好的。这里有或多或少的乐趣的例子。因为你会看到我尝试这样做。你可以做的更好。我所说的问题翻滚块。只有在这个例子中,在我的示范,这将是一个翻滚的书。
我会拿一本书,圣书,并在空中扔了吧。我会扔了三种不同的方式。而问题是,是纺纱本书稳定与否?让我告诉你三种方式,然后给你,从欧拉附带的三个方程。
这就是三个方程。它们不是线性的。这些是角动量。所以方程背后有一些物理原理。但对我们来说,这是三个方程。
所以第一次抛掷会绕着很短的轴旋转,只有书本的厚度,可能是一英寸。所以当我把它扔出去的时候,就像我现在这样,你会看到我是否能把它扔得不那么紧张。它来了——它很稳定。我毫不犹豫地把书还给了我。
当然,我的神经会给它一点点摆动,而摆动将继续。这将是唯一的折中稳定。摆动不会消失。不过,这并不长成一个翻滚。好的。所以这是一个轴,短轴。
那我就也把它周围的长轴,翻转这样的。我认为,这将是稳定了。然后,最后,在中间轴,中间是长度轴。请注意,是抱着书堂橡皮筋。抱着这样的页面不开。而这一点,我们会看到,我想,将是不稳定的。
类似地,扔一个足球,扔其他飞盘,不管你扔什么。任何三维物体都有这三个轴:一个短轴,一个中轴和一个长轴。方程会告诉我们,长轴和短轴都会有一个稳定的转动。中间的轴是不稳定的。
那么,我们如何决定我们的微分方程的固定点,固定点,这是一个临界点,一个稳定的state--我们必须找到这个稳定的状态,然后为每个稳态我们是否线性化。我们发现在这个稳定状态下的衍生物。这给了我们在这个稳态常数矩阵。然后,特征值决定。
首先,找出临界点。第二步,求临界点处的导数。第三,对于那个导数矩阵,找到特征值并确定稳定性。这就是步骤的顺序。好的。这是我们第一次做3×3矩阵。也许是最后一次。好。
在我开始之前,在我找到临界点之前,注意一些很好的性质。如果我把这个方程乘以x,这个乘以y,这个乘以z,然后相加,这些加起来等于0。当这里有一个x,一个y,一个z,我得到1 - 2和1它们加起来等于0。所以x乘以dx / dt。y乘以dy / dt。z乘以dz乘以dt等于0。
这是一个重要的事实。它告诉我们某函数的导数是0。它是一个常数。这里整个的导数可能是1 / 2的导数。x²,因为x²的导数是1 / 2。导数是xdx / dt。y方和z方的导数是0。这条直线的导数就是这条直线。是0。这是一个常数。
毫无疑问,这可能告诉我们总能量,动能,是恒定的。我把那本书扔到空中后,就再也不碰它了。它在做自己的事。它不会改变能量因为它什么都没发生。它就在那里。这是一个很好的例子。这是一个常数。
还有另一种方法。如果这个乘以2x,这个乘以y,加上这两个,就消掉了。2x dx dt, 2x乘以第一个,y乘以第二个等于0。我又看到了一个常数。某个东西的导数,这个东西是x²+ 1/ 2y²是一个常数。另外一个很好的事实。另一个守恒的量。
正如我在太空中飞舞着,这个量x的平方加上1/2Ÿ平方不会改变。这〜的排序所涉及的所有XYZ的。当然,这是一个球体的方程。因此,在能源领域,或者在XYZ空间,我们的解决方案是四处漂泊的球体。这是公式,我想,这是一个椭圆形。所以这是对的球形的椭圆,它的实际停留在那个椭圆形。
实际上还有另一个椭圆因为我可以把这个乘以2z这个乘以y,然后相加。然后这些就消掉了。减去2xyz加上2xyz。这也告诉我们它可能是(z²+ 1/ 2y²)=一个常数。这是另一个椭圆。z的平方加上1/ 2y的平方。你看到了吗?如果对它求导,就得到2z * dz / dt + y * dy / dt。添加为0。导数是0。 The thing is a constant.
但!但是,但是,但是!如果我从这个减去这一项,拿这两者的区别。假设我借此一减这一个。1/2Ÿ方会去。这样就告诉我说,X平方Z轴负的平方是一个常数。好家伙!我还没有解决我的三个方程。但是,我发现了一大堆有关解决方案。该解决方案停留在球上,某种程度上左右徘徊。 It also at the same time stays on that ellipse. And it stays on that ellipse. But this is not an ellipse, not an ellipse. That's the equation of a hyperbola. And that's why-- which, of course, goes off to infinity. And that's why the-- well, it goes off to infinity, but it has to stay on the sphere. It wanders. This will be responsible for the unstable motion.
