从系列中:了解卡尔曼滤波器
梅尔达·乌鲁索伊,数学工程
观看本视频,了解卡尔曼滤波器的工作原理。卡尔曼滤波器结合了两种信息源,即预测状态和噪声测量,以产生系统状态的最优无偏估计。滤波器是最优的,因为它最小化了估计状态的方差。
这个例子介绍了一个线性单状态系统,其中被测输出与状态(汽车的位置)相同。视频解释了影响系统的过程和测量噪声。您将了解到,在存在不确定测量值时,卡尔曼滤波器以最小方差计算无偏态估计。视频通过说明概率密度函数显示卡尔曼滤波器背后的工作原理。你可以通过下载MATLAB来创建视频中讨论的概率密度函数®来自MATLAB中央文件交换的代码。
记录日期:2017年3月27日
在本视频中,我们将讨论卡尔曼滤波算法的工作原理。让我们从一个例子开始。当你拼命盯着账单看的时候,杂志上的广告吸引了你的眼球。你可以通过参加一个比赛赚取100万美元,在比赛中你设计了一辆自动驾驶汽车,它使用GPS传感器来测量它的位置。
你的车应该在100个不同的地形上行驶1公里。每次,它都必须尽可能靠近终点线。在比赛结束时,计算各车队的平均决赛位置,误差方差最小且平均决赛位置最接近1公里的赛车车主将获得大奖。
这是一个例子。让这些点代表最后的位置,红色的点代表不同队伍的平均最后位置。基于这些结果,团队1将会由于有偏差的平均最终位置而失败,尽管它有小的方差。第二队也会输。它的平均最终位置在终点线,但它有很高的方差。获胜者将是第三队,因为它的方差最小,而且它的平均最终位置在终点线上。
如果你想成为百万富翁,你就不能仅仅依靠GPS的读数,因为它们可能会很吵。为了达到赢得比赛的要求,你可以用卡尔曼滤波器来估计赛车的位置。让我们看看这个系统来了解卡尔曼滤波器是如何工作的。
汽车的输入装置是节流阀。我们感兴趣的输出是汽车的位置。对于这样一个系统,我们会有多种状态。但是这里,为了给你们直观的感觉,我们假设一个过于简单的系统,输入到汽车上的是速度。这个系统将有一个单一的状态,即汽车的位置。我们测量状态所以矩阵C等于1。
尽可能准确地知道y是很重要的,因为我们希望汽车尽可能接近终点线。但是GPS的读数会很吵。我们将用v表示测量噪声,v是一个随机变量。同样,过程噪声也是随机的,可以表示风的影响或汽车速度的变化。
虽然这些随机变量不遵循一个模式,但利用概率论,我们可以告诉一些关于它们的平均性质。v、 例如,假设从均值和协方差为零的高斯分布中提取。这意味着,如果我们在同一位置测量汽车的位置,比如说在同一位置测量100次,这些读数中的噪声将呈现值,其中大多数读数位于均值附近,而较少读数位于远离均值的位置。这就得到了高斯分布,用协方差R来描述。
由于我们有一个单一的输出系统,协方差R是标量,等于测量噪声的方差。同样,过程噪声也是随机的,并且假设协方差为q的高斯分布。现在,我们知道测量是有噪声的,因此我们测量的并不能完全反映汽车的真实位置。如果我们知道汽车模型,我们就可以通过输入来估计位置。但这个估计也不是完美的,因为我们现在估计的是x,由于过程噪声的影响,x是不确定的。这就是卡尔曼滤波器发挥作用的地方。它结合了这两个信息,以提出最佳估计汽车的位置,在存在的过程和测量噪音。
我们将借助概率密度函数直观地讨论卡尔曼滤波器的工作原理。在初始时间步骤k减1时,实际的汽车位置可以是估计值x hat k减1附近的任何地方。这种不确定性用概率密度函数来描述。
这张图还告诉我们,汽车最可能出现在这个分布的均值附近。在下一个时间步,估计中的不确定性增加了,其方差较大。这是因为在时间步长k - 1到k之间,汽车可能撞到了一个坑,或者车轮可能滑了一点。因此,它可能走了与我们通过模型预测的不同的距离。
正如我们之前讨论过的,关于汽车位置的另一个信息来源是测量。这里的方差表示噪声测量的不确定度。同样,真正的位置可以是中庸周围的任何地方。
现在我们有了预测和测量,问题是,什么是汽车位置的最佳估计?结果表明,估计汽车位置的最佳方法是将这两条信息结合起来。这是通过把这两个概率函数相乘来完成的。得到的乘积也是高斯函数。
这个估计值的方差比之前的任何一个估计值都小,并且这个概率密度函数的平均值给出了汽车位置的最优估计。这是卡尔曼滤波的基本思想。但要赢得竞争,你需要能够实现算法。我们将在下一个视频中讨论这个问题。
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