传递函数输出的谐波分析

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本例提取输出信号中频率系数的闭形式解。万博尤文图斯输出信号是通过解析非线性传递函数传递输入信号的结果。

这个例子使用了以下符号数学工具箱™功能:

用泰勒级数展开泰勒
公式操作与简化

动机

为了激发解决方案，我们从电路理论中取了一个简单的元素理想的二极管(在正向偏压操作)。当前,我，是输出以指数方式依赖于输入，V．二极管已被用于制造设备，如搅拌机和放大器，了解输出的谐波结构是有用的具有设备特性，符合设计规范．

信谊是V签证官真正的；I = Is*(exp(V/Vo) - 1)

我=
                   $是 (e^{V / 签证官} - 1)$

如果V是两个频率LO和RF的信号的线性组合，非线性传递函数将LO和RF混合，以创建具有组合谐波频率组合内容的输出:freqs = {LO, 2LO, RF, 2RF, LO-RF, LO-2RF，…}。

这个例子的目的是确定的系数频率在输出中。

定义输入信号

输入信号是两个余弦信号的线性组合。

信谊c1c2t罗射频真正的；输入= c1*cos(LO*t) + c2*cos(RF*t)

输入=
                   $c_{1} 因为 （ 罗 t ） + c_{2} 因为 （ 射频 t ）$

定义谐波频率组合空间

下面,harmCombinations输入频率的整数倍的组合组合吗罗而且射频．我们限制感兴趣的空间，每个空间由3个谐波定义罗而且射频的方向。

N = 3;harmCombinations = [kron ((0: n), (n * 2 + 1, - 1)), repmat ((- n: n), n + 1, 1)];频率= harmcombination *[LO;RF];

第一个n频率只是负谐波频率，因此考虑到输入信号是实数，是多余的。

Freqs = Freqs (n+1:结束)

频率=
                  
                    $（ \begin{array}{c} 0 \\ 射频 \\ 2 射频 \\ 3. 射频 \\ 罗 - 3. 射频 \\ 罗 - 2 射频 \\ 罗 - 射频 \\ 罗 \\ 罗 + 射频 \\ 罗 + 2 射频 \\ 罗 + 3. 射频 \\ 2 罗 - 3. 射频 \\ 2 罗 - 2 射频 \\ 2 罗 - 射频 \\ 2 罗 \\ 2 罗 + 射频 \\ 2 罗 + 2 射频 \\ 2 罗 + 3. 射频 \\ 3. 罗 - 3. 射频 \\ 3. 罗 - 2 射频 \\ 3. 罗 - 射频 \\ 3. 罗 \\ 3. 罗 + 射频 \\ 3. 罗 + 2 射频 \\ 3. 罗 + 3. 射频 \end{array} ）$

泰勒展开

为了覆盖感兴趣的频谱，一个四阶的泰勒级数我(V)是充分的。

s = taylor(I, V，“秩序”4)

s =
                  
                    $\frac{是 V^{2}}{2 {签证官}^{2}} + \frac{是 V^{3.}}{6 {签证官}^{3.}} + \frac{是 V}{签证官}$

的输入信号组合罗而且射频频率和表达f在这方面因为(LO * t)而且因为(RF * t)．

f0 = subs(s, V，输入);F = expand(f0)

f =
                  
                    $\begin{array}{l} \frac{是 {c_{1}}^{2} σ_{2}}{2 {签证官}^{2}} + \frac{是 {c_{1}}^{3.} {因为 （ 罗 t ）}^{3.}}{6 {签证官}^{3.}} + \frac{是 {c_{2}}^{2} σ_{1}}{2 {签证官}^{2}} + \frac{是 {c_{2}}^{3.} {因为 （ 射频 t ）}^{3.}}{6 {签证官}^{3.}} + \frac{是 c_{1} 因为 （ 罗 t ）}{签证官} + \frac{是 c_{2} 因为 （ 射频 t ）}{签证官} + \frac{是 c_{1} c_{2} 因为 （ 罗 t ） 因为 （ 射频 t ）}{{签证官}^{2}} + \frac{是 c_{1} {c_{2}}^{2} 因为 （ 罗 t ） σ_{1}}{2 {签证官}^{3.}} + \frac{是 {c_{1}}^{2} c_{2} σ_{2} 因为 （ 射频 t ）}{2 {签证官}^{3.}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ {因为 （ 射频 t ）}^{2} \\ σ_{2} ＝ {因为 （ 罗 t ）}^{2} \end{array}$

