从系列:gydF4y2Ba微分方程和线性代数gydF4y2Ba
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)gydF4y2Ba
脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba为当力为脉冲(脉冲函数)时的解。这也解决了一个非零初始条件的零方程(无力)。gydF4y2Ba
好的。这个视频中我们讨论的是二阶方程,常系数。我们寻找脉冲响应,整个过程中的关键函数,以及阶跃响应。gydF4y2Ba
这些是响应。我将调用g-,这将是脉冲响应,右边是一个δ函数,一个脉冲,一个瞬间t等于0的突然力。这是方程。这是脉冲。g是响应,我们需要一个公式。gydF4y2Ba
另一种可能性,非常有趣的可能性是,右边是一个阶跃函数。然后我们要求这个函数的响应。我按了一下开关。机器开始工作了,反应很平稳。解从0开始。gydF4y2Ba
它从r (0) = r '(0) = 0开始。阶跃响应从静止开始。当我在t = 0点点击一个开关时,这个动作就发生了,然后r (t)将上升到一个常数。非常非常重要的解决方案。万博 尤文图斯但我们会特别关注这个。gydF4y2Ba
好的。这就是我们的方程,右边的三角形。当然,右边的三角形不是很熟悉,不像e到圣路易斯那么好。但是有一个东西-,有另一种方法来接近它-,这是一个关键的想法-,它给了我们这个从解一个空方程得到的非常重要的函数。这是怎么回事?gydF4y2Ba
我从一个空方程开始,但现在它没有初始条件。这是从0的g和0的g素数开始的。一切都发生了,从三角函数开始。这是相同的功能。除非当我看t等于0时发生了什么,发生的是g素数立即跳到1。gydF4y2Ba
求g的另一种方法,求g的计算,就是求一个零解。我在寻找从0开始的零解。但初始导数是1,斜率是1。所以我知道g是一个组合。我知道怎么解这样的方程,零方程。还记得s1和s2吗?我看一下s²,我让这个系数是1,所以s²+ b + C = 0。得到s1和s2。gydF4y2Ba
现在我要告诉你们g是什么。这就得到了零解中的s1和s2,我们要找的是零解。所以g (t)是e ^ (s1t)和e ^ (s2t)的组合。好吗?它是这些的某种组合。我们想让它等于0。毫不奇怪,如果我减去这些,我从t = 0开始。这是1 - 1。是0。gydF4y2Ba
现在我只需要确定初始斜率,即一阶导数为1。这个的导数是什么?这里是s1。这里是s2。t = 0时,得到s1 - s2。除以这个,s1 - s2。那就这样吧。这是脉冲响应,一个零解满足这些特殊的初始条件。gydF4y2Ba
这就是数学中有时被称为基本解的函数。它是一个你可以从中创造出所有解的解。万博 尤文图斯它是二阶微分方程的解之母。万博 尤文图斯因为如果我有另一个强迫函数,它告诉我增长率。gydF4y2Ba
就像一阶方程的e到at一样。还记得利率系数为a的简单一阶方程的增长率e到at吗?现在我们有两个。我们有一个s1和一个s2,而不是a,这是一个特殊的函数。gydF4y2Ba
好的。我们需要更深入地了解具体情况。我给你们看一下没有阻尼时的相同函数。从最简单的情况开始。当B = 0时,B是阻尼系数,微分方程的一阶导数。我能把微分方程写下来吗?gydF4y2Ba
当B = 0时,没有阻尼。只有二阶导数和函数。也就是物体永远振荡的时候。这就是将要发生的。B = 0时,是纯振荡。s1和s2是振荡的余弦和正弦。或者保持指数更简洁,i和- i,这是n,自然频率。gydF4y2Ba
现在,如果我插入s1和s2-,正是s1,负是s2-,我把它插入那里,我得到了一个很好的g of t公式。这就是g of t在没有阻尼时的样子。它只是振荡。gydF4y2Ba
好的。下一个例子是欠阻尼。每次都很高兴看到这些案例。这是一个很小的b值,低阻尼意味着有一些阻尼,但它足够小所以现在有一个实部,但仍然有一个虚部。gydF4y2Ba
所以这是,某种程度上,当s是复数的时候。如果随着衰减而增大,B进一步增大,就会达到两个实解相等的点。万博 尤文图斯如果我把B推到这个值之外,就会有过度阻尼,这两个实解分离了。万博 尤文图斯它们是不同的,但它们是真实的。然后我的公式,在这种情况下,过度阻尼,这是最好的公式。gydF4y2Ba
