条件方差模型

一般条件方差模型定义

考虑时间序列

$ÿ_{Ť} = μ + ε_{Ť} ，$

哪里 $ε_{Ť} = σ_{Ť} ž_{Ť}$ 。这里，ž_Ť是一个独立同分布的一系列标准化随机变量。计量经济学工具箱™支持标准化的高斯和规范学生万博1manbetxŤ创新分布。常数项， $μ$ ，是平均偏移。

一个条件方差模型指定方差创新的动态演化，

$σ_{Ť}^{2} = V 一个 [R （ ε_{Ť} | H_{Ť - 1} ），$

哪里H_Ť-1是过程的历史。历史包括：

过去的差异， $σ_{1}^{2} ， σ_{2}^{2} ， ... ， σ_{Ť - 1}^{2}$
过去的创新， $ε_{1} ， ε_{2} ， ... ， ε_{Ť - 1}$

条件方差模型适用于没有表现出显著的自相关时间序列，但连续依赖性。创新系列 $ε_{Ť} = σ_{Ť} ž_{Ť}$ 不相关，这是因为：

Ë（ε_Ť）= 0。
Ë（ε_Ťε_吨小时）对于所有= 0Ť和 $H \neq 0。$

但是，如果 $σ_{Ť}^{2}$ 依赖于取决于 $σ_{Ť - 1}^{2}$ ，例如，然后ε_Ť依赖于取决于ε_T-1，即使他们是不相关的。这种依赖表现出自己作为自相关平方创新系列， $ε_{Ť}^{2} 。$

小费

建模时间序列，它们都自相关和连续依赖性，你可以考虑使用复合条件均值和方差模型。

金融时间序列两个特点是条件方差模型地址是：

波动集群。波动性是一个时间序列的条件标准偏差。自相关的条件方差过程产生波动聚类。GARCH模型和方差系列及其变体模型自回归。
杠杆效应。一些时间序列的波动响应更大幅降低，而不是大量增加。这种非对称的集群行为被称为杠杆效应。该EGARCH和GJR模型具有杠杆作用方面这种不对称模型。

GARCH模型

该广义自回归条件异方差（GARCH）模型是恩格尔ARCH模型的方差异扩展<一个H[Ref="https://kr.mathworks.com/help/econ/what-is-a-conditional-variance-model.html" class="intrnllnk">[1]。如果一系列展品波动聚集，这表明过去的变化可能是预测当前方差。

在GARCH（P，Q）模型是自回归移动为条件方差平均模型，与P与滞后的差异相关的GARCH系数，Q与滞后平方创新相关的ARCH系数。所述GARCH的形式（P，Q）的计量经济学模型工具箱是

$ÿ_{Ť} = μ + ε_{Ť} ，$

哪里 $ε_{Ť} = σ_{Ť} ž_{Ť}$ 和

$σ_{Ť}^{2} = κ + γ_{1} σ_{Ť - 1}^{2} + ... + γ_{P} σ_{Ť - P}^{2} + α_{1} ε_{Ť - 1}^{2} + ... + α_{Q} ε_{Ť - Q}^{2} 。$

注意

该不变一个物业GARCH模型对应于κ和抵消属性对应于μ。

平稳性和积极性，GARCH模型具有以下限制：

$κ > 0$
$γ_{一世} \geq 0 ， α_{Ĵ} \geq 0$
$Σ_{一世 = 1}^{P} γ_{一世} + Σ_{Ĵ = 1}^{Q} α_{Ĵ} < 1$

要指定恩格尔原ARCH（Q）模型，使用等效GARCH（0，Q）规范。

EGARCH模型

该指数GARCH（EGARCH）模型是GARCH变体模型的条件方差过程的对数。除了对数模型，该模型EGARCH在波动聚类额外的杠杆作用方面捕捉不对称。

该EGARCH（P，Q）模型P与滞后的日志方差词语相关联的GARCH系数，Q与滞后的标准化创新的幅度相关系数ARCH和Q与签约，滞后标准化创新相关的杠杆系数。所述EGARCH的形式（P，Q）的计量经济学模型工具箱是

$ÿ_{Ť} = μ + ε_{Ť} ，$

哪里 $ε_{Ť} = σ_{Ť} ž_{Ť}$ 和

$日志 σ_{Ť}^{2} = κ + Σ_{一世 = 1}^{P} γ_{一世} 日志 σ_{Ť - 一世}^{2} + Σ_{Ĵ = 1}^{Q} α_{Ĵ} [\frac{| ε_{Ť - Ĵ} |}{σ_{Ť - Ĵ}} - Ë {\frac{| ε_{Ť - Ĵ} |}{σ_{Ť - Ĵ}}}] + Σ_{Ĵ = 1}^{Q} ξ_{Ĵ} （ \frac{ε_{Ť - Ĵ}}{σ_{Ť - Ĵ}} ）。$

