双树复小波变换GydF4y2Ba

此示例使用：GydF4y2Ba

这个例子展示了双树复小波变换(DTCWT)在信号、图像和体积处理方面如何比严格采样小波变换(DWT)提供优势。DTCWT被实现为两个独立的双通道滤波器组。要获得本例中描述的优点，您不能任意选择在这两棵树中使用的尺度滤波器和小波滤波器。低通(缩放)和高通(小波)的一个树滤波器，GydF4y2Ba ${GydF4y2Ba {HGydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} 那GydF4y2Ba {HGydF4y2Ba}_{1GydF4y2Ba}}GydF4y2Ba$ ，必须生成缩放功能和小波，其近似于缩放功能的Hilbert变换和由其他树的低通和高通滤波器产生的缩放功能和小波，GydF4y2Ba ${GydF4y2Ba {GGydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} 那GydF4y2Ba {GGydF4y2Ba}_{1GydF4y2Ba}}GydF4y2Ba$ ．因此，由这两棵树形成的复值尺度函数和小波是近似解析的。GydF4y2Ba

结果，DTCWT表现出较少的频移差和比仅具有批定采样的DWT更少的换档方差和更方向的选择性GydF4y2Ba ${2GydF4y2Ba}^{D.GydF4y2Ba}$ 冗余因子GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba$ 维数据。DTCWT的冗余明显小于非抽取(平稳)DWT的冗余。GydF4y2Ba

该示例说明了DTCWT的近似换档不变性，在2-D和3-D中的双树分析小波的选择性方向，以及在图像和体积去噪中的双树复杂离散小波变换的使用。GydF4y2Ba

DTCWT的近移不变性GydF4y2Ba

DWT存在位移方差，即输入信号或图像的小位移会导致DWT系数中信号/图像能量跨尺度分布的显著变化。DTCWT近似为平移不变。GydF4y2Ba

为了在一个测试信号上证明这一点，构造两个移动的离散时间脉冲，长度为128个样本。一个信号在样本60处有单位脉冲，而另一个信号在样本64处有单位脉冲。两个信号显然都有单位能量(GydF4y2Ba ${L.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}$ 规范)。GydF4y2Ba

kronDelta1 = 0 (128 1);kronDelta1 (60) = 1;kronDelta2 = 0 (128 1);kronDelta2 (64) = 1;GydF4y2Ba

将DWT扩展模式设置为定期。通过长度14获取两个信号的DWT和DTCWT到3级，带有小波和缩放滤波器。提取水平-3细节系数进行比较。GydF4y2Ba

ORIGMODE = DWTMODE（GydF4y2Ba“状态”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'nodisplay'GydF4y2Ba）;dwtmode (GydF4y2Ba“每”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'nodisp'GydF4y2Ba）j = 3;[dwt1c，dwt1l] = wavedec（Krondelta1，J，GydF4y2Ba“sym7”GydF4y2Ba）;[DWT2C，DWT2L] = Wavedec（Krondelta2，J，GydF4y2Ba“sym7”GydF4y2Ba）;dwt1cfs = detcoef（dwt1c，dwt1l，3）;dwt2cfs = detcoef（dwt2c，dwt2l，3）;[dt1a，dt1d] = dualtree（krondelta1，GydF4y2Ba'等级'GydF4y2BaJGydF4y2Ba“FilterLength”GydF4y2Ba14);[dt2A, dt2D] = dualtree (kronDelta2,GydF4y2Ba'等级'GydF4y2BaJGydF4y2Ba“FilterLength”GydF4y2Ba14);dt1cfs = dt1d {3};dt2cfs = dt2d {3};GydF4y2Ba

绘制DWT和DTCWT系数的绝对值，在第3级时的两个信号，并计算能量（SquaredGydF4y2Ba ${L.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}$ 系数的范数)。画出相同比例的系数。信号中的4个样本移位引起了3级小波变换系数能量的显著变化。3级DTCWT系数的能量仅改变了约3%。GydF4y2Ba

