主要内容

二阶锥规划算法

二阶锥规划的定义

二阶锥规划问题的形式为

闵 x f T x

受约束

‖ 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） ‖ ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ） 一个 ⋅ x ≤ b Aeq ⋅ x ＝ 说真的 磅 ≤ x ≤ 乌兰巴托 ．

f，x，b，说真的，磅,乌兰巴托是向量，和一个和Aeq是矩阵。对于每个我，矩阵一个sc（我)，向量bsc（我)及dsc（我)，和标量γ（我)位于使用创建的二阶圆锥体约束中secondordercone．

也就是说，该问题具有一个线性目标函数和线性约束，以及一组二阶锥约束的形式 ‖ 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） ‖ ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ） ．

coneprog算法

的coneprog解算器使用Andersen、Roos和Terlaky中描述的算法[1].此方法是一种类似于内点linprog算法．

标准形式

算法首先将问题放入标准格式．该算法增加了非负松弛变量，使问题具有一定的形式

闵 x f T x

受约束

一个 ⋅ x ＝ b x ∈ K ．

解算器会扩展线性系数向量的大小f线性约束矩阵一个以说明松弛变量。

该地区K是的叉积洛伦兹锥方程式1和非负正态。转换每个凸锥

‖ 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） ‖ ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ）

到洛伦兹锥方程式1，创建变量的列向量t1，t2、……tn＋1：

t 1 ＝ d T x − γ t 2 ： （ n + 1 ） ＝ 一个 sc x − b sc ．

这里是变量的数量n对于每个圆锥体我是中的行数一个sc（我).根据其定义，变量向量t满足不等式

‖ t 2 ： （ n + 1 ） ‖ ≤ t 1 ． (1）

方程式1洛伦兹锥的定义是什么(n+1） 变量，变量t代替变量出现在问题中x在凸区域K．

在内部，算法也使用旋转洛伦兹锥在圆锥约束的重新表述中，但本主题不涉及这种情况。详情请参见Andersen、Roos和Terlaky[1]．

添加松弛变量时，算法会根据需要对变量求反，并添加适当的常量，以便：

  • 只有一个界的变量的下界为零。

  • 具有两个边界的变量的下界为零，使用松弛变量时，没有上界。

  • 无边界变量放置在洛伦兹锥中，松弛变量作为约束变量。该松弛变量不属于任何其他表达式、目标或约束的一部分。

对偶问题

双锥面是

K ＊ ＝ ｛ 年代 ： 年代 T x ≥ 0 ∀ x ∈ K ｝ ．

对偶问题是

马克斯 y b T y

以致

一个 T y + 年代 ＝ f

对一些人来说

年代 ∈ K ＊ ．

对偶最优解是一个点(y，年代)满足双重约束并使双重目标最大化。

均匀自对偶公式

为了处理可能不可行或无界的问题，算法增加了两个变量τ和κ并将问题表述为齐次（等于零）和自对偶问题。

一个 x − b τ ＝ 0 一个 T y + 年代 − f τ ＝ 0 − f T x + b T y − κ ＝ 0 (2）

还有约束条件

（ x ； τ ） ∈ K ¯ ， （ 年代 ； κ ） ∈ K ¯ ＊ ． (3）

在这里 K ¯ 是圆锥体吗K与非负实线相邻，这是(x；τ).同样 K ¯ ＊ 是圆锥体吗 K ＊ 与非负实线相邻，这是(年代；κ).在这个公式中，下面的引理表明τ是可行的解决方案吗万博 尤文图斯κ是不可行问题的指示器。

引理（[1]引理2.1）

让(x，τ，y，年代，κ是一个可行的解决方案方程式2以及方程式3．

  • xT年代+τκ= 0。

  • 如果τ> 0，则(x，y，年代)/τ是标准形式二阶锥问题的原对偶最优解。

  • 如果κ>0，则至少有一个严格不等式成立：

    bTy> 0

    fTx< 0。

    如果第一个不等式成立，则标准形式的原始二阶锥问题不可行。如果第二个不等式成立，则标准形式的对偶二阶锥问题不可行。

综上所述，对于可行问题，变量τ在原标准形式问题和齐次自对偶问题之间缩放解。对于不可行的问题，最终迭代(x，y，年代，τ，κ)提供原始标准表单问题不可行的证书。

起点

迭代的起始点为可行点:

  • x= 1，每个非负变量为1，每个洛伦兹锥第一个变量为1，否则为0。

  • y= 0。

  • 年代=(1,0，…，0)为每个圆锥，1为每个非负变量。

  • τ= 1。

  • κ= 1。

中央路径

该算法试图遵循中央路径，为下式的参数化解γ从1减少到0。

一个 x − b τ ＝ γ （ 一个 x 0 − b τ 0 ） 一个 T y + 年代 − c τ ＝ γ （ 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 ） − f T x + b T y − κ ＝ γ （ − f T x 0 + b T y 0 − κ 0 ） X 年代 e ＝ γ μ 0 e τ κ ＝ γ μ 0 ． （4）

  • 每个下标为0的变量表示该变量的起始点。

  • 变量X和年代是箭头矩阵由x和年代分别是向量。对于向量x= (x1，x2,…,xn]，箭头矩阵X有定义

    X ＝ 垫 （ x ） ＝ ［ x 1 x 2 ： n T x 2 ： n x 1 我 ］ ．

    根据其定义,X是对称的。

  • 变量e是每个圆锥体坐标中对应于x1洛伦兹锥坐标。

  • 变量μ0有定义

    μ 0 ＝ x 0 T 年代 0 + τ 0 κ 0 k + 1 ，

    哪里k中非零元素的数目x0．

中心路径开始于齐次自对偶问题的起点，结束于最优解。

安徒生、罗斯和特莱基[1]在引理3.1中证明了互补条件xT年代=0，其中x和年代是洛伦兹锥的乘积l，等于条件

X 我 年代 我 e 我 ＝ 年代 我 X 我 e 我 ＝ 0

每个圆锥体我．在这里X我=垫(x我)，x我是与洛伦兹锥相关的变量我，年代我=垫(年代我),e我为相应维数的单位向量[1,0,0，…，0]。讨论表明，中心路径在其端点处满足互补条件。

搜索方向

获取中心路径附近的点作为参数的步骤γ从1减少到0，该算法使用牛顿法。要查找的变量被标记(x，τ，y，年代，κ)．让dx表示搜索对象的搜索方向x变量等等。然后牛顿阶跃解出下面的线性方程组，由方程式4．

一个 d x − b d τ ＝ （ γ − 1 ） （ 一个 x 0 − b τ 0 ） 一个 T d y + d 年代 − f d τ ＝ （ γ − 1 ） （ 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 ） − f T d x + b T d y − d κ ＝ （ γ − 1 ） （ − f T x 0 + b T y 0 − κ ） X 0 d 年代 + 年代 0 d x ＝ − X 0 年代 0 e + γ μ 0 e τ 0 d κ + κ 0 d t 一个 u ＝ − τ 0 κ 0 + γ μ 0 ．

算法通过步进得到下一个点d方向

［ x 1 τ 1 y 1 年代 1 κ 1 ］ ＝ ［ x 0 τ 0 y 0 年代 0 κ 0 ］ + α ［ d x d τ d y d 年代 d κ ］

对于一些步骤 α ∈ ［ 0 ， 1 ］ ．

对于数值稳定性和加速收敛，该算法根据Nesterov和Todd中的建议调整步长［8］.此外，该算法根据Mehrotra的预测-校正器的一种变体来校正步长［7]．(详情请参见Andersen、Roos和Terlaky[1]．）

一步解决差异

前面的讨论涉及LinearSolver具有值的选项“增强”指定。解算器具有其他值，可更改步长计算以适应不同类型的问题。

  • “汽车”（默认）-coneprog选择步进求解器:

