找到一个高度方程的根?

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山姆 2022年11月20日

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//www.tianjin-qmedu.com/matlabcentral/answers/1857473-finding-the-roots-of-a-high-degree-equation

编辑: Torsten 2022年11月23日

答:接受沃尔特·罗伯森

你好,

我有以下20 * 20矩阵和矩阵的行列式等于零。矩阵的行列式(n)学位P1。现在我知道这个方程将20个值p1和我想找最小值p1。谁能帮我这个忙。

                          信谊z L n k EI p c p1
                         
                          n = 20;
                         
                          sz_i = n;
                         
                          sz_j = n;
                         
                          = 0 (sz_i sz_j);% Preallocate你的记忆
                         
                          为倪= 1:sz_i
                         
                          为新泽西= 1:sz_j
                         
                          易= (1-cos ((2 * ni-1) *π/ 2 / L * z));
                         
                          yj = (1-cos ((2 * nj-1) *π/ 2 / L * z));
                         
                          yi1 = diff(咦,z);
                         
                          移= diff (yi1, z);
                         
                          yj1 = diff (yj, z);
                         
                          yj2 = diff (yj1, z);
                         
                          A1 (ni, nj) = int(移* yj2, z, 0, L) * L ^ 2 /π^ 2;
                         
                          A2(镍、新泽西)= int (k / EI * * yj, z, 0, L) * L ^ 2 /π^ 2;
                         
                          A3 (ni, nj) = int (yi1 * yj1, z, 0, L) * p1;
                         
                          一个= A1 + A2 + A3;
                         
                          结束
                         
                          结束
                         
                          侦破=简化(侦破(A) = = 0)
                         
                          依据=潜艇(侦破,(EI k), [1.4 * 10 ^ 6 20000])
                         
                          p1 =解决(侦破,p1)

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1月 2022年11月20日

@SAM :这不是twitter——没有之前#标签。谢谢。

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沃尔特·罗伯森 2022年11月20日

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//www.tianjin-qmedu.com/matlabcentral/answers/1857473-finding-the-roots-of-a-high-degree-equation answer_1106303

你可以增加效率。

                              信谊z L n k EI p c n p1
                             
                              π=符号(π);
                             
                              n = 20;
                             
                              sz_i = n;
                             
                              sz_j = n;
                             
                              Y = (1-cos (* n - 1) *(2π/ 2 / L * z));
                             
                              日元= diff (Y, z);
                             
                              Y2 = diff (Y1, z);
                             
                              a12factor = L ^ 2 /π^ 2;
                             
                              a3factor = p1;
                             
                              yn =潜艇(Y, N, 1: N);
                             
                              y1n =潜艇(Y1, N, 1: N);
                             
                              y2n =潜艇(Y2, N, 1: N);
                             
                              a1 = y2n。* y2n。‘* a12factor;
                             
                              a2 = yn。* yn。‘* k / EI * a12factor;
                             
                              a3 = y1n。* y1n。‘* a3factor;
                             
                              一个= a1 + a2 + a3;
                             
                              = int (z, 0 L);
                             
                              D =侦破(A);

这是一个象征性的表达在EI, k, L, p1。你可以问MATLAB解决(),这将给你一个根()表达式与根开始的1到20

291703339392448328621651929229077582620568440174548205553784771502333756969121739673547250585656738532071173191070556640625 * 20 EI ^ *πL ^ ^ 82 - 12848203493112198395889046043812884859217084764445999104 * 80 * k L ^ ^ 20 - 208389359856899544203781763568613158007234205266739200 * 80 * 20 k ^ * pi + 1424916150093398371686638159155142565090345214615234107400096054751498986800574941200459804113425927420089552307128906250000 * 20 EI ^ * z L ^ *π^ 82 + 1381792269762211294561843388310775683848723402588160000 * 80 * 20 k ^ *πEI ^ ^ 2 + 1112350495497485111654198329296281083177130185179996821848818709250431543376954389692834277455824804598413814331054687500000 * 20 * z ^ 2 *πEI ^ ^ 82 + 332138129688311341361837332491557801987003745461437160020708407556544889529014042088568410231691049804871850039062500000000 * 20 * z ^ 3 *πEI ^ ^ 82 + 50648283370987298871613343472725217281132008252741289242977036400590501580538648738773426097648731595598064907812500000000 * 20 * z ^ 4 *π^ 82