图形子图（1,2,1）茎（ABS（DWT1CFS），GydF4y2Ba“markerfacecolor”GydF4y2Ba，[0 0 1]) title({GydF4y2Ba'dwt'GydF4y2Ba; [GydF4y2Ba'Squared 2-Norm ='GydF4y2Banum2str(规范(dwt1Cfs, 2) ^ 2, 3)]},GydF4y2Ba．..GydF4y2Ba“字形大小”GydF4y2Ba，10) ylim([0 0.4]) subplot(1,2,2) stem(abs(dwt2Cfs)，GydF4y2Ba“markerfacecolor”GydF4y2Ba，[0 0 1]) title({GydF4y2Ba'dwt'GydF4y2Ba; [GydF4y2Ba'Squared 2-Norm ='GydF4y2Banum2str(规范(dwt2Cfs, 2) ^ 2, 3)]},GydF4y2Ba．..GydF4y2Ba“字形大小”GydF4y2Ba0.4、10)ylim ([0])GydF4y2Ba

图中包含2个轴。标题为DWT Squared 2-norm = 0.0563的轴1包含一个类型为stem的对象。标题为DWT Squared 2-norm = 0.12的轴2包含一个类型为stem的对象。GydF4y2Ba

图次要情节(1、2、1)干细胞(abs (dt1Cfs),GydF4y2Ba“markerfacecolor”GydF4y2Ba，[0 0 1]) title({GydF4y2Ba“Dual-tree CWT”GydF4y2Ba; [GydF4y2Ba'Squared 2-Norm ='GydF4y2Banum2str（norm（dt1cfs，2）^ 2,3）]}，GydF4y2Ba．..GydF4y2Ba“字形大小”GydF4y2Ba，10) ylim([0 0.4]) subplot(1,2,2) stem(abs(dwt2Cfs)，GydF4y2Ba“markerfacecolor”GydF4y2Ba，[0 0 1]) title({GydF4y2Ba“Dual-tree CWT”GydF4y2Ba; [GydF4y2Ba'Squared 2-Norm ='GydF4y2Banum2str（常规（dt2cfs，2）^ 2,3）]}，GydF4y2Ba．..GydF4y2Ba“字形大小”GydF4y2Ba0.4、10)ylim ([0])GydF4y2Ba

图中包含2个轴。具有双树CWT平方2范数= 0.146的轴1包含一个类型为stem的对象。轴2标题双树CWT平方2范数= 0.143包含一个类型为stem的对象。GydF4y2Ba

为了证明近似位移不变性在真实数据中的实用性，我们分析了一个心电图(ECG)信号。心电信号的采样间隔为1/180秒。数据取自Percival & Walden[3]，第125页(数据最初由华盛顿大学的William Constantine和Per Reinhall提供)。为方便起见，我们取t=0开始的数据。GydF4y2Ba

加载GydF4y2BaWECG.GydF4y2Badt = 1/180;T = 0：DT :(长度（WECG）* DT）-DT;图绘图（t，wecg）xlabel（GydF4y2Ba'秒'GydF4y2Ba) ylabel (GydF4y2Ba“毫伏”GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图中包含一个轴。轴包含一个类型为line的对象。GydF4y2Ba

间隔约0.7秒的大的正峰是心脏节律的R波。首先，使用严格采样DWT和Farras近似对称滤波器对信号进行分解。绘制原始信号与第2级和第3级小波系数。选择第2级和第3级系数是因为在给定的采样率下，R波在这些尺度上被隔离得最显著。GydF4y2Ba

