Gauss-Laguerre求积求值点和权重

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此示例演示如何求解多项式方程和方程组，并使用符号数学工具箱处理结果™.

高斯求积规则通过求和近似积分 $\int_{A.}^{B} F (T) W (T) D T \approx \sum_{我 = 1.}^{N} F (x_{我}) α_{我}$ . 这里，这个 $x_{我}$ 和 $α_{我}$ 方法的参数，取决于 $N$ 但不是在 $F$ . 它们遵循权重函数的选择 $W (T)$ ,如下所示。与权函数相关的是一组正交多项式。多项式的根就是求值点 $x_{我}$ ．最后,权重 $α_{我}$ 由该方法对小次多项式正确的条件决定。考虑权函数 $W (T) = 经验 (- T)$ 间歇期 $[0, \infty]$ . 这种情况称为高斯-拉盖尔求积。

符号Tn = 4;w (t) = exp (- t);

假设你知道第一个 $N$ 正交多项式族的成员。在这里考虑的求积规则的情况下，它们是拉盖尔多项式。

F=laguerreL（0:n-1，t）

F=
                
                  $(\begin{array}{c} 1. & 1. - T & \frac{T^{2.}}{2.} - 2. T + 1. & - \frac{T^{3.}}{6.} + \frac{3. T^{2.}}{2.} - 3. T + 1. \end{array})$

让L是 $N + 1.$ St多项式，其系数尚待确定。

X=sym(“X”, 1, n + 1)

X=
                 $(\begin{array}{c} X_{1.} & X_{2.} & X_{3.} & X_{4.} & X_{5.} \end{array})$

L = poly2sym(X, t)

L =
                 $X_{1.} T^{4.} + X_{2.} T^{3.} + X_{3.} T^{2.} + X_{4.} T + X_{5.}$

表示拉盖尔多项式之间的正交关系F和L在方程组中系统．

sys = [int(F.*L.*w(t)， t, 0, inf) == 0]

系统=
                 $(\begin{array}{c} 24 X_{1.} + 6. X_{2.} + 2. X_{3.} + X_{4.} + X_{5.} = 0 & - 96 X_{1.} - 18 X_{2.} - 4. X_{3.} - X_{4.} = 0 & 144 X_{1.} + 18 X_{2.} + 2. X_{3.} = 0 & - 96 X_{1.} - 6. X_{2.} = 0 \end{array})$

添加多项式具有范数1的条件。

sys=[sys，int（L^2.*w（t），0，inf）==1]

系统=
                 $(\begin{array}{c} 24 X_{1.} + 6. X_{2.} + 2. X_{3.} + X_{4.} + X_{5.} = 0 & - 96 X_{1.} - 18 X_{2.} - 4. X_{3.} - X_{4.} = 0 & 144 X_{1.} + 18 X_{2.} + 2. X_{3.} = 0 & - 96 X_{1.} - 6. X_{2.} = 0 & 40320 {X_{1.}}^{2.} + 10080 X_{1.} X_{2.} + 1440 X_{1.} X_{3.} + 240 X_{1.} X_{4.} + 48 X_{1.} X_{5.} + 720 {X_{2.}}^{2.} + 240 X_{2.} X_{3.} + 48 X_{2.} X_{4.} + 12 X_{2.} X_{5.} + 24 {X_{3.}}^{2.} + 12 X_{3.} X_{4.} + 4. X_{3.} X_{5.} + 2. {X_{4.}}^{2.} + 2. X_{4.} X_{5.} + {X_{5.}}^{2.} = 1. \end{array})$

解的系数L．

S=求解（sys，X）

S =结构体字段:X1:[2x1 sym]X2:[2x1 sym]X3:[2x1 sym]X4:[2x1 sym]X5:[2x1 sym]