但在阻尼不足的情况下,我能看到振荡。如果我只是代入s1和s2的两个解,你会看到e ^ (- 万博 尤文图斯B / 2t)出现在整个式子中。然后是sin /,和之前一样,只是现在阻尼频率比固有频率稍慢。阻尼降低了频率。在另一个视频中,我们有阻尼的公式。gydF4y2Ba
然后再增加一些阻尼,然后这部分,这个阻尼趋于0。解中没有任何虚部。我们看到两个相等的实值。他们是简单的。它们必须是- B/2。gydF4y2Ba
这是两个s在一起的情况。当两个东西凑在一起时,我们习惯看到因子t出现。它们在一起是- B/2。这就是它的指数。但是我有一个因子t来自于两者的归并。如果B大于这个,这就是我的公式。两个s是实数。gydF4y2Ba
我觉得没人能记住所有这些。在开始这段视频之前,我必须查找它们并把它们写在黑板上。但我希望你能看到它们非常好。无阻尼的case with [?纯频率和低阻尼情况下的衰减。当B进一步增加时,临界阻尼,只有这个,没有振荡。除此之外就是过度阻尼。好的。所以脉冲响应没问题。gydF4y2Ba
现在我要说的是,阶跃响应是什么?那么,我可以回到我的等式来结束这段视频吗?我得把黑板拿下来给你看。现在我要处理阶跃响应。所以方程是一样的。我打电话给解决方案r寻求回应。关键是,右手边现在是一个台阶,而不是一个三角形。gydF4y2Ba
我们想从静止开始解这个方程。一个开关打开了,我想要r (t)的公式,这就是剩下的。实际上,你可以看到特解是什么。我们看一个特解。右边是1。右边是t = 0之后的1。所以我要找一种方法从它中得到1。也可以只是一个常数。gydF4y2Ba
特解是我们接近的稳态。还有一件很酷的事。有时人们在脑海中清楚地知道了物体的尺寸和单位就会在这里写上C。这样做的好处是把C写在这里因为现在r的单位是一样的,r要变成1。gydF4y2Ba
稳态是1因为Cr = C * 1。在无穷远处,简单解是r = 1。当r = 1时,它的导数是0。二阶导数是0。R = 1是一个解。它是一个特解。它是稳态解。好。gydF4y2Ba
但是t等于1的r不能正确开始。我们想从0开始,斜率为0。所以我必须用e减去这些特殊的解中的一个,到s1。现在我必须得到它,所以我必须减去它,所以这东西从0开始。万博 尤文图斯gydF4y2Ba
让我看看我能不能做到。我想如果我对s1t做一个s2 e,然后把s1e减去s2t。你看到那个人取得了什么成就吗?在t=0时,我有,至少t=0,我做了导数0,因为导数会把s1带下来。那个导数会使s2下降。当t等于0时,得到s1,s2减去s1,s2。好,好,好。好啊gydF4y2Ba
现在我认为他们都是正确的。我需要除以s1 - s2。我想说,我想就是这样了。我想就是这样了。我去看看也不坏。经过检查,我知道这是个加号。好的。gydF4y2Ba
r的图像,这是r (t)的图像,它从0开始,到1。渐近是1。这是r (t)的图像,在实践中,这是一个非常重要的数字。上升时间是多少?在它上升到1的95%之前你需要走多远?所有这些问题对工程师来说都是非常实际的问题。上升时间是几点?你在玩弄这个公式。gydF4y2Ba
让我对这个r/t阶的反应再作一点评论。我的另一个评论是我强调了g of t,脉冲响应就像是对一切负责。它永远伴随着我们。这些是如何联系起来的?这是我在这段视频中的最后一个问题。t的r如何与t的g相连接?gydF4y2Ba
好的,让我问一下右边。阶跃函数是如何连接到δ函数的?回答,阶跃函数是δ函数的积分。只要你在δ函数为0的地方积分,δ函数的积分就是0。但是一旦你通过了大尖峰,积分就会跳到1,然后你就可以具有步进功能。gydF4y2Ba
所以阶跃函数是δ函数的积分。所以阶跃响应是增量响应的积分。它是脉冲响应的积分。r是g的积分。r是g的积分,有正确的初始条件,给出了这一点,并最终得到了方法1。gydF4y2Ba
这就是两个关键的解决方案。万博 尤文图斯脉冲响应在理论和实践中都很重要。阶跃响应在实际中非常重要,因为在工程中,打开开关是最基本的操作。好。谢谢你!gydF4y2Ba
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