系数得到高达10 ^ 163年,告诉你的解决方案会对浮点舍入误差,而敏感。万博尤文图斯

如果你有确切的EI值k和L,然后你可以潜艇()到侦破和解决(),获得了一系列根与纯粹的数字系数()。然后您可以数字(200)和vpa ()。然而,很有可能,许多积极和消极的结果将复值实际组件和虚构的组件,那么您需要定义在一组复杂的“最小”意味着什么。

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沃尔特·罗伯森 2022年11月22日

注意,有一个特定数值的L专注于不能解决问题,EI和k符号表达式。

如果你有数字EI, k, L,然后你可以allRoots = vpasolve (D)得到一组20根,然后你就可以

minRoot = min (allRoots(图像放大(allRoots) = = 0 &真实(allRoots) > 0));

但是请注意,如果你有数字EI和k,你希望有象征性的L和希望能够创建minRoot作为一个公式在L,这样你就可以替代特别是数字L和直接得到答案……不幸的是,在大多数情况下不会工作。在一些情况下可以显示所有的20根是复值除了2,然后进一步证明一个特定的根永远是最小根(或证明有一个特定的L值低的断点,L值是一个特定的根和更高的L值是另一根)。有时你可以使用的理论。但MATLAB是很少能证明这种事本身给定任意多项式20次数。

沃尔特·罗伯森 2022年11月22日

你是对的, @Torsten 我忽略了这一点。

当这些特定的值替换在预先,

                                   信谊z L n k EI p c n p1
                                  
                                   π=符号(π);
                                  
                                   EI =信谊(14)* 10 ^ 5;
                                  
                                   k =符号(20000);
                                  
                                   n = 20;
                                  
                                   sz_i = n;
                                  
                                   sz_j = n;
                                  
                                   Y = (1-cos (* n - 1) *(2π/ 2 / L * z));
                                  
                                   日元= diff (Y, z);
                                  
                                   Y2 = diff (Y1, z);
                                  
                                   a12factor = L ^ 2 /π^ 2;
                                  
                                   a3factor = p1;
                                  
                                   yn =潜艇(Y, N, 1: N);
                                  
                                   y1n =潜艇(Y1, N, 1: N);
                                  
                                   y2n =潜艇(Y2, N, 1: N);
                                  
                                   a1 = y2n。* y2n。‘* a12factor;
                                  
                                   a2 = yn。* yn。‘* k / EI * a12factor;
                                  
                                   a3 = y1n。* y1n。‘* a3factor;
                                  
                                   一个= a1 + a2 + a3;
                                  
                                   抽搐
                                  
                                   = int (z, 0 L);
                                  
                                   toc在我的机器上%接管6分钟
                                  
                                   抽搐
                                  
                                   D =侦破(A);
                                  
                                   toc%大约需要45秒在我的机器上
                                  
                                   索尔=解决(D, p1);
                                  
                                   CH =孩子(sol (1), 1);

然后CH将一个多项式学位20 z,谁20根是可能的解决方案。万博尤文图斯

如果你

(P, Q) =多项式系数(CH,左)

你会发现L的权力都是第四权力,如L ^ 20 L ^ 16。告诉你,没有需要调查-李:如果没有解决方案正L那么没有解决方案- L。万博尤文图斯

如果你继续

                                   (P, Q) =多项式系数(CH, z);
                                  
                                   vpa (P)

你会发现P完全由积极的系数一起积极系数乘以L甚至权力。所有的条款可能是负面的。这意味着所有的根源可能是正的。

也就是说,至少对于那些EI和k值,给定的实值L,没有可能的积极根p1的行列式。所有的根是实值和消极。足够小的绝对值L的根源

-0.25

-2.25

-6.25

-12.25

-20.25

-30.25

-42.25

-56.25

-72.25

-90.25

-110.25

-132.25

-156.25

-182.25

-210.25

-240.25

-272.25

-306.25

-342.25

-380.25

在舍入误差。差异的38岁,34岁,32岁,…2。随着L增加,根从这个模式得到进一步。

山姆 2022年11月23日

是的,我意识到A3应该是负的。我也试图标准化问题使得行列式在p1和作为一个因素。这一切工作得很好,但是当我试着用另一个洛佩之间和p1 p1的不同的值,我面临以下问题。我使用了潜艇r替换函数而不是但我意识到,Matlab是每次用r的值相同。例如,当我让r = 0:4这就是我了。所以有另一种方式我可以做这个循环?

