长死时间过程的控制:史密斯预测器

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这个例子展示了PI控制对于长死时间过程的限制，并说明了称为“Smith Predictor”的控制策略的好处。

这个例子的灵感来自:

A. Ingimundarson和T. Hagglund，“死区补偿控制器的鲁棒整定过程”，控制工程实践，2001年9月，第1195-1208页。

流程模型

过程开环响应建模为一阶加死时间，时间常数为40.2秒，时延为93.9秒:

S = tf(“年代”）;P = exp(-93.9*s) * 5.6/(40.2*s+1);P.InputName =“u”；P.OutputName =“y”；P

P =从输入“u”到输出“y”:5.6 exp(-93.9*s) * ---------- 40.2 s + 1连续时间传递函数。

注意，延迟是时间常数的两倍多。这个模型可以代表许多化学过程。其阶跃响应如下所示。

步骤(P)、网格在

比例积分控制器

比例积分控制是过程控制中常用的一种控制技术。对应的控制体系结构如下所示。

补偿器C是一个标准形式的PI控制器，具有两个调谐参数:比例增益Kp还有一个积分时间“透明国际”．我们使用PIDTUNE命令设计开环带宽为0.006 rad/s的PI控制器:

Cpi = pidtune(P,pidstd(1,1)，0.006);消费者价格指数

Cpi = 1 1 Kp *(1 + ---- *—)Ti s，其中Kp = 0.0501, Ti = 47.3连续时间PI控制器的标准形式

为了评估PI控制器的性能，关闭反馈回路并模拟参考信号阶跃变化的响应ysp输出扰动信号d．由于反馈路径存在延迟，因此需要进行转换P或消费者价格指数属性的状态空间表示形式党卫军命令:

Tpi =反馈([P*Cpi,1]，1,1,1);%闭环模型[ysp;d]->yTpi。InputName = {“ysp”' d '};步骤(Tpi)、网格在

闭环响应有可接受的超调，但有点迟缓(在大约600秒内稳定下来)。增加比例增益Kp会加速响应，但也会显著增加超调，并迅速导致不稳定:

Kp3 = [0.06;0.08;0.1];%尝试三个增加的Kp值Ti3 = repmat(Cpi.Ti,3,1);% Ti保持不变C3 = pidstd(Kp3,Ti3);%对应三个PI控制器T3 =反馈(P*C3,1);T3。InputName =“ysp”；步骤(T3)标题(“增加Kp时失去稳定性”）

PI控制器的性能受到长死区时间的严重限制。这是因为PI控制器没有死时间的知识，当实际输出时反应太“不耐烦”y与期望的设定值不匹配ysp．每个人在淋浴时都经历过类似的现象，水温需要很长时间才能调整。在那里，不耐烦通常会导致用滚烫的热水和冰冷的冷水交替责骂。一个更好的策略是等待温度设置的变化生效，然后再进行进一步的调整。一旦我们知道了什么样的旋钮可以传递我们最喜欢的温度，我们就可以在淋浴反应的时间内得到合适的温度。这种“最优”控制策略是史密斯预测器方案背后的基本思想。

史密斯预测器

Smith Predictor控制结构如下图所示。

史密斯预测器使用内部模型全科医生为了预测过程的无延迟响应yp(例如，给定的旋钮设置将提供什么水温)。然后，它将这个预测yp与期望的设定值ysp进行比较，以决定需要进行哪些调整(控制u)。为了防止漂移和拒绝外部干扰，Smith预测器还将实际过程输出与预测进行比较日元这也算上了死亡时间。的差距dy = y-y1通过滤波器F反馈，并对整体误差信号有贡献e．请注意,dy相当于感知到的温度不匹配后等着阵雨反应过来。

部署史密斯预测器方案需要

一个模型全科医生过程动力学和一个估计τ进程死时间的

补偿器和滤波器动态的适当设置(C而且F）

基于流程模型，我们使用:

$$ G_p (s) ={5.6 \ /(1 + 40.2年代}\τ= 93.9 $$

为F，使用具有20秒时间常数的一阶滤波器捕捉低频干扰。

F = 1/(20*s+1);F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

为C，我们重新设计了PI控制器与整体植物看到的PI控制器，其中包括动态从P，全科医生，F还有死时间。在Smith Predictor控制结构的帮助下，我们能够增加开环带宽以实现更快的响应，并增加相位裕度以减少超调。

%的过程P = exp(-93.9*s) * 5.6/(40.2*s+1);P.InputName =“u”；P.OutputName =“y0”；预测模型Gp = 5.6/(40.2*s+1);全科医生。InputName =“u”；全科医生。OutputName =“yp”；Dp = exp(-93.9*s);Dp。InputName =“yp”；Dp。OutputName =“日元”；整体植物%S1 = sumblk('ym = yp + dp'）;S2 = sumblk('dy = y0 - y1'）;植物=连接(P,Gp,Dp,F,S1,S2，“u”，“ym”）;设计PI控制器，带宽0.08 rad/s，相位裕度90度选项= pidtuneOptions(“PhaseMargin”, 90);C = pidtune(Plant,pidstd(1,1)，0.08,Options);C.InputName =“e”；C.OutputName =“u”；C

C = 1 1 Kp *(1 + ---- *——)Ti s，其中Kp = 0.574, Ti = 40.2连续时间PI控制器的标准形式

PI控制器与Smith预测器的比较

为了比较这两种设计的性能，首先推导了由的闭环传递函数ysp d来ySmith Predictor体系结构。为了便于连接所有涉及的块，命名它们的所有输入和输出通道并let连接接线:

