适合的数据和模型

我们将利用收集到的数据来研究工业和生活垃圾造成的水污染。这些数据在Box, g.p.， W.G. Hunter, and J.S. Hunter, statistical for Experimenters (Wiley, 1978, pp. 483-487)中有详细描述。反应变量为生化需氧量(mg/l)，预测变量为孵育时间(天)。

X = [1 2 3 5 7 10]';Y = [109 149 149 191 213 224]';情节(x, y,“柯”)包含(“孵化(天)，x”) ylabel (生化需氧量(mg/l, y)）

我们假设已知前两次观测的精度低于其余观测。例如，它们可能是用不同的仪器制造的。加权数据的另一个常见原因是，每个记录的观测值实际上是在相同的x值下进行的几次测量的平均值。在这里的数据中，假设前两个值代表单个原始测量值，而其余四个值分别是5个原始测量值的平均值。然后，根据每次观测的测量次数来加权是合适的。

W = [1 1 5 5 5 5]';

拟合无权重模型

我们将为这些数据拟合的模型是一个缩放指数曲线，当x变大时，它变得水平。

modelFun = @(b,x) b(1).*(1-exp(-b(2).*x));

根据粗略的视觉拟合，通过这些点绘制的曲线似乎在x = 15附近的240左右水平。所以我们将用240作为b1的起始值，由于e^(- 0.5 *15)比1小，我们将用0.5作为b2的起始值。

Start = [240;5);

忽略测量误差的危险在于，拟合可能会受到不精确测量的过度影响，因此可能无法为精确已知的测量提供良好的拟合。让我们不加权重地拟合数据，并将其与点进行比较。

nlm = fitnlm(x,y,modelFun,start);Xx = linspace(0,12)';线(xx,预测(nlm, xx),“线型”，“——”，“颜色”，“k”）

注意，拟合曲线被拉向前两点，但似乎错过了其他点的趋势。

用权重拟合模型

让我们试着用重量来重复这个拟合。

wnlm = fitnlm(x,y,modelFun,start，“重量”w)

wnlm =非线性回归模型:y ~ b1*(1 - exp(- b2*x)))估计系数:估计SE tStat pValue ________ ________ ______ __________ b1 225.17 10.7 21.045 3.0134e-05 b2 0.40078 0.064296 6.2333 0.0033745观测数量:6，误差自由度:4均方根误差:24 r平方:0.908，调整r平方0.885 f统计量vs零模型:696,p值= 8.2e-06

线(xx,预测(wnlm, xx),“颜色”，“b”）

在这种情况下，估计的总体标准差描述了权重或测量精度为1的“标准”观测值的平均变化。

wnlm。RMSE

Ans = 24.0096

任何分析的一个重要部分都是对模型拟合精度的估计。系数显示参数的标准误差，但我们也可以为它们计算置信区间。

coefCI (wnlm)

ans =2×2195.4650 254.8788 0.2223 0.5793

估算响应曲线

接下来，我们将为它们计算拟合的响应值和置信区间。默认情况下，这些宽度是预测值的逐点置信界限，但我们将要求整个曲线的同步间隔。

[ypred,ypredci] = predict(wnlm,xx，“同时”,真正的);情节(x, y,“柯”xx ypred,“b -”xx ypredci,“:”)包含(“x”) ylabel (“y”) ylim([-150 350])“数据”，“加权匹配”，“95%置信限”}，.．.“位置”，“东南”）

请注意，这两个向下加权的点并不像其余的点那样适合曲线。这就是你所期望的加权拟合。

也可以在指定的x值上估计未来观测的预测间隔。这些间隔实际上假设权重或测量精度为1。

[ypred,ypredci] = predict(wnlm,xx，“同时”,真的,.．.“预测”，“观察”）;情节(x, y,“柯”xx ypred,“b -”xx ypredci,“:”)包含(“x”) ylabel (“y”) ylim([-150 350])“数据”，“加权匹配”，“95%预测极限”}，.．.“位置”，“东南”）

权重的绝对比例实际上并不影响参数估计。将权重调整为任何常数都会得到相同的估计值。但它们确实会影响置信范围，因为这些范围代表了权重为1的观察结果。在这里您可以看到，与置信度极限相比，具有较高权重的点似乎太接近拟合线。

假设我们对基于五次测量平均值的新观测结果感兴趣，就像图中的最后四个点一样。方法指定观测权重权重的名称-值参数预测函数。

[new_ypred,new_ypredci] = predict(wnlm,xx，“同时”,真的,.．.“预测”，“观察”，“重量”5 *的(大小(xx)));情节(x, y,“柯”xx new_ypred,“b -”xx new_ypredci,“:”)包含(“x”) ylabel (“y”) ylim([-150 350])“数据”，“加权匹配”，“95%预测极限”}，.．.“位置”，“东南”）

的预测函数估计观测时的误差方差我通过MSE * (1 / W (i)),在那里均方误差是均方误差。因此，置信区间变窄。

残留分析

除了绘制数据和拟合之外，还绘制从拟合到预测因子的残差，以诊断模型中的任何问题。残差应该表现为独立和同分布(i.i.d)，但方差与权重的倒数成正比。绘制标准化残差，以确认具有相同方差的值是i.i.d.。标准化残差是原始残差除以估计的标准差。

r = wnlm. residual . standardization;情节(x, r,“b ^”)包含(“x”) ylabel (标准化残差的）

在这个残差图中有一些系统模式的证据。请注意后四个残差是如何具有线性趋势的，这表明随着x的增加，模型可能增加得不够快。此外，残差的大小往往随着x的增加而减小，这表明测量误差可能取决于x。这些值得研究，然而，数据点太少，很难将这些明显的模式联系起来。