数学公式gydF4y2Ba

质量的位置gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$的水平坐标gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$和垂直坐标gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$重力势能的吗gydF4y2Ba $$\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。在春天的势能gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba(gydF4y2Ba\mathrm{dgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{)gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}/gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$$,在那里gydF4y2Ba $$\mathrm{dgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$是弹簧的长度之间的质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$和质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$。以锚点1为大规模0的位置,质量和锚点2的位置gydF4y2Ba $$\mathrm{ngydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$。前面的能量计算表明,春天的势能gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba

$$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba=gydF4y2Ba\frac{\mathrm{kgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba(gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba})gydF4y2Ba为gydF4y2Ba-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{)gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}}{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$。gydF4y2Ba

调整这种潜在的能源问题作为一个二阶锥规划问题需要引入一些新的变量,如Lobo所述gydF4y2Ba[1]gydF4y2Ba。创建变量gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$等于根号gydF4y2Ba $$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $$\mathrm{egydF4y2Ba}$$是单位的列向量gydF4y2Ba $$(gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{0gydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}}]gydF4y2Ba$$。然后gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba=gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。这个问题变得gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{最小值gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba+gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}})gydF4y2Ba。gydF4y2Ba$$(1)gydF4y2Ba

现在考虑gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$作为一个免费矢量变量,而不是由前面的方程gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$。整合之间的关系gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$和gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$在新的锥约束gydF4y2Ba

$$为gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba})gydF4y2Ba为gydF4y2Ba-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\mathrm{kgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba}}\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba。gydF4y2Ba$$(2)gydF4y2Ba

目标函数是没有线性的变量,如所需gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba。介绍一个新的标量变量gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。注意,不平等gydF4y2Ba $$为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$相当于不平等吗gydF4y2Ba

$$为gydF4y2Ba(gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}-\; -\; -\; -\; -\; -gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}]gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。(3)gydF4y2Ba

现在的问题是减少gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}{\mathrm{最小值gydF4y2Ba}}(gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$(4)gydF4y2Ba

锥约束gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$和gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}(gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$$在(2)和额外的上市锥约束(3)。(3)确保锥约束gydF4y2Ba $$为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。因此,问题(4)相当于问题(1)。gydF4y2Ba

目标函数和锥约束问题(4)适合的解决方案gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba。gydF4y2Ba

MATLAB®配方gydF4y2Ba

定义六弹簧常数gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}$$,6个长度常量gydF4y2Ba $$\mathrm{lgydF4y2Ba}$$群众,5gydF4y2Ba $$\mathrm{米gydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

k = 40 * (1:6);l = [1 1/2 1 2 1 1/2];m = (2 1 3 2 1);g = 9.807;gydF4y2Ba

定义优化变量对应变量的数学问题。为简单起见,设置锚点两个虚拟质量点gydF4y2Bax (1:)gydF4y2Ba和gydF4y2Bax(最终,:)gydF4y2Ba。这个配方允许每年春天两个物体之间延伸。gydF4y2Ba

nmass =长度(米)+ 2;gydF4y2Ba% k和l nmass-1元素gydF4y2Ba% m nmass - 2元素gydF4y2Bax = optimvar (gydF4y2Ba“x”gydF4y2Ba[nmass 2]);t = optimvar (gydF4y2Ba“t”gydF4y2Banmass-1,gydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba,0);y = optimvar (gydF4y2Ba“y”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba,0);gydF4y2Ba

创建一个优化问题,设置目标函数的表达式(4)。gydF4y2Ba

概率= optimproblem;obj =点(x (2: (end-1), 2), m) * g + y;概率。目标= obj;gydF4y2Ba

创建对应的锥约束表达式(2)。gydF4y2Ba

conecons = optimineq (nmass - 1);gydF4y2Ba为gydF4y2Ba2 = 1:(nmass-1) conecons (ii) =规范(x (2 + 1,:) - x (ii,:)) - l (ii) < =√6 (2 / k (ii)) * t (2);gydF4y2Ba结束gydF4y2Baprob.Constraints。conecons = conecons;gydF4y2Ba

指定锚点gydF4y2Baanchor0gydF4y2Ba和gydF4y2BaanchorngydF4y2Ba。创建等式约束指定两个虚拟质量位于锚点结束。gydF4y2Ba

anchor0 = [0 5];anchorn = 4 [5];anchorcons = optimeq (2, 2);:anchorcons (1) = x (1:) = = anchor0;:anchorcons (2) = x(最终:)= = anchorn;prob.Constraints。anchorcons = anchorcons;gydF4y2Ba

创建锥约束对应表达式(3)。gydF4y2Ba

ycone =规范([2 * t; (1 y)]) < = 1 + y;prob.Constraints。ycone = ycone;gydF4y2Ba

解决问题gydF4y2Ba

制定完成的问题。通过调用解决问题gydF4y2Ba解决gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[溶胶,fval eflag、输出]=解决(问题);gydF4y2Ba

使用coneprog解决问题。找到最优解。gydF4y2Ba

解决方案分和锚的阴谋。gydF4y2Ba

情节(sol.x (2: (nmass-1), 1), sol.x (2: (nmass-1), 2),gydF4y2Ba“罗”gydF4y2Ba)举行gydF4y2Ba在gydF4y2Ba情节([sol.x (1, 1), sol.x (, 1)]、[sol.x (1、2), sol.x (, 2)),gydF4y2Ba“ks”gydF4y2Ba)情节(sol.x (: 1) sol.x (:, 2),gydF4y2Ba“b——”gydF4y2Ba)传说(gydF4y2Ba“计算点”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“锚点”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“泉”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“最佳”gydF4y2Ba)xlim ([sol.x (1,1) -0.5, sol.x(结束,1)+ 0.5])ylim ([min (sol.x(:, 2)) -0.5,马克斯(sol.x (:, 2)) + 0.5])gydF4y2Ba从gydF4y2Ba

你可以改变参数的值gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2BakgydF4y2Ba看到它们是如何影响的解决方案。你也可以改变大众的数量;代码从数据你需要群众的数量供应。gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba

[1]Lobo米格尔·苏萨,列文Vandenberghe斯蒂芬·博伊德,Herve Lebret。“二阶锥规划的应用”。gydF4y2Ba线性代数及其应用gydF4y2Ba284年,没有。1 - 3(1998年11月):193 - 228。gydF4y2Bahttps://doi.org/10.1016/s0024 - 3795 (98) 10032 - 0gydF4y2Ba。gydF4y2Ba