重写f用余弦的单次幂表示。

F = combine(F，“要求”）

f =
                  
                    $\frac{是 {c_{1}}^{2}}{4 {签证官}^{2}} + \frac{是 {c_{2}}^{2}}{4 {签证官}^{2}} + \frac{是 c_{1} 因为 （ 罗 t ）}{签证官} + \frac{是 c_{2} 因为 （ 射频 t ）}{签证官} + \frac{是 {c_{1}}^{2} 因为 （ 2 罗 t ）}{4 {签证官}^{2}} + \frac{是 {c_{1}}^{3.} 因为 （ 罗 t ）}{8 {签证官}^{3.}} + \frac{是 {c_{1}}^{3.} 因为 （ 3. 罗 t ）}{24 {签证官}^{3.}} + \frac{是 {c_{2}}^{2} 因为 （ 2 射频 t ）}{4 {签证官}^{2}} + \frac{是 {c_{2}}^{3.} 因为 （ 射频 t ）}{8 {签证官}^{3.}} + \frac{是 {c_{2}}^{3.} 因为 （ 3. 射频 t ）}{24 {签证官}^{3.}} + \frac{是 c_{1} {c_{2}}^{2} 因为 （ 罗 t ）}{4 {签证官}^{3.}} + \frac{是 {c_{1}}^{2} c_{2} 因为 （ 射频 t ）}{4 {签证官}^{3.}} + \frac{是 c_{1} c_{2} 因为 （ 罗 t + 射频 t ）}{2 {签证官}^{2}} + \frac{是 c_{1} c_{2} 因为 （ 罗 t - 射频 t ）}{2 {签证官}^{2}} + \frac{是 c_{1} {c_{2}}^{2} 因为 （ 罗 t - 2 射频 t ）}{8 {签证官}^{3.}} + \frac{是 c_{1} {c_{2}}^{2} 因为 （ 罗 t + 2 射频 t ）}{8 {签证官}^{3.}} + \frac{是 {c_{1}}^{2} c_{2} 因为 （ 2 罗 t + 射频 t ）}{8 {签证官}^{3.}} + \frac{是 {c_{1}}^{2} c_{2} 因为 （ 2 罗 t - 射频 t ）}{8 {签证官}^{3.}}$

提取和显示系数

得到如下形式的非常数即非直流谐波频率项因为(频率* t)．

cosFreqs = cos(扩展(频率*t));terms = collect(setdiff(cosFreqs'， sym(1)));

提取包括直流在内的所有谐波频率项的系数。

纽瓦斯= sym(“x”,(1,元素个数(计算)]);[cx, newvarsx] = coeffs(subs(f,terms,newvars)， newvars);Tx = sym(零(1，数字(cx)));为k = 1:元素个数(newvarsx)如果Newvarsx (k) ~= 1 tx(k) = terms(newvars == Newvarsx (k));其他的Tx (k) = newvarsx(k);结束结束Cx =化简(Cx);

使用表显示系数，T．使用cosFreqs作为行标识符。

cosFreqs = arrayfun(@char,cosFreqs，“UniformOutput”、假);频率= arrayfun(@char,freqs，“UniformOutput”、假);系数= num2cell(零(大小(频率)));T = table(频率，系数，“RowNames”, cosFreqs);

分配残雪到合适的行T对应于的余弦项tx．

nonzeroCosFreqs = arrayfun(@char,tx，“UniformOutput”、假)。”;T (nonzeroCosFreqs,“系数”) = arrayfun(@char,cx，“UniformOutput”、假)。”;