图J = 6;[df，rf] = dtfilters（GydF4y2Ba“法拉”GydF4y2Ba）;[DTDWT1，L1] = Wavedec（WECG，J，DF（：，1），DF（:,2））;详细信息= 0 (2048 3);细节（2：4：结束，2）=替代品（DTDWT1，L1,2）;细节（4：8：结束，3）= DetCoef（DTDWT1，L1,3）;子图（3,1,1）茎干（T，细节（:,2），GydF4y2Ba“标记”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“没有”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“ShowBaseline”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'离开'GydF4y2Ba） 标题（GydF4y2Ba'2级'GydF4y2Ba) ylabel (GydF4y2Ba“mV”GydF4y2Ba）子图（3,1,2）茎（T，细节（:,3），GydF4y2Ba“标记”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“没有”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“ShowBaseline”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'离开'GydF4y2Ba） 标题（GydF4y2Ba“三级”GydF4y2Ba) ylabel (GydF4y2Ba“mV”GydF4y2Ba）子图（3,1,3）绘图（T，WECG）标题（GydF4y2Ba原始信号的GydF4y2Ba)包含(GydF4y2Ba'秒'GydF4y2Ba) ylabel (GydF4y2Ba“mV”GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图包含3个轴。具有标题级别2的轴1包含型杆的物体。具有标题水平3的轴2包含型杆的物体。具有标题原始信号的轴3包含类型线的对象。GydF4y2Ba

重复上述双树变换的分析。在这种情况下，只需在2级和3处绘制双树系数的真实部分。GydF4y2Ba

[DTCPLXA，DTCPLXD] = Dualtree（WECG，GydF4y2Ba'等级'GydF4y2BaJGydF4y2Ba“FilterLength”GydF4y2Ba14);详细信息= 0 (2048 3);细节(2:4:结束,2)= dtcplxD {2};细节(4:8:最终,3)= dtcplxD {3};次要情节(1,1)茎(t,真正的(细节(:,2)),GydF4y2Ba“标记”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“没有”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“ShowBaseline”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'离开'GydF4y2Ba） 标题（GydF4y2Ba'2级'GydF4y2Ba) ylabel (GydF4y2Ba“mV”GydF4y2Ba）子图（3,1,2）茎（T，Real（细节（:,3）），GydF4y2Ba“标记”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“没有”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“ShowBaseline”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'离开'GydF4y2Ba） 标题（GydF4y2Ba“三级”GydF4y2Ba) ylabel (GydF4y2Ba“mV”GydF4y2Ba）子图（3,1,3）绘图（T，WECG）标题（GydF4y2Ba原始信号的GydF4y2Ba)包含(GydF4y2Ba'秒'GydF4y2Ba) ylabel (GydF4y2Ba“mV”GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图包含3个轴。具有标题级别2的轴1包含型杆的物体。具有标题水平3的轴2包含型杆的物体。具有标题原始信号的轴3包含类型线的对象。GydF4y2Ba

批判性和双树小波均转换了ECG波形的重要特征，以与类似的尺度相似GydF4y2Ba

小波在一维信号中的一个重要应用是通过尺度进行方差分析。有理由认为，这种方差分析不应该对输入信号中的圆移位敏感。不幸的是，严格采样DWT并非如此。为了证明这一点，我们对心电信号进行4个样本的循环移位，用严格采样的DWT分析未移位和移位的信号，并计算跨尺度的能量分布。GydF4y2Ba

WECGSHIFT = CIRCSHIFT（WECG，4）;[dtdwt2，l2] = wavedec（Wecgshift，J，DF（：，1），DF（：，2））;DETCFS1 = DETCOEF（DTDWT1，L1,1：J，GydF4y2Ba'细胞'GydF4y2Ba）;apxCfs1 = appcoef (L1, dtDWT1射频(:1),射频(:,2),J);cfs1 = horzcat (detCfs1 {apxCfs1});detCfs2 = detcoef (dtDWT2 L2 1: J,GydF4y2Ba'细胞'GydF4y2Ba）;apxCfs2 = appcoef (dtDWT2 L2,射频(:1),射频(:,2),J);cfs2 = horzcat (detCfs2 {apxCfs2});sigenrgy =规范(wecg 2) ^ 2;enr1 = cell2mat (cellfun (@ (x)(规范(x, 2) ^ 2 / sigenrgy) * 100, cfs1,GydF4y2Ba'uni'GydF4y2Ba, 0));enr2 = cell2mat (cellfun (@ (x)(规范(x, 2) ^ 2 / sigenrgy) * 100, cfs2,GydF4y2Ba'uni'GydF4y2Ba, 0));水平= {GydF4y2Ba“D1”GydF4y2Ba;GydF4y2Ba“D2”GydF4y2Ba;GydF4y2Ba'd3'GydF4y2Ba;GydF4y2Ba'd4'GydF4y2Ba;GydF4y2Ba'D5'GydF4y2Ba;GydF4y2Ba'D6'GydF4y2Ba;GydF4y2Ba“A6”GydF4y2Ba};enr1 = enr1 (:);enr2 = enr2 (:);表(水平、enr1 enr2,GydF4y2Ba“VariableNames”GydF4y2Ba, {GydF4y2Ba'等级'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'enr1'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“enr2”GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba

ans =.GydF4y2Ba7×3表GydF4y2Baever1 enr2 ______ ______ {'d1'{'d2'{'d3'} 7.0612 10.031 {'d5'} 3.0612.031 {'d4'} 3.0612.077 {'d4'} 5.4606 5.4436 {'d2'} 3.0612 10.4436 {'d4'} 3.1273 3.4584 {'d5'} 3.0612 10.077A6'} 58.345 58.366GydF4y2Ba

注意，水平3和4处的小波系数在原始和移位信号之间显示了大约3％的能量变化。接下来，我们使用复杂的双树离散小波变换重复此分析。GydF4y2Ba

[dtcplx2a，dtcplx2d] = dualtree（Wecgshift，GydF4y2Ba'等级'GydF4y2BaJGydF4y2Ba“FilterLength”GydF4y2Ba14);DTCFS1 = VertCAT（DTCPLXD，{DTCPLXA}）;DTCFS2 = VertCAT（DTCPLX2D，{DTCPLX2A}）;dtenr1 = cell2mat（Cellfun（@（x）（rom（x，2）^ 2 / sigenrigy）* 100，dtcfs1，GydF4y2Ba'uni'GydF4y2Ba, 0));dtenr2 = cell2mat（cellfun（@（x）（rang（x，2）^ 2 / sigenrgy）* 100，dtcfs2，GydF4y2Ba'uni'GydF4y2Ba, 0));dtenr1 = dtenr1（:);dtenr2 = dtenr2（:);表（水平，dtenr1，dtenr2，GydF4y2Ba“VariableNames”GydF4y2Ba, {GydF4y2Ba'等级'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“dtenr1”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'dtenr2'GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba

ans =.GydF4y2Ba7×3表GydF4y2Ba水平dtenr1 dtenr2  ______ ______ ______ {' D1} 5.3533 5.3619{“D2”}6.2672 - 6.2763 {D3的}12.155 - 12.19 {D4的}8.2831 - 8.325 5.81 - 5.8577{“D5”}{D6的}3.1768 - 3.0526 58.403 - 58.384 {A6的}GydF4y2Ba

双树变换通过针对原始信号的比例和其循环移位的版本产生一致的差异分析。GydF4y2Ba

图像处理中的方向选择性GydF4y2Ba

DWT在2-D中的标准实现使用图像的可分离滤波和图像的行。使用辅助功能GydF4y2BahelperPlotCritSampDWTGydF4y2Ba绘制Daubechies最小不对称相位小波的4个消失矩的LH、HL和HH小波，GydF4y2Basym4GydF4y2Ba．GydF4y2Ba

helperPlotCritSampDWTGydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为严格采样DWT二维可分小波(sym4)的轴——LH, HL, HH包含一个类型图像的对象。GydF4y2Ba

注意，LH和HL小波分别具有清晰的水平和垂直方向。然而，远方的HH小波混合+45和-45度方向，产生棋盘工件。这种定向混合是由于使用实值可分离过滤器。HH实值可分离滤波器在2-D频率平面的所有四个高频拐角处具有通带。GydF4y2Ba

双树DWT通过使用近似分析的小波实现定向选择性，这意味着它们仅在频率轴的一半上支撑。万博1manbetx在双树DWT中，有六个用于实部和虚部的子带。通过添加列过滤的输出，然后在两棵树中的输入图像的行过滤之后，形成六个实体部分。通过减去列滤波的输出，然后是行滤波来形成六个虚部。GydF4y2Ba