P1 =

(0.2500,0.2500,0.2500,0.2500,0.2500)

                                   清晰;clc
                                  
                                   信谊z L n k EI p c p1
                                  
                                   n = 20;
                                  
                                   sz_i = n;
                                  
                                   sz_j = n;
                                  
                                   = 0 (sz_i sz_j);% Preallocate你的记忆
                                  
                                   为倪= 1:sz_i
                                  
                                   为新泽西= 1:sz_j
                                  
                                   易= (1-cos ((2 * ni-1) *π/ 2 / L * z));
                                  
                                   yj = (1-cos ((2 * nj-1) *π/ 2 / L * z));
                                  
                                   yi1 = diff(咦,z);
                                  
                                   移= diff (yi1, z);
                                  
                                   yj1 = diff (yj, z);
                                  
                                   yj2 = diff (yj1, z);
                                  
                                   A1 (ni, nj) = int(移* yj2, z, 0, L) * L ^ 3 /π^ 4;
                                  
                                   A2 (ni, nj) = int(易* yj, z, 0, L) / L *;
                                  
                                   % ^ =吉隆坡4 /π^ 4 / EI
                                  
                                   A3 (ni, nj) = int (yi1 * yj1, z, 0, L) * p1 * L /π^ 2;
                                  
                                   % p1 =π^ 2 / EI pL ^ 2
                                  
                                   一个= A1 + A2 + A3;
                                  
                                   结束
                                  
                                   结束
                                  
                                   侦破=侦破(A) = = 0;
                                  
                                   ca = 1;
                                  
                                   为r = 0: .001:20
                                  
                                   依据=潜艇(侦破,r);
                                  
                                   allRoots = vpasolve(侦破,p1);
                                  
                                   P1 (ca) = min (allRoots);
                                  
                                   ca = ca + 1;
                                  
                                   结束

Torsten 2022年11月23日

编辑:Torsten 2022年11月23日

                                   清晰;clc
                                  
                                   信谊z L n k EI p c p1
                                  
                                   n = 20;
                                  
                                   sz_i = n;
                                  
                                   sz_j = n;
                                  
                                   = 0 (sz_i sz_j);% Preallocate你的记忆
                                  
                                   为倪= 1:sz_i
                                  
                                   为新泽西= 1:sz_j
                                  
                                   易= (1-cos ((2 * ni-1) *π/ 2 / L * z));
                                  
                                   yj = (1-cos ((2 * nj-1) *π/ 2 / L * z));
                                  
                                   yi1 = diff(咦,z);
                                  
                                   移= diff (yi1, z);
                                  
                                   yj1 = diff (yj, z);
                                  
                                   yj2 = diff (yj1, z);
                                  
                                   A1 (ni, nj) = int(移* yj2, z, 0, L) * L ^ 3 /π^ 4;
                                  
                                   A2 (ni, nj) = int(易* yj, z, 0, L) / L *;
                                  
                                   % ^ =吉隆坡4 /π^ 4 / EI
                                  
                                   A3 (ni, nj) = int (yi1 * yj1, z, 0, L) * p1 * L /π^ 2;
                                  
                                   % p1 =π^ 2 / EI pL ^ 2
                                  
                                   一个= A1 + A2 + A3;
                                  
                                   结束
                                  
                                   结束
                                  
                                   侦破=侦破(A) = = 0;
                                  
                                   ca = 1;
                                  
                                   为r = 0:0.001:20
                                  
                                   detnum =潜艇(侦破,r);
                                  
                                   allRoots = vpa(解决(detnum));
                                  
                                   P1 (ca) = min (allRoots (abs(图像放大(allRoots)) < 1的军医));
                                  
                                   ca = ca + 1;
                                  
                                   结束

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