现在，删除行名，因为它们是多余的。

T.Properties.RowNames = {};

观察这些项的表达式在LO和RF中是对称的。

T =25×2表频率系数  _______________ _____________________________________________ {' 0 '}{”(* (c1 ^ 2 + c2 ^ 2)) /(4 *签证官^ 2)'}{“射频”}{”(* c2 *(8 *签证官^ 2 + 2 * c1 ^ 2 + c2 ^ 2)) /(8 *签证官^ 3)}{2 *射频的}{”(* c2 ^ 2) /(4 *签证官^ 2)}{3 *射频的}{”(* c2 ^ 3) /(24 *签证官^ 3)}{LO - 3 *射频的}{[0]}{LO - 2 *射频的}{”(* c1 * c2 ^ 2) /(8 *签证官^ 3)}{“LO - RF”}{”(c1是* * c2) /(2 *签证官^ 2)'}{“LO”}{”(c1是* * (8 * Vo c1 ^ ^ 2 + 2 + 2 * c2 ^ 2)) /(8 *签证官^ 3)}{“LO + RF”}{”(c1是* * c2) /(2 *签证官^ 2)'}{LO + 2 *射频的}{”(* c1 * c2 ^ 2) /(8 *签证官^ 3)}{LO + 3 *射频的}{[ 0]} {'2*LO - 3*RF'} {[ 0]} {'2*LO - 2*RF'} {[ 0]} {'2*LO - RF' } {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)' } {'2*LO' } {'(Is*c1^2)/(4*Vo^2)' } {'2*LO + RF' } {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)' } ⋮

验证系数

如下图所示，输出波形由系数重建，与输出精确匹配。

Simplify (f0 - (dot(tx,cx)))

ans =
                   $0$

图非线性转移

以下显示了上述分析的特定非线性传递函数，在时域和频域，对于某些频率和电压比的值。首先，提取数据。

样本值= struct(“c1”, 0.4,c2的, 1“罗”, 800,“射频”, 13600,“Vo”, 1“是”1);Sample_input = subs(输入，sample_values)

sample_input =
                  
                    $\frac{2 因为 （ 800 t ）}{5} + 因为 （ 13600 t ）$

Sample_output = sub (f,sample_values)

sample_output =
                  
                    $\frac{127 因为 （ 800 t ）}{250} + \frac{因为 （ 1600 t ）}{25} + \frac{因为 （ 2400 t ）}{375} + \frac{因为 （ 12000 t ）}{50} + \frac{因为 （ 12800 t ）}{5} + \frac{233 因为 （ 13600 t ）}{200} + \frac{因为 （ 14400 t ）}{5} + \frac{因为 （ 15200 t ）}{50} + \frac{因为 （ 26400 t ）}{20.} + \frac{因为 （ 27200 t ）}{4} + \frac{因为 （ 28000 t ）}{20.} + \frac{因为 （ 40800 t ）}{24} + \frac{29}{One hundred.}$

Sample_freqs = 0(大小(tx));为k=1:数字(tx) cosTerm = subs(tx(k)，sample_values);freq = simplify(acos(cosTerm)，“IgnoreAnalyticConstraints”,真正的)/ t;Sample_freqs (k) = double(freq);结束Sample_heights = double(subs(cx,sample_values));

然后,用fplot而且阀杆画出函数和它们的谐波频率。

次要情节(2 2 1);fplot (sample_input[0, 0.01])标题输入次要情节(2、2、3);阀杆([sample_values。罗, sample_values.RF],[sample_values.c1,sample_values.c2]); title输入频率的次要情节(2,2,2);fplot (sample_output[0, 0.01])标题输出次要情节(2、2、4);阀杆(sample_freqs sample_heights)标题的输出频率

图中包含4个轴对象。带有标题Input的Axes对象1包含一个functionline类型的对象。标题为Input Frequencies的Axes对象2包含一个stem类型的对象。标题为Output的Axes对象3包含一个functionline类型的对象。标题为Output Frequencies的Axes对象4包含一个stem类型的对象。