现在是做2 × 2矩阵的好时机，它们的特征值，以及它们的稳定性。2 × 2的特征值是最简单的，最容易理解的。很好地把2 × 2的情况从后面的n × n特征值问题中分离出来。
当然，让我记住特征值和特征向量的基本法则。我们在找一个向量x，和一个数字，特征值，使得Ax = x，换句话说，当我乘以a时，这个特殊的向量x没有改变方向。
它只是改变了长度一个因子，它可以是正的。它可以是零。可能是负的。可以是复数。不过，这只是一个数字。这是关键的方程。
我们来看看它的解。所以我要把它移到左边。我把这个方程写成这样。现在我看到这个矩阵乘以这个向量得到0。
那么，什么时候可能呢?这个矩阵不可逆。如果它是可逆的，唯一的解就是x = 0。没有好。所以这个矩阵一定是奇异的。
它被确定为0。现在我们有了特征值的方程。就是把矩阵平移多少使行列式为0。我们平移乘以单位矩阵从对角线上减去它。
我可以从一个很简单的2 × 2矩阵开始吗，就是我们第一次遇到的那种，叫做伴矩阵。当我们有二阶方程时，我们遇到了这个矩阵。我从方程y ' ' + By ' + Cy = 0开始。
我从一阶方程开始。然后引入y '作为第二个未知数。现在我有一个未知向量y和y '然后，当我把方程写下来——我不重复了——它把我们引向一个2 × 2矩阵。
两个方程对应两个未知数，y和y '。这是一个我们感兴趣的2 × 2矩阵。但我们真正感兴趣的是2 × 2的矩阵。让我把它作为矩阵A，我的同伴矩阵。
所以我只想通过步骤来找到它的特征值。这个矩阵的特征值是什么?我们用这个矩阵，对角线减去，然后求行列式。当我求一个2 × 2矩阵的行列式时，它就是这个乘以这个，就是-乘以-等于²。
得到B。行列式的另一部分是这个乘积，减去c，但是它有一个负号，所以它是加上c，所以这是我的方程关于一个伴随矩阵的特征值。当然，这和指数s的方程是一样的。
对于矩阵的情况和s s1 s2对于单二阶方程是一样的。所以这个方程有解e ^ st当矩阵有特征值万博 尤文图斯= s时，它们是一样的s1和s2。
现在我们来看一个一般的2 × 2矩阵。它的特征值是什么?这个方程对于它的两个特征值是什么样子的?所以这是一个特例。
这里，我有一个一般的矩阵，a b c d，我从对角线上减去。我在求行列式。那会给我两个特征值。我们开始吧。
-乘以-是²。然后有- d和- a，所以有a + d。然后是不包含的部分。不涉及的部分就是行列式(a bc d)它就是ad和- bc。
所以有一个ad和一个- bc，这些都是0。这是二次方程，二次方程。2 × 2矩阵有两个特征值，方程的两个根。我只是想越来越多地理解根1 2和矩阵ab c d之间的联系。
如果我知道2 × 2矩阵，这就告诉了我特征值。这是一个二次方程，有两个根。如果我分解这个，这个就会分解成- 1乘以- 2。当然，如果数字合适，我就能知道1和2是多少。
在这种情况下，我找到特征值。如果数字不是很好，那么1和2来自二次公式，b±√(b²- 4ac)二次公式会解出这个方程，会得到这两个数。
如果我这样乘出来，就得到²。我看到-乘以1和2。然后我看到+ 1 * 2 = 0。这里，我已经写出了两个的方程。这里，当我知道两个时，我写出了方程。
我为什么要这么做?我想把这个和这个匹配，看看这个数，不管它是什么，和那个数是一样的。它们出现在这里，-的系数。这是第一步，1 + 2等于a + d。
只要匹配这两个方程。这就像二次方程的一般情况。根的和是负的系数。然后常数项就是常数项。1乘以2等于ad - bc。
这些是关于2 × 2矩阵的事实，ab c d，特征值的和。所以这是特征值的和——我写s-u-m来表示我在看这个和——是a + d a + d是对角线上的数。这有点特别。
当我把对角线上的数相加，就得到了矩阵的迹。我要介绍一个词，trace。Trace是对角线上的加法。它与a + d相匹配。
这个是特征值的乘积1乘以2。这就是乘积。它等于a的行列式，我只是做了所有关于2 × 2矩阵的简洁的联系。
