你好,丹尼尔
如你所知,一个酉矩阵的每一列乘以一个标量阶段因素仍然导致一个酉矩阵(相位因素可以改变每一列)。埃尔米特矩阵H (k)是U (k)的对角化* H (k) * U (k)。假设k dk的步骤。在k - - > k + dk,每一步每一列U (k + dk)乘以一个独立的阶段的因素。这些阶段控制因素是必要的,因为你在做wirh某些元素定义为真实的。
下面的代码使用以下的想法。让联合国(k + dk)表示第n列U (k + dk)。选择θ的数量
|联合国(k + dk) * exp(我*θ)——联合国(k) | ^ 2
是最小化。这发生在
从k = kstart Matlab eig与U给定的函数,然后如上(n * n列的U)获得U (k)作为一个光滑函数的k。在这一点上你可以计算U ' (k) * dU / dk间隔使用diff函数和k。然而。如果你有一个解析或数值表达式dH / dk,你不需要做任何进一步的分化。这是因为解决
H (k + dk) * U (k + dk) = (k + dk) * E (k + dk)
给一阶
dH杜* U + H * dU = * E + U *德
作为一个解决方案吗
德/ dk =诊断接头(U ' dH / dk U) (dE / dk值向量)
U ' * dU / dk = G。* (U ' dH / dk U)(仅nondiagonal U 'dU / dk的一部分)
在哪里
Gij = 1 / (Ej ei)我~ = j
我= = 0 j
U ' * dU / dk仍可能有一个对角部分,还待定。然而,原因我还没有推导,使用上面的θ过程导致一个U ' * dU / dk值为零的对角线。
下面的代码使用标准的两个复杂的埃尔米特矩阵H1和H2,与H (k) = H1 * k + H2 * (1 k) k从0到1。然后dH / dk只是H1-H2。
为埃尔米特矩阵看来eig总是排序的输出特征值,特征向量是规范化为1的特征向量矩阵自动酉。否则一些排序/规范必须采取措施,但到目前为止,似乎没有必要。
H的非对角元素非零,特征值图显示了多层面排斥。
根据随机数字,一些情节,尤其是特征向量图,功能相当不错的意大利面条。
k的θ过程使用一个for循环变量。它是可能的,但循环的速度优势开始消失,当矩阵的尺寸变大。for循环版本包含在这里。
μ= 2;
d = 10
h1 =诊断接头兰德(d, 1) (8 * 4)…
+μ*(2 *兰德(d, d) 1 + 2 *兰德(d, d) - i);
h1 = h1 + h1 ';
h2 =诊断接头兰德(d, 1) (8 * 4)…
+μ*(2 *兰德(d, d) 1 + 2 *兰德(d, d) - i);
h2 = h2 + h2 ';
N = 20000;
E = 0 (d N);
u = 0 (d, d, N);
一个= 0 (d, d, N);
k = (1: N) / N;
德尔克小姐= k - k (1) (2);
为j = 1: N
H = k (j) * h1 + (1 k (j)) * h2;
香港= h1-h2;
(uj Ej) = eig (H,“向量”);
E (:, j) = Ej;
u (:,:, j) = uj;
结束
ufix = u;
为nd = 1: d
为j = 2: N
= ufix (:, nd, j - 1);
b = ufix (:, nd, j);
θ=角(b *);
ufix (:, nd, j) = b * exp(我*θ);
结束
结束
图(99)
情节(k, E)
如果真正的
为j = 1: d
图(j)
uplot =挤压(ufix (: j:));
情节(k,真正的(uplot))
结束
结束
为j = 1: N
uj = ufix (:,:, j);
Ej = E (:, j);
G = 1。/ (Ej”——Ej);
G (1: d + 1: d ^ 2) = 0;
Hktrans = uj ' * * uj港元;
(:,:,j) = Hktrans。* G;
结束
如果真正的
为j = 1: d
图(j + d)
uplot =挤压((:,j:));
情节(k,真正的(uplot))
结束
结束
。整个这个矩阵,我获得一个相似变换
这样
。
我的目标是计算对象的形式:
。
,但是对于这个工作,我不得不实施严格的规修复
这样的结果是有意义的。我这样做,要求给定的列向量的第一个元素大于截止(任意值)
纯粹的真实
和积极的。这个条件是然后依次对每一列。