应用于列和行的筛选器可能来自同一筛选器对，GydF4y2Ba ${GydF4y2Ba {HGydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} 那GydF4y2Ba {HGydF4y2Ba}_{1GydF4y2Ba}}GydF4y2Ba$ 或GydF4y2Ba ${GydF4y2Ba {GGydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} 那GydF4y2Ba {GGydF4y2Ba}_{1GydF4y2Ba}}GydF4y2Ba$ ，或从不同的滤波器对，GydF4y2Ba ${GydF4y2Ba {HGydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} 那GydF4y2Ba {GGydF4y2Ba}_{1GydF4y2Ba}}GydF4y2Ba 那GydF4y2Ba {GydF4y2Ba {GGydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} 那GydF4y2Ba {HGydF4y2Ba}_{1GydF4y2Ba}}GydF4y2Ba$ ．使用辅助功能GydF4y2BaHelperplotwaveletdtcwt.GydF4y2Ba绘制对应于DTCWT的真实和虚部的12个小波的方向。前图的顶行显示了六个小波的实体部分，第二行显示了虚部。GydF4y2Ba

Helperplotwaveletdtcwt.GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为DTCWT二维小波的轴包含一个图像类型的对象。GydF4y2Ba

二维的边表示GydF4y2Ba

复杂双树小波的近似分析性和选择性方向在图像边缘表示方面提供了优于标准二维DWT的性能。为了说明这一点，我们使用严格采样的2-D DWT和2-D复向双树变换分析测试图像的边缘由直线和曲线在多个方向上的奇点组成。首先，分析一个由线奇点组成的八边形的象。GydF4y2Ba

加载GydF4y2BawoctagonGydF4y2Ba显示亮度图像(woctagon) colormapGydF4y2Ba灰色的GydF4y2Ba标题（GydF4y2Ba'原始图像'GydF4y2Ba）轴GydF4y2Ba平等的GydF4y2Ba轴GydF4y2Ba从GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为Original Image的轴包含一个类型为Image的对象。GydF4y2Ba

使用辅助功能GydF4y2BahelprPlotOctagonGydF4y2Ba将图像分解到第4级，基于第4级细节系数重建图像近似值。GydF4y2Ba

螺旋薄塔（Woctagon）GydF4y2Ba

图中包含2个轴。标题为DTCWT的坐标轴1包含一个类型为image的对象。标题为DWT的轴2包含一个类型为image的对象。GydF4y2Ba

接下来，分析一个双曲边的八边形。双曲八角形中的边是曲线奇点。GydF4y2Ba

加载GydF4y2BaWoctagonhoplbolic.GydF4y2Ba图显示亮度图像(woctagonHyperbolic) colormapGydF4y2Ba灰色的GydF4y2Ba标题（GydF4y2Ba“双曲边八角形”GydF4y2Ba）轴GydF4y2Ba平等的GydF4y2Ba轴GydF4y2Ba从GydF4y2Ba

图中包含一个轴。带有双曲线的标题OctAgen的轴包含类型图像的对象。GydF4y2Ba

再次，使用辅助功能GydF4y2BahelprPlotOctagonGydF4y2Ba将图像分解到第4级，并基于标准二维DWT和复定向双树DWT的第4级细节系数重建图像近似值。GydF4y2Ba

helperPlotOctagon (woctagonHyperbolic)GydF4y2Ba

图中包含2个轴。标题为DTCWT的坐标轴1包含一个类型为image的对象。标题为DWT的轴2包含一个类型为image的对象。GydF4y2Ba

请注意，在二维严格采样DWT中明显的振铃伪影在两幅图像的二维DTCWT中都不存在。DTCWT更忠实地再现了直线和曲线奇异性。GydF4y2Ba

图像去噪GydF4y2Ba

由于能够在单独的子带中隔离不同取向，DTCWT通常能够优于图像去噪等应用中标准可分离的DWT。要演示这一点，请使用辅助功能GydF4y2Bahelpercompare2ddenoisingdtcwtGydF4y2Ba．辅助函数加载图像并添加零均值高斯白噪声GydF4y2Ba $σGydF4y2Ba =GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba 5.GydF4y2Ba$ ．对于用户提供的阈值范围，该功能将使用软阈值与批判性DWT和DTCWT的软阈值进行比较。对于每个阈值，显示根均值方形（RMS）误差和峰值信噪比（PSNR）。GydF4y2Ba

