微分方程和线性代数,8.1 c:傅里叶级数解拉普拉斯方程
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
一个圆内,解决方案u(rθ)结合rncos (nθ),rnsin (nθ)。边界解决方案结合了傅里叶级数中的所有条目匹配边界条件。
好的。这是使用傅里叶级数。所以我不得不选择一个方程,我们得到一个函数,而不仅仅是一个初始值。所以我做了一个偏微分方程方程。最著名的一个,拉普拉斯方程。
这是设置。你会看到傅里叶级数。我们围成一个圈。我要把这一个模型的问题。
所以在这个圆我们解决拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的二阶导数u在x方向上,加上u在y方向上的二阶导数为0。这样的热量、温度、分配本身当你别管它。
在这个问题上我要把热源。所以这将是一个点光源。δ函数。和其余的边界、温度0。所以边界函数是一个δ函数峰值在那一个点,其他地方和0。
我们的问题是解决圆内的拉普拉斯方程。我们用极坐标因为我们有一个圆。这是x和y的方程,但我们的确是在思考r和θ。原因是,这个方程得到漂亮的解决方案使用r和θ。万博 尤文图斯
这是一个家庭的解决方案。万博 尤文图斯r第n个因为nθ只是工作。所以对第n个sinθ的n r。这是每一个n。
所以,我们可以结合。我们有一个线性方程。我们可以采取的解决方案组合系数n的余弦,正弦和bn。万博 尤文图斯
现在这是关键的一步。r = 1。把r = 1。然后这个解决方案,你在1 r和θ,等于1——是边界。它是圆。
这就是我们给你1δ函数。点光源。δ函数。δθ。点光源在θ= 0。
所以你看我们的工作。这个函数,边界条件,应该告诉我们a和b。然后我们有解决方案。
所以把r等于1的这个公式,我们应该得到δ函数。所以我把r = 1。容易做的事。的n,第n个1,n cosθ,加上bn的总和,1到第n个,sinθ,应该匹配δ函数。
这是δ函数的傅里叶级数。这是重点。我们使用边界函数的傅里叶级数表达式,不管那边界函数。这是一个特别漂亮的整洁。
实际上,δ函数是偶函数。它在θ0,0 -θ。所以改变θ-θ仍然让我上升0。因为它是偶函数,我不会看到任何迹象。我不会看到任何奇怪的函数。sinθ。
我有一个简单的时间找到一个n的余弦系数。实际上,我们直接从n的公式。让我记住公式。这个公式是a0 1除以2π乘以平均水平。
a0是温度的平均值。和温度边界δθ。和集成,得到答案1除以2π。这是平均温度。
那不是有点奇怪吗?温度0除外。这时外面的δ函数系数1。然后我们得到1除以2π的平均水平。
另一个n,余弦系数,1除以π,乘以δ函数的积分,乘以cosθdθ。和δ函数,点源,挑出数量在θ= 0。这号码是1。所以我得到1除以π。现在我终于知道a和b。
当我把这些,告诉我解决方案。解决方案——现在我可以把r的照片——这是一笔。好吧,让我把a0术语。a0是1除以2π——这是常数,这是一般的,加1 /π因为nθ的总和,从n = 1到无穷大。
和第n个r。对不起。第n个r。
所以你看看会发生什么。当r是1,我们有δ函数的傅里叶级数。这是非常特殊的函数的边界。
当r小于1,这些r第n个就小,我们有一个系列,加起来一个合理的数目。我们可以,可以增加系列。它可以增加系列。这是一个几何级数如果你从余弦指数。这是通常的好办法好公式。
在这里,你可以添加。我认为有一个1除以2π还在那里。我认为这是1 - r的平方,/ (1 + r的平方,- 2 r cosθ。
让我确定我是正确的。是的,看起来不错。看起来不错。
我们可以检查它是否很好。让我们来θ等于0。所以如果我们把θ等于0。我再画圆。θ等于0。我们出来的射线。我们期待着看到无穷当我们到达那里时,r = 1。
所以θ等于0。让我把。雷,θ等于0。
这是你应该做的。我们有一个公式r和θ,但让我们看看一些特殊点,看看发生了什么。
所以在射线,θ= 0,1除以2π,1 - r的平方,/ (1 + r的平方,- 2 r。因为cosθ1。和1 + r的平方,- 2 r,是1 - r的平方。对吧?因为cosθ1射线。θ= 0。Cosθ是1。
现在1 - r因子。我认为我们得到1 + r。我们仍有1 - r的下面。我很喜欢这样。你不经常,偏微分方程,得到一些不错的解的表达式。这就是解决方案。
r趋于1,这个解决方案炸毁。正确的。边界上的温度是无限的,但里面的温度是合理的。
在r等于0,1除以2π。嗯,当然。这是平均值。正确的中心温度等于平均边界。
这是一个自然的拉普拉斯方程的关键属性。它平均一切。实际上,如果我把一个小圈,那些圆中心的温度将小圆圈周围的温度的平均值。所有的圆圈。的拉普拉斯方程。平均解拉普拉斯方程一切。
和结果是温度函数的抚平我进来。在边界的光滑。有很大的震动在θ= 0。但是如果我看那个圆,圆,这个圆,温度是一个平滑函数。
它永远不会高于最大边界。它永远不会低于最低边界。一切都是平均的。
所以,你看,一个用傅里叶级数。为一个特定的函数。我可以做另一个函数,但我不认为我会的。
我可能需要的函数1的顶部圆和圆的下半部分- 1。跳好了,这是一个函数,而不是δ函数。我们将看到一个傅里叶级数,a和b的赐给我们。可能只会有b的在这种情况下。正弦。正弦条件。我们会得到一个答案。
可能我只是,而我说的是平均水平,添加最后一个评论。通常,一个复杂的地区,我们不能用公式解决拉普拉斯方程。这是不可能的。我们找不到正弦和余弦匹配一些疯狂的边界。
所以我们必须取代拉普拉斯方程。所以我会再写拉普拉斯方程。进入你,我们有一个地区。和我们雕刻出来一个网格。
然后在每个网格点,我们有一个方程连接你的价值。说情况的中心。u东,也许,u西方,北方,南方和u。
所以我们有一个方程,我想把这个方程写下来。u中心就是平均水平。它就是你东的1/4,你西方,u北,你。
所以会这样,方程将举行。未知的所有这些u。你的所有的网格点。我有一个在每个网格点方程。
所以我有相同数量的方程网格点作为未知的网格点。我解决这个大系统,这给了我一个解决方案。拉普拉斯方程的近似解u。这是叫做拉普拉斯差分方程,拉普拉斯的五点计划,因为它使用平均5分。
好的。在数值分析的一个重要问题。谢谢你!
你也可以从下面的列表中选择一个网站:
表现最好的网站怎么走吗
选择中国网站(中文或英文)最佳站点的性能。其他MathWorks国家网站不优化的访问你的位置。