的偏导呢?它的偏导会进入这一行。所以x有- 2z。Y的导数是0。Z的导数是- 2x。第三个,z的导数是0。x的y导,x导是y,我已经找到了这个3 × 3矩阵有9个偏一阶导数。好的。
是矩阵在这些点上的特征值决定了稳定性。我把它写下来。J在临界点(x y z)的特征值这就是我需要的。这就是决定稳定性的因素。
我先取第一个临界点。我的矩阵是什么?我要算出这一点的矩阵是什么?我取1 0 0。1,0,0。如果x = 1,我得到,这是在x = 1处。Y和z都是0。如果x = 1,那么这是- 2和1。其他都是0。
所以这个矩阵的特征值决定了这个不动点的稳定性。记住,这是绕窄轴的抛掷。这是绕短轴的旋转。好的。
那么这个矩阵的特征值呢?我可以看到它实际上是3 × 3的。但是实际上,有了这些0,就得到了一个0的特征值。所以这里的特征值是0。然后我将从这个矩阵的部分得到特征值,它是2 × 2的。所以这里有= 0。这里有两个特征值。
我看着它,我看到了什么?这是一个2 × 2的问题。我看到trace是0。0 + 0。我的特征值是一对正负因为它们相加为0。它们相乘得到行列式。这个矩阵的行列式是2。这个矩阵的行列式是2。好的。
所以它的行列式是正的。这有利于稳定。但是trace值只有0。不完全是负的。它不是正的。它在0处。所以这是一个中性稳定的例子。特征值将是——从那里我将有一个0特征值。这个2 × 2矩阵的特征值将会是——将会有√2 * i和a -√2 * i,我认为这些是特征值。
我看到的都是想象出来的。这是一个纯振荡。抖动一直在抖动。不会变得更糟。不会消失。这是中性稳定性。所以中性稳定是我们希望再次看到的。是的。我想,如果我在长轴上翻转。很好。 Did you see that brilliant throw? It's neutral stability. It came back without doing anything too bad.
最后我要画出我们都在苦苦等待的那条轴,中轴。中间的轴是书开始翻滚的时候,这将是我能否抓住它的问题。我可以试试吗?然后我可以求出,在中立轴上我期望什么?我预计不稳定。我认为这是一个鞍点。但是会有一个正的特征值。
会有一个正的特征值。这就是翻滚的原因,你会看到的疯狂的翻滚。它与双曲线上的点相连这个点远离双曲线,现在我要做的就是这个点。这个是。我用一个方框围起来,用两个方框围起来。这是不稳定的,我要演示一下。
准备好了吗?好的。哎呦。好的。要用两只手才能抓住它。让我再试一次。关键是它开始翻滚,向四面八方飞去。就像一个足球,一个扔得很烂的足球。就像一个足球被扔出去,首尾相连。整个飞行都中断了,球是一团糟。 Catching it is ridiculous. And I'm doing it with a book. Yes. You saw that by watching really closely. OK. Better if you do it.
我将以这一点的特征值结束。所以这一点的特征值,我可以擦掉我的矩阵吗?所以这是一个中性稳定的,用稳定的语言来说就是一个中心。这是一个中心,你绕着它转啊转啊转。但现在我要让x和z等于0 y等于1。我可以擦掉这个矩阵,然后取
如果x和z都是0,y是1,所以这里是1。上面是1。没有别的了。其他都是0。好的。这是3 × 3矩阵。它的特征值是什么?这个3 × 3的特殊矩阵的特征值是什么?
这是一阶导数矩阵,雅可比矩阵,在这一点,对应于中轴。好的。同样,我看到一些0。我将把这个化简成2 × 2矩阵和这个矩阵。实际上,这个2 × 2矩阵在xz,这个在y,这个呢?
你知道我们在看这个矩阵。通过这个矩阵,我可以告诉你特征值。我们可以看到轨迹是0。特征值加为0。它们乘以行列式。行列式是- 1。所以特征值是1和- 1。然后这一项得到0。
1的特征值是不稳定的。1的特征值是不稳定的。好的。所以数学证明了实验所证明的:一个不稳定的旋转绕着中轴旋转。谢谢你!
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