非线性约束和梯度

这个例子展示了如何解决非线性问题具有非线性约束用导数信息。

通常,极小化例程使用数值梯度计算了有限差分近似。这个过程系统地扰乱每个变量为了计算函数和约束偏导数。或者,您可以提供一个函数来计算偏导数分析。通常,当你提供导数信息,解决更准确、高效地工作。

目标函数和非线性约束

是要解决的问题

$\underset{x}{最小值} f (x) = e^{x_{1}} (4 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} + 1),$

受约束

$\begin{array}{l} x_{1} x_{2} - - - - - - x_{1} - - - - - - x_{2} \leq - - - - - - 1 。 5 \\ x_{1} x_{2} \geq - - - - - - 10 。 \end{array}$

因为fmincon解算器预计写在形式的约束 $c (x) \leq 0$ ,写下你的约束函数返回以下值:

$c (x) = (\begin{array}{c} x_{1} x_{2} - - - - - - x_{1} - - - - - - x_{2} + 1 。 5 \\ - - - - - - 10 - - - - - - x_{1} x_{2} \end{array}]$ 。

目标函数的梯度

目标函数是

$f (x) = e^{x_{1}} (4 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} + 1)$ 。

计算的梯度 $f (x)$ 关于变量 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 。

$\nabla f (x) = (\begin{array}{c} f (x) + 经验值 (x_{1}) (8 x_{1} + 4 x_{2}) \\ 经验值 (x_{1}) (4 x_{1} + 4 x_{2} + 2) \end{array}]$ 。

的objfungrad辅助函数在这个例子返回两个目标函数 $f (x)$ 及其梯度在第二输出gradf。集@objfungrad作为目标。

有趣= @objfungrad;

约束函数梯度

辅助函数confungrad非线性约束函数;它出现在这个例子。

的导数信息不平等约束每一列对应一个约束。换句话说,约束的梯度是在以下格式:

$(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{\partial c_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial c_{2}}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial c_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial c_{2}}{\partial x_{2}} \end{array}] = (\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{2} - - - - - - 1 & - - - - - - x_{2} \\ x_{1} - - - - - - 1 & - - - - - - x_{1} \end{array}] 。$

集@confungrad随着非线性约束函数。

nonlcon = @confungrad;

选项设置为使用导数信息

显示的fmincon解决目标和约束函数提供导数信息。为此,使用optimoptions设置SpecifyObjectiveGradient和SpecifyConstraintGradient选项值真正的。

选择= optimoptions (“fmincon”,…“SpecifyObjectiveGradient”,真的,“SpecifyConstraintGradient”,真正的);

解决问题

设置初始点[1]。

x0 = [1];

这个问题没有边界或线性约束,所以设置这些参数值[]。

一个= [];b = [];Aeq = [];说真的= [];磅= [];乌兰巴托= [];

调用fmincon来解决这个问题。

[x, fval] = fmincon (Aeq有趣,x0, A, b,说真的,磅,乌兰巴托,nonlcon,选项)

局部最小值发现,满足约束。优化完成,因为目标函数中引入可行的方向,在最优值的宽容,和约束满足约束的值公差内。

x =1×2-9.5473 - 1.0474

fval = 0.0236

解决方案示例中是一样的非线性不等式约束不使用导数信息,解决问题。使用衍生品的优势是,解决这个问题需要更少的功能评估获得鲁棒性,尽管这在本例中优势并不明显。使用更多的导数信息,如与分析黑森fmincon内点算法,让更多的好处,如减少迭代解算器。

辅助函数

这段代码创建了objfungradhelper函数。

函数[f, gradf] = objfungrad f (x) = exp (x (1)) * (4 * x (1) ^ 2 + 2 * x (2) ^ 2 + 4 * x (1) * (2) + 2 * x (2) + 1);%的目标函数的梯度:如果nargout > 1 gradf = [f + exp (x (1)) * (8 * x (1) + 4 * x (2)), exp (x (1)) * (4 * x (1) + 4 * x (2) + 2)];结束结束

这段代码创建了confungradhelper函数。

函数[c,测查特区DCeq] = confungrad (x) c (1) = 1.5 + x (1) * (2) - x (1) - (2);%不等式约束c (2) = x - x (1) * (2) -10;%没有非线性等式约束测查= [];%的梯度约束:如果nargout > 2 DC = [x (2) 1 - x (2);x (1) 1 - x (1)];DCeq = [];结束结束