解决返回结构数组中的两个解决方案。显万博尤文图斯示解决方案。

structfun（@display，S）

ans=
                
                  $(\begin{array}{c} - \frac{1.}{24} \\ \frac{1.}{24} \end{array})$

ans=
                
                  $(\begin{array}{c} \frac{2.}{3.} \\ - \frac{2.}{3.} \end{array})$

ans=
                
                  $(\begin{array}{c} - 3. \\ 3. \end{array})$

ans=
                
                  $(\begin{array}{c} 4. \\ - 4. \end{array})$

ans=
                
                  $(\begin{array}{c} - 1. \\ 1. \end{array})$

通过施加第一个系数为正的额外条件，使解决方案唯一：

sys = [sys, X(1)>0];S=求解（sys，X）

S =结构体字段:X1:1/24 X2:-2/3 X3:3 X4:-4 X5:1

将溶液替换成溶液L．

L=潜艇（L，S）

L =
                
                  $\frac{T^{4.}}{24} - \frac{2. T^{3.}}{3.} + 3. T^{2.} - 4. T + 1.$

正如预期的那样，这个多项式是|n|th Laguerre多项式:

laguerreL (n, t)

ans=
                
                  $\frac{T^{4.}}{24} - \frac{2. T^{3.}}{3.} + 3. T^{2.} - 4. T + 1.$

评价点 $x_{我}$ 多项式的根是多少L. 解决L对于评估点。根是用根表示的根作用

x=求解（L）

x=
                
                  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 根 (σ_{1.}, Z, 1.) \\ 根 (σ_{1.}, Z, 2.) \\ 根 (σ_{1.}, Z, 3.) \\ 根 (σ_{1.}, Z, 4.) \end{array}) \\ 哪里 \\ σ_{1.} = Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24 \end{array}$

这些解决方案的形式可能表明没有实万博尤文图斯现任何目标，但是可以对它们进行各种操作。使用vpa:

vpa（x）

ans=
                
                  $(\begin{array}{c} 0.32254768961939231180036145910437 \\ 1.7457611011583465756868167125179 \\ 4.5366202969211279832792853849571 \\ 9.3950709123011331292335364434205 \end{array})$

可能会出现一些伪虚部。用符号证明根是实数:

isAlways（在（x，“真实”的))

ans=4 x1逻辑阵列1 1 1 1

对于次数小于或等于4的多项式，你可以使用MaxDegree用嵌套的根式而不是用万博尤文图斯根. 但是，对该表单结果的后续操作将非常缓慢。

xradical =解决(L,“MaxDegree”, 4)

xradical =
                
                  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 4. - σ_{1.} - σ_{3.} \\ 4. + σ_{1.} - σ_{3.} \\ σ_{3.} - σ_{2.} + 4. \\ σ_{3.} + σ_{2.} + 4. \end{array}) \\ 哪里 \\ σ_{1.} = \frac{\sqrt{96 σ_{6.} σ_{4.} - 3. σ_{5.} σ_{4.} - 288 σ_{4.} - 512 \sqrt{3.} \sqrt{6.} \sqrt{6. + \sqrt{3.} \sqrt{6.} 我}}}{2. {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6.} 我)}^{1. / 6.} {(144 σ_{6.} + 9 σ_{5.} + 864)}^{1. / 4.}} \\ σ_{2.} = \frac{\sqrt{96 σ_{6.} σ_{4.} - 3. σ_{5.} σ_{4.} - 288 σ_{4.} + 512 \sqrt{3.} \sqrt{6.} \sqrt{6. + \sqrt{3.} \sqrt{6.} 我}}}{2. {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6.} 我)}^{1. / 6.} {(144 σ_{6.} + 9 σ_{5.} + 864)}^{1. / 4.}} \\ σ_{3.} = \frac{σ_{4.}}{2. {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6.} 我)}^{1. / 6.}} \\ σ_{4.} = \sqrt{16 σ_{6.} + σ_{5.} + 96} \\ σ_{5.} = {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6.} 我)}^{2. / 3.} \\ σ_{6.} = {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6.} 我)}^{1. / 3.} \end{array}$

权重 $α_{我}$ 是由多项式的次数小于 $N$ ，求积规则必须产生精确的结果。如果这对这些多项式的向量空间的基成立就足够了。这种情况导致四个变量中的四个方程组。

y =符号(“是的”[n, 1]);sys =符号(0 (n));对于k=0:n-1系统（k+1）=和（y.*（x.^k））==int（t^k*w（t），t，0，inf）；终止系统