注意

该不变一个物业EGARCH模型对应于κ和抵消属性对应于μ。

与ARCH系数EGARCH方程相关联的预期值项的形式取决于分布ž_Ť：

如果创新分布为高斯分布，则

$Ë {\frac{| ε_{Ť - Ĵ} |}{σ_{Ť - Ĵ}}} = Ë {| ž_{Ť - Ĵ} |} = \sqrt{\frac{2}{π}} 。$
如果创新分布是学生Ť同ν> 2个自由度，然后

$Ë {\frac{| ε_{Ť - Ĵ} |}{σ_{Ť - Ĵ}}} = Ë {| ž_{Ť - Ĵ} |} = \sqrt{\frac{ν - 2}{π}} \frac{Γ （ \frac{ν - 1}{2} ）}{Γ （ \frac{ν}{2} ）} 。$

该工具箱对待EGARCH（P，Q）模型作为用于ARMA模型 $日志 σ_{Ť}^{2} 。$ 因此，为了确保平稳的GARCH系数多项式的所有根， $（ 1 - γ_{1} 大号 - ... - γ_{P} {大号}^{P} ）$ ，必须位于单位圆外。

该EGARCH模型与GARCH模型和GJR模型，因为方差的IT模式对数是唯一的。通过对数模型，对模型参数的积极性约束放宽。然而，从EGARCH模型条件方差的预测偏置，因为Jensen不等式，

$Ë （ σ_{Ť}^{2} ） \geq EXP {Ë （日志 σ_{Ť}^{2} ）} 。$

一个EGARCH（1,1）规范将成为大多数应用程序够复杂。对于EGARCH（1,1）模式，GARCH和ARCH系数被预期为正的，而杠杆系数预期为负;意料之外的大震荡下行应该增加方差。如果你得到的迹象相反的预期，可能会遇到推断波动序列和预测（负ARCH系数会尤其成问题）的困难。在这种情况下，EGARCH模型可能不适合你的应用的最佳选择。

GJR模型

该GJR模型是GARCH变种，包括杠杆条款建模不对称波动聚类。在GJR配方，大的负变化更有可能比积极的变化要群集。该GJR模型被命名为Glosten，贾甘纳坦和朗克尔<一个H[Ref="https://kr.mathworks.com/help/econ/what-is-a-conditional-variance-model.html" class="intrnllnk">[2]。关闭相似之处GJR模型和阈GARCH（TGARCH）模型一个GJR模型之间存在为方差过程递归方程和TGARCH是施加到标准偏差过程相同的递归。

该GJR（P，Q）模型P与滞后的差异相关的GARCH系数，Q与滞后平方创新相关的ARCH系数，Q与负滞后创新平方相关系数的杠杆作用。所述GJR的形式（P，Q）的计量经济学模型工具箱是

$ÿ_{Ť} = μ + ε_{Ť} ，$

哪里 $ε_{Ť} = σ_{Ť} ž_{Ť}$ 和

$σ_{Ť}^{2} = κ + Σ_{一世 = 1}^{P} γ_{一世} σ_{Ť - 一世}^{2} + Σ_{Ĵ = 1}^{Q} α_{Ĵ} ε_{Ť - Ĵ}^{2} + Σ_{Ĵ = 1}^{Q} ξ_{Ĵ} 一世 [ε_{Ť - Ĵ} < 0] ε_{Ť - Ĵ}^{2} 。$

指示器功能 $一世 [ε_{Ť - Ĵ} < 0]$ 等于1，如果 $ε_{Ť - Ĵ} < 0$ ，否则为0。因此，杠杆系数被施加到负的创新，赋予负改变额外的重量。

注意

该不变一个物业GJR模型对应于κ和抵消属性对应于μ。

平稳性和积极性，在GJR模型具有以下限制：

$κ > 0$
$γ_{一世} \geq 0 ， α_{Ĵ} \geq 0$
$α_{Ĵ} + ξ_{Ĵ} \geq 0$
$Σ_{一世 = 1}^{P} γ_{一世} + Σ_{Ĵ = 1}^{Q} α_{Ĵ} + \frac{1}{2} Σ_{Ĵ = 1}^{Q} ξ_{Ĵ} < 1$

GARCH模型嵌套在GJR模型。如果所有的杠杆系数均为零，那么GJR模型简化为GARCH模型。这意味着可以使用似然比检验测试针对GJR模型GARCH模型。

参考

[1]恩格尔，罗伯特·F“自回归条件异方差与英国通货膨胀率的方差的估计。”计量经济学。卷。50，1982年，第987-1007。

[2] Glosten，L. R.，R.杰甘南森和D. E.朗克尔。“在预期值与标称超额回报的股票的波动性之间的关系。”该财经杂志。卷。48，第5号，1993年，第1779至1801年。

也可以看看

对象

EGARCH|GARCH|GJR