numex = 3;Helpercompare2ddenoisingdtcwt（Numex，0：2：100，GydF4y2Ba'plotmetrics'GydF4y2Ba）;GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为RMS Error vs. Threshold Value的轴包含2个类型为line的对象。这些对象代表标准二维，DTCWT二维。GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为PSNR vs. Threshold Value的轴包含2个line类型的对象。这些对象代表标准二维，DTCWT二维。GydF4y2Ba

DTCWT在RMS误差和PSNR中占据标准DWT。GydF4y2Ba

接下来，获得用于阈值的去噪图像25，其等于添加剂噪声的标准偏差。GydF4y2Ba

numex = 3;Helpercompare2ddenoisingdtcwt（Numex，25，GydF4y2Ba“PlotImage”GydF4y2Ba）;GydF4y2Ba

图包含4个轴。具有标题原始图像的轴1包含类型图像的对象。带标题噪声图像的轴2包含类型图像的对象。带标题的轴3具有标题的图像标准2-D包含类型图像的对象。带有标题的轴4是去噪图像2-D DTCWT包含类型图像的对象。GydF4y2Ba

由于阈值等于附加噪声的标准偏差，DTCWT提供的PSNR几乎比标准二维DWT高4db。GydF4y2Ba

3-D中的方向选择性GydF4y2Ba

在将小波分析延伸到更高尺寸时，用两个尺寸的可分离DWT观察到的振铃伪像。DTCWT使您可以在3-D中维护具有最小冗余的方向选择性。在3-D中，双树变换中有28个小波子带。GydF4y2Ba

为了证明三维双树小波变换的方向选择性，可视化了三维双树小波和可分离小波的三维等值面实例。首先，将两个双树子带的实部和虚部分别可视化。GydF4y2Ba

helperVisualize3D (GydF4y2Ba“Dual-Tree”GydF4y2Ba，28，GydF4y2Ba'分离'GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为三维小波等值面(实部)子带28的轴包含2个类型patch的对象。GydF4y2Ba

图中包含一个轴。具有标题3-D小波异构表面（虚部）子带28的轴包含2个类型的贴片物体。GydF4y2Ba

helperVisualize3D (GydF4y2Ba“Dual-Tree”GydF4y2Ba25岁的GydF4y2Ba'分离'GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图中包含一个轴。具有标题3-D小波Isosurface（实部）子带25的轴包含2个类型的贴片物体。GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为三维小波等值面(虚部)子带25的轴包含2个类型patch的对象。GydF4y2Ba

等值线图的红色部分表示小波从零开始的正偏移，蓝色表示负偏移。你可以清楚地看到双树小波的实部和虚部在空间上的方向选择性。现在将一个双树子带与实和虚图一起绘制为一个等值面。GydF4y2Ba

helperVisualize3D (GydF4y2Ba“Dual-Tree”GydF4y2Ba25岁的GydF4y2Ba'真实想象'GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为三维小波等值面(实部和虚部)子带25的轴包含4个类型patch的对象。GydF4y2Ba

前面的图证明了实部和虚部在空间上是相互平移的。这反映了复小波的虚部是实部的近似希尔伯特变换这一事实。接下来，可视化一个真实正交小波的等值面在三维进行比较。GydF4y2Ba

helperVisualize3D (GydF4y2Ba'dwt'GydF4y2Ba7)GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为3D DWT小波等值面子带7的轴包含2个类型patch的对象。GydF4y2Ba

在二维DWT中观察到的方向混合在三维中更加明显。就像在二维的情况下一样，在三维中，方向的混合会导致明显的振铃现象或阻塞现象。为了证明这一点，研究球面体积的3-D DWT和DTCWT小波细节。球面是64乘64乘64。GydF4y2Ba