系统=
                
                  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} Y_{1.} + Y_{2.} + Y_{3.} + Y_{4.} = 1. & 0 & 0 & 0 \\ Y_{1.} 根 (σ_{1.}, Z, 1.) + Y_{2.} 根 (σ_{1.}, Z, 2.) + Y_{3.} 根 (σ_{1.}, Z, 3.) + Y_{4.} 根 (σ_{1.}, Z, 4.) = 1. & 0 & 0 & 0 \\ Y_{1.} {根 (σ_{1.}, Z, 1.)}^{2.} + Y_{2.} {根 (σ_{1.}, Z, 2.)}^{2.} + Y_{3.} {根 (σ_{1.}, Z, 3.)}^{2.} + Y_{4.} {根 (σ_{1.}, Z, 4.)}^{2.} = 2. & 0 & 0 & 0 \\ Y_{1.} {根 (σ_{1.}, Z, 1.)}^{3.} + Y_{2.} {根 (σ_{1.}, Z, 2.)}^{3.} + Y_{3.} {根 (σ_{1.}, Z, 3.)}^{3.} + Y_{4.} {根 (σ_{1.}, Z, 4.)}^{3.} = 6. & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ 哪里 \\ σ_{1.} = Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24 \end{array}$

对系统进行数值和符号求解。该解决方案是所需的权重向量 $α_{我}$ ．

[a1，a2，a3，a4]=vpasolve（sys，y）

a1=
                 $0.60315410434163360163596602381808$

a2 =
                 $0.35741869243779968664149201745809$

a3 =
                 $0.03888790851500538427243816815621$

a4 =
                 $0.00053929470556132745010379056762059$

[alpha1, alpha2, alpha3, alpha4] =解决(sys, y)

α1 =
                
                  $\begin{array}{l} - \frac{σ_{3.} σ_{2.} + σ_{3.} σ_{1.} + σ_{2.} σ_{1.} - σ_{3.} σ_{2.} σ_{1.} - 2. σ_{3.} - 2. σ_{2.} - 2. σ_{1.} + 6.}{(σ_{4.} - σ_{3.}) (σ_{4.} σ_{2.} + σ_{4.} σ_{1.} - σ_{2.} σ_{1.} - {σ_{4.}}^{2.})} \\ 哪里 \\ σ_{1.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 4.) \\ σ_{2.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 3.) \\ σ_{3.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 2.) \\ σ_{4.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 1.) \end{array}$

alpha2 =
                
                  $\begin{array}{l} \frac{根 (σ_{1.}, Z, 1.) 根 (σ_{1.}, Z, 3.) + 根 (σ_{1.}, Z, 1.) 根 (σ_{1.}, Z, 4.) + 根 (σ_{1.}, Z, 3.) 根 (σ_{1.}, Z, 4.) - 根 (σ_{1.}, Z, 1.) 根 (σ_{1.}, Z, 3.) 根 (σ_{1.}, Z, 4.) - 2. 根 (σ_{1.}, Z, 1.) - 2. 根 (σ_{1.}, Z, 3.) - 2. 根 (σ_{1.}, Z, 4.) + 6.}{(根 (σ_{1.}, Z, 2.) - 根 (σ_{1.}, Z, 1.)) (根 (σ_{1.}, Z, 2.) - 根 (σ_{1.}, Z, 3.)) (根 (σ_{1.}, Z, 2.) - 根 (σ_{1.}, Z, 4.))} \\ 哪里 \\ σ_{1.} = Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24 \end{array}$

阿尔法3=
                
                  $\begin{array}{l} \frac{σ_{3.} σ_{2.} + σ_{3.} σ_{1.} + σ_{2.} σ_{1.} - σ_{3.} σ_{2.} σ_{1.} - 2. σ_{3.} - 2. σ_{2.} - 2. σ_{1.} + 6.}{(σ_{4.} - σ_{1.}) (σ_{3.} σ_{2.} - σ_{3.} σ_{4.} - σ_{2.} σ_{4.} + {σ_{4.}}^{2.})} \\ 哪里 \\ σ_{1.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 4.) \\ σ_{2.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 2.) \\ σ_{3.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 1.) \\ σ_{4.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 3.) \end{array}$