如果我写下一些矩阵，我们可以马上看一下。我写一个矩阵。假设我写下这个矩阵。哦，让我把它们写成0 1，哦，0 4，啊，让我改进一下。
2 4 4 9。2 4 4 2就更简单了。对不起。我看这个矩阵。我马上看到这个矩阵的两个特征值加起来等于4。2 + 2 = 4。我做了追踪。
这个矩阵的两个特征值乘以行列式，也就是2乘以2等于4 - 16 - 12。所以这个矩阵的和是4。这个矩阵的行列式是4 - 16 = - 12。
也许我可以想出两个数，它们相加等于4，然后乘以- 12。我认为，实际上，它们是6和- 2。我认为这里的特征值是6和- 2因为它们加起来是4，这个迹，它们用6乘以- 2是- 12。这就是行列式。
2 × 2矩阵，你有很好的机会看到到底发生了什么。现在，我今天这个视频的兴趣是利用所有这些，利用特征值，来决定稳定性。稳定性意味着微分方程的解趋于0。万博 尤文图斯
我们记得解是e ^ st，它和e ^ t万博 尤文图斯是一样的s和都来自同一个方程在二阶方程化简为一个伴矩阵的情况下。所以我感兴趣的是什么时候特征值是负的。
什么时候特征值是负的?如果它们是复数，什么时候它们的实部是负的。我们可以记住trace，和，乘积，行列式。回答稳定性问题。
所以我已经为稳定做好了准备。稳定性意味着1 -和2 -。这是真实的情况。或者在复数情况下，等于实部加上和减去虚部。然后我们要实部为负。
a的实部，也就是a，应该是0。这就是我们的要求。如果特征值是复的，我们得到一对它们的实部应该是0所以e的。关于这个- a的点是e的at次方趋于0。关于这些负的重点是e的t次方趋于0。
这就是稳定性。所以我的问题是，关于特征值决定这个矩阵的检验是什么?我们可以看看这个矩阵——也许我们不需要找到那些特征值。也许我们可以利用这个事实。
同样，事实是1 + 2是迹1乘以2是行列式。我们可以从矩阵中读出这些数字。这是一个二次方程。
但是如果我们只想知道特征值是负的吗?它们的实部是负的吗?我们可以从这些数字中得到这些信息而不需要从二次方程中找到特征值。做起来并不难，但我们不需要这么做。
假设我们有两个负的特征值。当然，这就意味着迹值是负的。因为迹是特征值的和。如果它们都是负的，trace就是负的。所以我们可以马上检查一下痕迹。
行列式呢?如果这是负的，这也是负的，那么两者相乘就会得到正数。所以行列式应该是正的。所以trace小于0。行列式大于0。这就是稳定性测试。
这就是稳定性测试。稳定。2 × 2矩阵A B C D，如果它的迹是负的行列式是正的，它是稳定的。这就是考验。
实际上，当出来是复数时也成立因为1 + 2,1是a + i。2是-。和就是2a。我们希望它是负的。
同样，trace为负。即使根是实数或复数，也要追踪负数。这仍然告诉我们根的和是负的行列式也成立。
如果(a + i)乘以(a- i)在这种情况下，1乘以2，如果我把这些数相乘，我得到a的平方加上的平方。加个正号。所以这是正的。我们没事了。
所以我的结论是这是稳定性的测试。我可以把它应用到一些矩阵上。我写了几个矩阵。我能看看这个测试吗-你能看看这个测试吗-然后应用它来看看。
举个例子。比如- 2 - 1 3 4。这样好吗?迹是- 3。这很好。行列式是2 - 12 - 10。这是不好的。这是不好的。
所以这是不稳定的。它的行列式是负的。不稳定的。所以我在这里面放一个x。不稳定的。
让我选一个稳定的。稳定1，假设是- 5和1。没关系。痕迹是阴性的。- 4。现在我想让行列式为正。
也许我应该写上6和- 7。只是选数字。现在行列式是- 5 + 42。一个很大的正数。并通过行列式检验。这是可以的。这个是稳定的。
如果这是矩阵A，那么dy / dt = Ay y ' = Ay的解就万博 尤文图斯是微分方程。跟踪特征向量的两万博 尤文图斯个解都是负的。负的，因为迹是负的而行列式是正的。通过稳定性检验，解趋于负无穷。万博 尤文图斯
这是2乘2的。谢谢你！