装配[y_sp,d]到y的闭环模型Sum1 = sumblk('e = ysp - yp - dp'）;Sum2 = sumblk('y = y0 + d'）;Sum3 = sumblk('dy = y - y1'）;T = connect(P,Gp,Dp,C,F,Sum1,Sum2,Sum3，{“ysp”，' d '}，“y”）;

使用一步对比史密斯预测器(蓝色)和PI控制器(红色):

步骤(T)“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(“史密斯预测器”，比例积分控制器的）

史密斯预测器提供了更快的响应，没有超调。通过绘制闭环波德响应，在频域也可以看到这种差异ysp来y．请注意，史密斯预测器的带宽更高。

波德(T (1, 1),“b”Tpi (1,1),“r——”1}、{1 e - 3)网格在传奇(“史密斯预测器”，比例积分控制器的）

模型失配的鲁棒性

在前面的分析中，内部模型

$G_p(s) e^{-\tau s}$

匹配流程模型P完全正确。在实际情况下，内部模型只是真实过程动力学的近似值，因此了解史密斯预测器对过程动力学和死时间的不确定性的鲁棒性是很重要的。

考虑代表工艺参数不确定性范围的两个扰动工厂模型:

P1 = exp(-90*s) * 5/(38*s+1);P2 = exp(-100*s) * 6/(42*s+1);波德(P, P1, P2),网格在标题(“名义和扰动过程模型”）

为了分析鲁棒性，将标称模型和扰动模型收集到一系列过程模型中，重建PI和Smith Predictor设计的闭环传递函数，并模拟闭环响应:

植物=堆叠(1,P,P1,P2);%流程模型数组T1 = connect(Plants,Gp,Dp,C,F,Sum1,Sum2,Sum3，{“ysp”，' d '}，“y”）;%史密斯Tpi =反馈([Plants*Cpi,1]，1,1,1);%π步骤(T1,“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(“史密斯预测者1号”，比例积分控制器的）

这两种设计都对模型失配非常敏感，闭环波德图证实了这一点:

波德(T1 (1, 1),“b”Tpi (1,1),“r——”网格)在传奇(“史密斯预测者1号”，比例积分控制器的）

提高鲁棒性

为了降低史密斯预测器对建模误差的敏感性，检查内圈和外圈的稳定裕度。内循环C具有开环传输C *的全科医生稳定裕度由

margin(C * Gp)“内环的稳定裕度(C)”）

内环有舒适的增益和相位裕度，所以接下来关注外环。使用连接推导开环传递函数l从ysp来dp当内循环关闭时:

Sum1o = sumblk('e = ysp - yp'）;%在dp打开环路L = connect(P,Gp,Dp,C,F,Sum1o,Sum2,Sum3，{“ysp”，' d '}，“迪拜”）;bodemag (L (1,1))

当过程和预测模型完全匹配时，这个传递函数本质上是零。为了深入了解外回路的稳定裕度，我们需要使用其中一个扰动过程模型，例如:P1：

H =连接(植物(:,:2),Gp, Dp, C, Sum1o, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“dy”）;H = H(1,1);%开环传输ysp -> dyL = f * h;保证金(L)标题(外环的稳定裕度(F)网格)在；xlim([1依照1]);

增益曲线在0.04 rad/s附近有一个驼峰，这降低了增益边际，增加了闭环阶跃响应中的驼峰。要解决这个问题，请选择一个过滤器F更早更快地滚动:

F = (1+10*s)/(1+100*s);F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

验证增益裕度在0.04 rad/s相位交叉附近有所改善:

L = f * h;保证金(L)标题(带修正F的外环稳定裕度网格)在；xlim([1依照1]);

最后，用修改后的滤波器模拟闭环响应:

T2 = connect(Plants,Gp,Dp,C,F,Sum1,Sum2,Sum3，{“ysp”，' d '}，“y”）;步骤(T2,“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(“史密斯预测者2”，比例积分控制器的）

修改后的设计以略慢的标称响应为代价提供了更一致的性能。

提高抗干扰能力

闭环传递函数的公式d来y说明最优选择为F是

$F(s) = e^{\ s}$

在哪里τ是内部模型的死时间。这种选择在不匹配的情况下实现了完美的干扰抑制P而且全科医生．遗憾的是，这种“负延迟”不是因果关系，也不能实施。在论文中:

黄,H.-P。，et al., "A Modified Smith Predictor with an Approximate Inverse of Dead Time," AiChE Journal, 36 (1990), pp. 1025-1031

作者建议使用相导近似:

$e $ $ ^{\τs} \大约{1 + B (s) \ / (1 + B (s) e ^{- \τs}} $ $$

在哪里B低通滤波器是否与内部模型具有相同的时间常数全科医生．您可以对该方案进行如下测试:

定义B(s)和F(s)

B = 0.05/(40*s+1);tau =总延迟(Dp);F = (1+B)/(1+B*exp(-tau*s));F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

重新设计降低带宽的PI控制器

植物=连接(P,Gp,Dp,F,S1,S2，“u”，“ym”）;C = pidtune(Plant,pidstd(1,1)，0.02,pidtuneOptions(“PhaseMargin”, 90));C.InputName =“e”；C.OutputName =“u”；C

C = 1 1 Kp *(1 + ---- *——)Ti s, Kp = 0.144, Ti = 40.1连续时间PI控制器的标准形式

计算闭环模型T3

T3 = connect(Plants,Gp,Dp,C,F,Sum1,Sum2,Sum3，{“ysp”，' d '}，“y”）;

比较T3、T2和Tpi

步骤(T2,“b”T3,‘g’Tpi,“r——”网格)在传奇(“史密斯预测者2”，“史密斯预测者3”，比例积分控制器的）

这个比较表明，我们最后的设计加快了干扰抑制，代价是更慢的设定值跟踪。