alpha4 =
                
                  $\begin{array}{l} - \frac{σ_{3.} σ_{2.} + σ_{3.} σ_{1.} + σ_{2.} σ_{1.} - σ_{3.} σ_{2.} σ_{1.} - 2. σ_{3.} - 2. σ_{2.} - 2. σ_{1.} + 6.}{{σ_{4.}}^{2.} σ_{3.} + {σ_{4.}}^{2.} σ_{2.} + {σ_{4.}}^{2.} σ_{1.} - {σ_{4.}}^{3.} + σ_{3.} σ_{2.} σ_{1.} - σ_{3.} σ_{2.} σ_{4.} - σ_{3.} σ_{1.} σ_{4.} - σ_{2.} σ_{1.} σ_{4.}} \\ 哪里 \\ σ_{1.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 3.) \\ σ_{2.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 2.) \\ σ_{3.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 1.) \\ σ_{4.} = 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 4.) \end{array}$

或者，您也可以通过只提供一个输出参数来获得作为结构的解决方案。

S=求解（sys，y）

S =结构体字段:日元:-(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 2) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y2:(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y3:(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y4: -(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…

structfun（@double，S）

ans=4×10.6032 0.3574 0.0389 0.0005

转换结构s对于一个符号数组:

Scell=struct2cell（S）；alpha=转置（[Scell{:}]）

阿尔法=
                
                  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} - \frac{σ_{3.} + σ_{15} + σ_{2.} - σ_{6.} - σ_{12} - σ_{11} - σ_{10} + 6.}{(根 (σ_{16}, Z, 1.) - 根 (σ_{16}, Z, 2.)) (σ_{1.} + σ_{4.} - σ_{2.} - {根 (σ_{16}, Z, 1.)}^{2.})} \\ \frac{σ_{1.} + σ_{4.} + σ_{2.} - σ_{7.} - σ_{13} - σ_{11} - σ_{10} + 6.}{(根 (σ_{16}, Z, 2.) - 根 (σ_{16}, Z, 1.)) (根 (σ_{16}, Z, 2.) - 根 (σ_{16}, Z, 3.)) (根 (σ_{16}, Z, 2.) - 根 (σ_{16}, Z, 4.))} \\ \frac{σ_{5.} + σ_{4.} + σ_{15} - σ_{8.} - σ_{13} - σ_{12} - σ_{10} + 6.}{(根 (σ_{16}, Z, 3.) - 根 (σ_{16}, Z, 4.)) (σ_{5.} - σ_{1.} - σ_{3.} + {根 (σ_{16}, Z, 3.)}^{2.})} \\ - \frac{σ_{5.} + σ_{1.} + σ_{3.} - σ_{9} - σ_{13} - σ_{12} - σ_{11} + 6.}{σ_{14} 根 (σ_{16}, Z, 1.) + σ_{14} 根 (σ_{16}, Z, 2.) + σ_{14} 根 (σ_{16}, Z, 3.) - {根 (σ_{16}, Z, 4.)}^{3.} + σ_{9} - σ_{8.} - σ_{7.} - σ_{6.}} \end{array}) \\ 哪里 \\ σ_{1.} = 根 (σ_{16}, Z, 1.) 根 (σ_{16}, Z, 3.) \\ σ_{2.} = 根 (σ_{16}, Z, 3.) 根 (σ_{16}, Z, 4.) \\ σ_{3.} = 根 (σ_{16}, Z, 2.) 根 (σ_{16}, Z, 3.) \\ σ_{4.} = 根 (σ_{16}, Z, 1.) 根 (σ_{16}, Z, 4.) \\ σ_{5.} = 根 (σ_{16}, Z, 1.) 根 (σ_{16}, Z, 2.) \\ σ_{6.} = 根 (σ_{16}, Z, 2.) 根 (σ_{16}, Z, 3.) 根 (σ_{16}, Z, 4.) \\ σ_{7.} = 根 (σ_{16}, Z, 1.) 根 (σ_{16}, Z, 3.) 根 (σ_{16}, Z, 4.) \\ σ_{8.} = 根 (σ_{16}, Z, 1.) 根 (σ_{16}, Z, 2.) 根 (σ_{16}, Z, 4.) \\ σ_{9} = 根 (σ_{16}, Z, 1.) 根 (σ_{16}, Z, 2.) 根 (σ_{16}, Z, 3.) \\ σ_{10} = 2. 根 (σ_{16}, Z, 4.) \\ σ_{11} = 2. 根 (σ_{16}, Z, 3.) \\ σ_{12} = 2. 根 (σ_{16}, Z, 2.) \\ σ_{13} = 2. 根 (σ_{16}, Z, 1.) \\ σ_{14} = {根 (σ_{16}, Z, 4.)}^{2.} \\ σ_{15} = 根 (σ_{16}, Z, 2.) 根 (σ_{16}, Z, 4.) \\ σ_{16} = Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24 \end{array}$

