来自系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
临界点是一个恒定的解决方案y到微分方程y'= f(y)。靠近那个y,标志df / dy.决定稳定性或不稳定。
行。我现在专注于稳定的关键问题。在线性方程的情万博 尤文图斯况下,解决方案是否接近0?在非线性方程的情况下,它们是否接近一些常数,一些稳态?
所以今天是非线性的开始。我将从一个等式开始。Dy DT是y的一些功能,可能不是线性函数。和第一个问题,什么是稳定状态或临界点?简单的问题。我正在寻找特殊的点资本Y,右侧是0,功能为0的特殊点,我会拨打那些关键点或稳定的状态。
重点是什么?在一个关键点,这里是解决方案。这是一个不变的。这是稳定的。我只是在这里检查,方程式满意。衍生物是0,因为它是恒定的,f是0,因为它是一个关键点。所以我有0等于0.微分方程非常好。所以,如果我从一个关键点开始,我留在那里。
这不是我们的核心问题。我们的关键问题是,如果我从其他点开始,我是否接近一个关键点,或者我离开它吗?临界点是稳定和有吸引力的,还是不稳定和令人厌恶?
所以回答这个问题的方法是在你靠近临界点时看看等式。非常接近临界点,我们可以使等式线性。我们可以线性化方程式,这是整个技巧。我以前说过,现在我现在再次这样做了一个等式。但是真实的消息,真实内容具有两三个方程。这就是我们经常在大自然中看到的,我们想知道,问题稳定吗?
行。那么线性化是什么意思?如果通过显微镜查看它,每个功能都是线性的。也许我应该说如果你吹到y等于y附近,则每个功能都是线性的。这是y的f。在这里,它是通过 - 这是y的f的图形,无论它是什么。如果这是我们认为点大写y,那就是函数为0的位置。
附近,我的功能几乎是一条直线。并且该切线的斜率是系数,一切都取决于这一切。一切都取决于坡度是否像那样,可能是不稳定的 - 或下来。如果它已经下降,那么斜坡将在临界点处为负,可能是稳定的。行。
所以我只需要做一点微积分。线性化的整个想法是微积分的核心观念。我们有曲线,但在一个点附近,我们可以假装 - 如果我们焦点,他们基本上是直的,如果我们放大。所以这是一个放大问题,线性化。行。所以,如果我在某些Y处放大功能。我正在围绕着点大写y缩小。但是你记得切线的线条是y的函数。所以小的是一些点关闭。首都y是横角点。
这是斜坡的y减去斜坡 - 这是斜坡 - 临界点的斜坡就有那样 - 你看到右侧是线性的。实际上,y的f是0.这就是点。因此,我只是与该斜率的线性近似和一个简单的功能。行。
所以我会使用这个近似值。我会把它放入等式中,然后我将有一个线性方程,我可以轻松解决。我能这样做吗?所以我的计划是,采取我的微分方程,看,焦点靠近稳定状态,临时临界点首都Y.附近的那一点,这是我对F的好评,我只需用它。所以我计划马上使用它。
所以现在这是线性化的。所以D由y等于y的f。但我将近似等于这个斜率的斜率。所以斜坡是我一阶线性方程中的我的系数小。所以我将回到第1章进行这种线性化以获得一个等式。但是,通过允许两个等式甚至三个方程,下一个视频是真实的。所以我们会在那个方面做一个小的开始,但它真的是下一个视频。
行。所以这是等式。现在,请注意,我可以将DY DT置于 - 那个常数的衍生物为0,所以我可以安全地把它放在那里。那么这告诉我了什么?让我打电话给这个号码a。所以我可以解决这个方程式,解决方案将是Y减少资本Y.它只是线性。衍生物本身是时间的。
这是稳定增长或稳定衰减的纯粹模型。y minus y是,让我们说,一些e到了。对?当我在线性方程ay中有一个系数时,我在指数中看到它。所以不到0稳定。因为少于0,那是否定的,并且指数下降到0.这告诉我y接近大写y。它进入临界点,到稳定状态,而不是离开。
示例,示例。让我借鉴你之前见过的一个例子,右侧是,右侧是,说,3Y减去y平方。行。不是线性的。所以我发现在找到关键点后的线性化。关键点,这是0.即等于0,我猜会有两个关键点,因为我有第二度方程。当那是0时,它可以在y等于0或y等于3.所以两个关键点,并且每个关键点都有自己的线性化,它在该关键点处的斜率。
所以你看,如果我在这里的图形f的图形,那么这3岁负y平方 - 有3Y负y平方。有一个临界点,0.在3.这里有另一个临界点。斜坡是正的 - 不稳定。这里的斜坡是阳性的 - 稳定。所以这是稳定的,不稳定的。
让我只需推动这里的数字。所以DF Dy,这是斜坡。所以我必须采取衍生物。注意这不是我的微分方程。有我的微分方程。这是我的线性化步骤,我的计算衍生,斜率。
所以那是3减2的衍生物,我有两个关键点。在首都y等于0,那是3.在首都y等于3,它是3减6,它的时间减去3.我们在图片上看到的斜坡。倾斜,抛物线正在上升。坡度向下。因此,这将对应于不稳定。
那么这是什么意思是不稳定的?这意味着解决方案y等于0,常数0,解决方程,没有问题。如果Y保持在0,则是一个完美的解决方案。衍生物是0.一切都是0。
但是如果我从0移开0,如果我从0移动一点,那么3Y减去y平方,它看起来像什么?如果我从y等于0的距离等于0,远离这个不稳定的点,y平方将非常小。所以它真的是3Y。y平方将很小,y等于0.忘记。我们有指数增长,e到3T。我们留下0稳态,我们继续前进。
现在,最终我们将在其他稳定状态附近的某处移动。在首都y等于3,这个东西的斜率为减号3,负面的斜率将是稳定点。所以在y减去3,到稳定状态的距离,临界点会像e to mi-嗯 - 嗯,粗糙,对不起,我说的,我的意思是腐烂 - 将像腐烂一样衰减,因为斜坡中的负3是指数中的负3。
行。这不是火箭科学,虽然这对火箭来说非常重要。让我只是说下一个下来,然后在后续视频中做到这一点。所以接下来的是两个方程,DY DT和DZ DT。我有两件事。y和z,它们相互依赖。因此,Y的生长或衰减由某种功能f给出,这由一些不同的函数g给出,因此f和g给出。
现在,我什么时候有稳定的状态?当这是0时。当它们都有0.它们都必须是0.然后dy dt为0,所以y是稳定的。DZ DT为0,所以Z是稳定的。所以我正在寻找 - 我有两个数字来寻找。我有两个等式,你的f--哦,让我打电话给首都y,首都z--所以这些都是现在的数字 - 等于0.所以我想解决 - 等于0,而且g的资本Y,首都Z等于0.是的,是的。所以两个右手边应该是0,然后我处于稳定状态。
但这将是更有趣的线性化。这真的是下一个视频,是你如何线性化?当您有两个函数,根据两个变量y和z时,线性化的东西是什么样的?你会去,我们会看到,[?为了?]斜坡 - 好吧,你会看到它。所以这是即将到来的。我们最终得到了两个二矩阵,因为我们有两个方程,两个未知数,而且比古典单个方程更令人兴奋,就像一个物流方程一样。
行。向前两个。
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