加载GydF4y2Basphr.GydF4y2Ba[A，D] = Dualtree3（SPHR，2，GydF4y2Ba“excludeL1”GydF4y2Ba）;一个= 0(大小(A));sphrDTCWT = idualtree3 (A, D);重塑(sphrDTCWT，[64 64 1 64])，GydF4y2Ba'displayrange'GydF4y2Ba[])标题(GydF4y2Ba“DTCWT二级详情”GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为DTCWT Level 2 Details的轴包含一个图像类型的对象。GydF4y2Ba

将前面的曲线与基于可分离的DWT的二级细节进行比较。GydF4y2Ba

sphrDEC = wavedec3 (sphr 2GydF4y2Ba'符号4'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“模式”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba“每”GydF4y2Ba）;sphrDEC.dec{1} = 0(大小(sphrDEC.dec {1}));GydF4y2Ba为了GydF4y2Bakk = 2：8 sphrdec.dec {kk} = zeros（size（sphrdec.dec {kk}））;GydF4y2Ba结束GydF4y2BasphrrecDWT = waverec3 (sphrDEC);图形蒙太奇(重塑(sphrrecDWT，[64 64 1 64])，GydF4y2Ba'displayrange'GydF4y2Ba[])标题(GydF4y2Ba'DWT级别2详细信息'GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为DWT Level 2 Details的轴包含一个图像类型的对象。GydF4y2Ba

放大DTCWT和DWT蒙太奇中的图像，您将看到与DTCWT相比，DWT细节中的阻塞工件是多么突出。GydF4y2Ba

批量去噪GydF4y2Ba

类似于2-D情况，3-D DTCWT的方向选择性通常导致容量去噪的改善。GydF4y2Ba

为了证明这一点，请考虑由16个切片组成的MRI数据集。标准偏差10的高斯噪声已添加到原始数据集中。显示嘈杂的数据集。GydF4y2Ba

加载GydF4y2BaMRI3D.GydF4y2Ba重塑(噪声mri，[128 128 1 16])，GydF4y2Ba'displayrange'GydF4y2Ba[])GydF4y2Ba

图中包含一个轴。轴包含类型图像的对象。GydF4y2Ba

请注意，去噪前的原始SNR约为11 dB。GydF4y2Ba

20 * log10（orgmri（:)，2）/常规（Origmri（：） -  noisymri（:)，2））GydF4y2Ba

ANS = 11.2997.GydF4y2Ba

使用DTCWT和DWT将MRI数据降噪到4级。在这两种情况下使用了相似的小波滤波器长度。绘制结果的信噪比作为阈值的函数。显示DTCWT和DWT在最佳信噪比下的去噪结果。GydF4y2Ba

[imrecDTCWT, imrecDWT] = helperCompare3DDenoising (origMRI noisyMRI);GydF4y2Ba

图中包含一个轴。坐标轴包含3个类型为line的对象。这些对象分别代表DTCWT、DWT、原始信噪比。GydF4y2Ba

图形蒙太奇(重塑(imrecDTCWT，[128 128 1 16])，GydF4y2Ba'displayrange'GydF4y2Ba[])标题(GydF4y2Ba'dtcwt detoised卷'GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为DTCWT去噪体积的轴包含一个类型为图像的对象。GydF4y2Ba

图蒙太奇（Rehape（imrecdwt，[128 128 1 16]），GydF4y2Ba'displayrange'GydF4y2Ba[])标题(GydF4y2Ba“DWT运用体积”GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

图中包含一个轴。标题为DWT去噪体积的轴包含一个类型为图像的对象。GydF4y2Ba

恢复原扩展模式GydF4y2Ba

dwtmode（origmode，GydF4y2Ba'nodisplay'GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

总结GydF4y2Ba

我们证明了双树小波变换具有严格采样小波变换无法实现的接近位移不变性和方向选择性。我们演示了这些特性如何提高信号分析、图像和体积中边缘的表示以及图像和体积去噪的性能。GydF4y2Ba

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