象征性的解决方案看起来很复杂。将其简化，并将其转换为浮点向量:

alpha=简化（alpha）

阿尔法=
                
                  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} \frac{{根 (σ_{1.}, Z, 1.)}^{2.}}{72} - \frac{29 根 (σ_{1.}, Z, 1.)}{144} + \frac{2.}{3.} \\ \frac{{根 (σ_{1.}, Z, 2.)}^{2.}}{72} - \frac{29 根 (σ_{1.}, Z, 2.)}{144} + \frac{2.}{3.} \\ \frac{{根 (σ_{1.}, Z, 3.)}^{2.}}{72} - \frac{29 根 (σ_{1.}, Z, 3.)}{144} + \frac{2.}{3.} \\ \frac{{根 (σ_{1.}, Z, 4.)}^{2.}}{72} - \frac{29 根 (σ_{1.}, Z, 4.)}{144} + \frac{2.}{3.} \end{array}) \\ 哪里 \\ σ_{1.} = Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24 \end{array}$

vpa（α）

ans=
                
                  $(\begin{array}{c} 0.60315410434163360163596602381808 \\ 0.35741869243779968664149201745809 \\ 0.03888790851500538427243816815621 \\ 0.00053929470556132745010379056762059 \end{array})$

通过替换根的引用来增加可读性x在里面阿尔法缩写：

潜艇(α,x,信谊(“R”, [4, 1]))

ans=
                
                  $(\begin{array}{c} \frac{{R_{1.}}^{2.}}{72} - \frac{29 R_{1.}}{144} + \frac{2.}{3.} \\ \frac{{R_{2.}}^{2.}}{72} - \frac{29 R_{2.}}{144} + \frac{2.}{3.} \\ \frac{{R_{3.}}^{2.}}{72} - \frac{29 R_{3.}}{144} + \frac{2.}{3.} \\ \frac{{R_{4.}}^{2.}}{72} - \frac{29 R_{4.}}{144} + \frac{2.}{3.} \end{array})$

对权重求和，表明它们的和等于1:

简化(sum(α))

ans=
                 $1.$

获得求积规则权重的另一种方法是使用公式计算它们 $α_{我} = \int_{A.}^{B} W (T) \prod_{J \neq 我} \frac{T - x_{J}}{x_{我} - x_{J}} D T$ . 这样做是为了 $我 = 1.$ ．它导致的结果与其他方法相同:

int (w (t) * prod (t - x(2:4)。/ (x (1) - x (2:4))), t, 0,正)

ans=
                
                  $\frac{{根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 1.)}^{2.}}{72} - \frac{29 根 (Z^{4.} - 16 Z^{3.} + 72 Z^{2.} - 96 Z + 24, Z, 1.)}{144} + \frac{2.}{3.}$

求积规则即使对于阶数小于或等于的所有多项式也能产生精确的结果 $2. N - 1.$ ，但不是为 $T^{2. N}$ ．

简化（和（alpha.*（x.^（2*n-1））-int（t^（2*n-1）*w（t），t，0，inf））

ans=
                 $0$

简化（和（alpha.*（x.^（2*n））-int（t^（2*n）*w（t），t，0，inf））

ans=
                 $- 576$

将求积法则应用于余弦，并与精确结果进行比较:

vpa（总和（α*（cos（x）））

ans=
                 $0.50249370546067059229918484198931$

整数（cos（t）*w（t），t，0，inf）

ans=
                
                  $\frac{1.}{2.}$

对于余弦的幂，误差在奇次幂和偶次幂之间振荡:

误差=零（1,20）；对于k = 1:20错误(k) =双(总和(α。* (cos (x)。^ k)) int (cos (t) ^ k * w (t), t, 0,正));终止绘图（真实（错误））

图中包含一个轴对象。axes对象包含类型为line的对象。

Gauss-Laguerre求积求值点和权重

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