    • 如果问题是稀疏的，步骤求解器就是“prodchol”．

    • 否则，步进解算器为“增强”．

  • “正常”-解算器使用“增强”当问题比较稀疏时适用的步骤。参见Andersen、Roos和Terlaky[1]．

  • “舒尔”-该解算器使用改进的Schur补码方法处理具有几个密集列的稀疏问题。该方法也适用于大型锥体。见安徒生［2］．

  • “prodchol”-解算器使用Goldfarb和Scheinberg中描述的方法(［4］和［5］)用于处理带有几个密集列的稀疏问题。这种方法也适用于大锥。

迭代显示和停止条件

在每次迭代中k，算法计算三个相对收敛测度:

  • 原始的不可行性

    Infeas 原始的 k ＝ ‖ 一个 x k − b τ k ‖ 马克斯 （ 1 ， ‖ 一个 x 0 − b τ 0 ‖ ） ．

  • 双不可行性

    Infeas 双 k ＝ ‖ 一个 T y k + 年代 k − f τ k ‖ 马克斯 （ 1 ， ‖ 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 ‖ ） ．

  • 间隙不可行性

    Infeas 缺口 k ＝ | − f T x k + b T y k − κ k | 马克斯 （ 1 ， | − f T x 0 + b T y 0 − κ 0 | ） ．

通过指定迭代显示，可以在命令行中查看这三个统计信息。

选项=最佳选项(“coneprog”，“显示”，“通路”）;

当问题可行且解算器收敛时，这三个变量都应接近零κk趋近于0，变量τk趋近于正常数。

一个停止条件在某种程度上与间隙不可行性有关。停止条件是当下列最优性度量降低到最优性公差以下时。

最优 k ＝ | f T x k − b T y k | τ k + | b T y k | ＝ | f T x k / τ k − b T y k / τ k | 1 + | b T y k / τ k | ．

这个统计量测量了客观值的准确性。

在下列条件下，求解器也会停止并声明问题不可行的。这三种相对不可行的措施都小于c＝约束耐受性,

τ k ≤ c 马克斯 （ 1 ， κ k ） ．

如果bTyk> 0，然后解算器声明原始问题不可行。如果fTxk< 0，然后解算器声明对偶问题不可行。

当

μ k ≤ c μ 0

和

τ k ≤ c 马克斯 （ 1 ， κ k ） ．

在这种情况下,，coneprog报告问题在数值上不稳定（退出标志-10)．

当至少一个不可行性度量值大于约束耐受性计算的步长太小。在这种情况下，coneprog报告搜索方向太小，无法取得进一步进展（退出标志－7)．

工具书类

[1] 安徒生，E.D.，C.Roos和T.Terlaky。关于圆锥二次优化的原对偶内点法的实现。数学。程序。,爵士。B95，第249-277页（2003年）。https://doi.org/10.1007/s10107-002-0349-3

[2] 安徒生，K.D。线性规划内点法中处理稠密柱的修正schur补法。数学学报，22(3):348-356,1996。

[3] 本·塔尔、亚哈龙和阿卡迪·内米洛夫斯基。工程中的凸优化:建模，分析，算法。(1998)。可以在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.455.2733&rep=rep1&type=pdf．

Goldfarb, D.和K. Scheinberg。线性规划内点法中处理密集列的积型cholesky分解方法。数学规划，99（1）：1-342004。

[5] Goldfarb，D.和K.Scheinberg。二阶锥规划内点法中的积型cholesky分解。数学规划，103（1）：153-1792005。

罗志权，Jos F. Sturm，张树忠。二次凸规划的对偶性和自对偶性。(1996)。可以在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.48.6432

[7] 关于原始-对偶内点法的实现优化学报2,没有。4(1992年11月):575-601。https://doi.org/10.1137/0802028．

于[8]涅斯捷罗夫。E.和M. J.托德。《凸规划的自尺度障碍和内点方法》。运筹学数学22,没有。1(1997年2月):1 - 42。https://doi.org/10.1287/moor.22.1.1．

另请参阅

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