教授,谁能比我做得更好呢,他在1803年的伟大演讲,微分方程,就是这个。整整一个小时来告诉你关于那个翻滚的盒子的一切。所以我要做演示,写下主要事实,理解稳定性,讨论稳定性。我准备继续讨论稳定性。
同样,这里是我的三个方程。我们最多三个方程,所以我们将有一个三乘三矩阵。而首先我必须找出关键点,这个运动的稳定状态。我怎么能折腾,这样,如果我折腾它完美它保持完全一样扔?答案是,绕轴。
如果我折腾这个完美的,没有神经,它只会旋正是因为我把它扔。在x,y和z都将是不变的。现在,当我折腾它在该轴上。我期待for--这里是我的右手边。YZ,减去2XZ和XY。而我写的那些大写字母,因为这些都将是我的稳定状态。现在我所寻找的是什么地方的发生点。
如果方程的这三个右手边是0,我不会动。XYZ将留在原地。所以你可以看到这三个方程的解?万博 尤文图斯那么,他们是非常特别的方程式。我得到一个解决方案时,例如,解决方案可能是1,0,0 /万博 尤文图斯
如果三个中的两个,如果y和z等于0。y = 0, z = 0, y和z = 0,得到0。所以这是一个稳定的状态。x = 1 y和z = 0和0。这个稳态是绕一个轴旋转的。实际上,我也可以有- 1。我已经找到了,y和z为0的两个稳态。然后还有两个x和z0。这可以是——它会绕着中轴旋转。然后0 0 1或- 1,它会绕着第三个轴旋转,也就是长轴。
这些是稳态。我想,考虑一下,0,0,0也是一个稳态。我想我都找到了。这些是xy。这些是x y z的稳态。好。
所以,现在,一旦你知道的稳定状态,这通常是乐趣,因为它是在这里。现在略显不足乐趣步骤是找到所有的衍生物,发现该衍生雅可比矩阵。所以,我有三个方程。三个未知数,XYZ。三个右手边。我必须find--我将有一个三乘三矩阵衍生物。这个雅可比矩阵。所以J表示雅可比,一阶导数的矩阵。
那么一阶导数的矩阵是什么呢?我来写一下雅可比矩阵。它以雅各比的名字命名。它是一阶导数矩阵。第一行是第一个函数对x的导数,对x的导数是0。关于y的导数是z,关于z的导数是y,这些是偏导数。题目告诉我们第一个未知的x移动了多少。题目告诉我,在临界点附近的第一个未知x发生了什么。
好的。第二个方程的偏导数呢?它的偏导数就在这一行。所以x有- 2z。y的导数是0。z的导数是- 2x。第三个,z的导数是0。y在x中的导数,x的导数是y,我已经找到了带有9个偏一阶导数的3×3矩阵。好。
它是矩阵的特征值在这个地方,决定稳定。所以我写下来。在关键点的J特征值X,Y,Z这正是我需要的。这就是决定的稳定性。
我们取第一个临界点。矩阵是什么?我要算出这一点的矩阵是什么?我只取1,0,0。1,0,0。如果x = 1,我得到,这是x = 1的点。y和z等于0。如果x = 1,那么这就是- 2和1。我认为其他的都是0。
所以它会是矩阵决定定点的稳定性1,0,0的特征值。请记住,这就是折腾周围的窄轴。这是围绕短轴的折腾。好的。
那么,那些矩阵的特征值?好了,我可以在这里看到,说实在的,三个三个。但实际上,与所有那些为0,这给了我的0的特征值因此,我将不得不为0的特征值这里。然后,我会从该矩阵,这是两个由两个部分具有特征值。因此,我将有一个lambda这里等于0。从这里两个特征值。
我看这一点,我看到了什么?现在,这是两个两个问题。我看到痕迹0 0 0加我的特征值都是一个加号和减号对,因为它们添加到0。他们多次给予决定性因素。该矩阵的行列式2.矩阵的行列式2.确定。
所以它有一个积极的因素。这对稳定性好。但跟踪仅为0.这不是很负面。这不是积极的。它只是为0。因此,这将是中性稳定的情况下。特征值将be--我会从那里一0特征值。从这两个两个特征值将be--还会有2次平方根我和负的2倍我的平方根。我认为这些是特征值。
而我看到有他们都是虚构的。这是一个纯粹的振荡。摆动保持晃动。不会变得更糟。不会消失。这是在这一点上中性的稳定性。所以中性稳定性是我们希望能再次看到。是。而且我觉得,另外,如果我在长轴翻转。好。 Did you see that brilliant throw? It's neutral stability. It came back without doing anything too bad.
最后我要画出大家都在热切等待的中轴。中间的轴是书开始滚动的时候,问题是我能不能抓住它。我可以试一试吗?然后我能在中性轴上找到什么?我希望不稳定。我想它应该是一个鞍点。但是会有一个正的特征值。
会有一个正的特征值。它负责翻滚,你将看到的狂野翻滚。它与保持在双曲线上的点有关这个点远离,所以我现在做的就是这个点。这个是。我在它周围画一个框,一个双框。这是不稳定的,我马上要演示。
准备?好的。哎呦。好的。花了两只手抓住它。让我再试试。问题的关键是它开始翻滚,并且它会在各个方向。这就像一个足球,一个实在太差抛出足球。这就像一个足球被抛出去的是端到端的。整个飞行打破了,球是一个烂摊子。 Catching it is ridiculous. And I'm doing it with a book. Yes. You saw that by watching really closely. OK. Better if you do it.
在这一点上我将以特征值结束。那么这一点的特征值,我能擦掉我的矩阵吗?所以这是一个中性稳定的,稳定语言的中心。这是一个中心,你可以绕着它转一圈又一圈。但现在我要让x和z等于0 y等于1。我可以擦掉这个矩阵,然后
如果x和z是0,y是1--所以我得到一个1到这里。我得到一个1那里。而不是其他。其他的都是0确定。这是我的三个三个矩阵。什么是它的特征值?什么是三个由三个非常特殊矩阵的特征值?
这是现在曲风这是一阶导数矩阵,雅可比矩阵,在这一点上,对应于中间轴。好的。同样,我看到一些0。我会用两个矩阵,该矩阵这减少两个。说真的,我有这两个两个矩阵在xz,而这一次在y。怎么样的人?
你能从这个矩阵中看出我们在看什么。有了这个矩阵,我可以告诉你特征值。我们可以看到trace是0。特征值加到0。它们乘以行列式。行列式是- 1。所以这里的特征值是1和- 1。然后这个给0。
这个特征值是不稳定的。1的特征值是不稳定的。好的。所以数学显示了实验的结果:一个不稳定的旋转围绕着中间的轴打转。谢谢你!
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