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快速多极方法对于大型结构

快速多极子方法(FMM)计算技术在天线工具箱™允许模型和分析天线和阵列飞机和汽车等大型平台。

直接解决

电磁问题的计算解决方案的第一步是麦克斯韦方程离散化。过程的结果在这个矩阵向量系统:

$V = Z 我$

V——应用电压向量。这个信号电压或功率应用于天线或一个事件在天线上的信号下降。
我——电流向量表示天线表面电流。
Z——交互矩阵或相关的阻抗矩阵V来我。

天线工具箱使用矩量法解算器金属和介质结构计算交互矩阵和求解系统方程。

计算表面电流在天线结构,首先定义Rao-Wilton-Glisson RWG基函数。一双RWG基函数是一个三角形,共享优势,并显示在图。

对于任意两个三角形贴片, $t_{n}^{+}$ 和 $t_{n}^{-}$ ,在地区 ${一个}_{n}^{+}$ 和 ${一个}_{n}^{-}$ ,分享共同的边缘 $l_{n}$ ,基函数

$\begin{array}{l} {\vec{f}}_{n} (\vec{r}) = {\begin{matrix} \frac{l_{n}}{2 {一个}_{n}^{+}} {\vec{ρ}}_{n}^{+ 年代}, & \vec{r} \in t_{n}^{+} \\ \frac{l_{n}}{2 {一个}_{n}^{-}} {\vec{ρ}}_{n}^{- 年代}, & \vec{r} \in t_{n}^{-} \end{matrix} \end{array}$

${\vec{ρ}}_{n}^{+} = \vec{r} - {\vec{r}}_{n}^{+}$ ——矢量来自自由顶点的三角形 $t_{n}^{+}$ 观察点 $\vec{r}$
${\vec{ρ}}_{n}^{-} = {\vec{r}}_{n}^{+} - \vec{r}$ ——矢量来自观测点自由三角形的顶点 $t_{n}^{-}$

和

$\nabla \cdot {\vec{f}}_{n} (\vec{r}) = {\begin{matrix} \frac{l_{n}}{{一个}_{n}^{+}}, & \vec{r} \in t_{n}^{+} \\ - \frac{l_{n}}{{一个}_{n}^{-}}, & \vec{r} \in t_{n}^{-} \end{matrix}$

基函数为零以外的两个相邻的三角形 $t_{n}^{+}$ 和 $t_{n}^{-}$ 。RWG矢量基函数是线性的,也没有通量(没有正常组件)通过其边界。

内存使用和问题大小之间的关系

的相互作用矩阵Z是一个复杂的密集的对称矩阵。这是一个广场N——- - - - - -N矩阵,N基函数的数量,也就是内部边缘结构的数量。考虑一个大型结构的场景像一架飞机或一艘船。典型的窄带天线大小半波偶极子或补丁,但是船只或飞机通常可以至少100波长或多个大小。解决电磁辐射或散射的影响的这种结构使用全波解算器,第一步是网状结构,然后形成了基函数。这样做会产生超过50000的三角形。由于内存需求的直接解算器是O (N²),在基函数空间,增长是图所示。

在下列条件下未知数的数目非常大:

高频率分析
结构精致的细孔网
身体大结构的分析

快速多极子方法(FMM)

加速度通过FMM算法由于其能力先后把问题细分成更小的空间区域,从而确保给定的源和目标集群足够遥远的交互使用多极展开计算。下图说明了这一点。

这种方法非常适合需要加快计算分离之间的相互作用对基函数,也就是说,源和目标偶极子对。确定电磁势的问题在一个给定的一组目标点在亥姆霍兹类型的问题可以表示为:

$u (r) = \sum_{n = 1}^{N} c_{n} \frac{经验值 (j k | r - r_{n} |)}{| r - r_{n} |} - v_{n} \cdot \nabla (\frac{经验值 (j k | r - r_{n} |)}{| r - r_{n} |})$

其中,c_n和v_n分别代表电荷的收集和偶极子的优点,k是波数,u (r)是潜在FMM计算的三维空间。

FMM加速计算的矩阵向量乘积显著加速计算点到点交互的格林函数。最初的表面电流和电荷分布目标决心通过引入这些系数回基函数扩张。分散或辐射场的目标包括雷达横截面上然后发现通过计算辐射的表面电流和费用需要点在空间。迭代的方法来确定一个矩阵逆是一个研究领域,建立了应用线性代数。解决各种各样的迭代中存在,广义最小残余(gmr)方法是一个著名的技术。天线工具箱使用这个迭代解算器。

电场积分方程(EFIE)

天线工具箱实现的直接解算器是基于EFIE。EFIE使用金属的表面电场的关系和在任何时候自由空间设置方程组。

$E_{t}^{年代} = - E_{t}^{我}$

$E^{年代} (r) = - j ω 一个 - \nabla φ$

该指数t在第一个的两个方程用于描述电场的切向分量在金属表面上,指数年代描述了散射场,和索引我表示事件字段。在第二个方程的关系分散领域所示的电动标量势φ和磁矢势A。

应用伽辽金方法,测试使用的基础函数会导致以下关键方程:

$j ω {\frac{l_{米}}{2} p_{米}^{+} (r_{米}^{+}) \cdot 一个 (r_{米}^{+}) + \frac{l_{米}}{2} p_{米}^{-} (r_{米}^{-}) \cdot 一个 (r_{米}^{-})} - {l_{米} φ (r_{米}^{+}) - l_{米} φ (r_{米}^{-})} = V_{米}$

$V_{米} = \frac{l_{米}}{2} p_{米}^{+} (r_{米}^{+}) \cdot E^{我} (r_{米}^{+}) + \frac{l_{米}}{2} p_{米}^{-} (r_{米}^{-}) \cdot E^{我} (r_{米}^{-})$

磁场积分方程(MFIE)

MFIE方程表达表面电流密度J (r)发达的身体金属物体在回答磁场激发。一个重要的观察是,第二项MFIE是确切的物理光学(PO)近似。这个方程抓住了一阶解阿宝近似,而第二项涉及积分抓住了全波效应,从而提供一个完整的解决方案。

MFIE可以仅适用于封闭的结构如盒子,球体,封闭的壳的飞机,等等。它不能被应用,例如,一条偶极子或单极天线。

$J (r) = 2 n (r) \times \int_{年代} J (r ”) \times \nabla_{r ”} \frac{经验值 (- j k | r - r ” |)}{4 π | r - r ” |} d r ” + 2 n (r) \times H^{我} (r)$

使用的搭配方法导致MFIE实现的方程:

$c_{米} - {我_{米} \cdot \sum_{n = 1}^{N_{f 一个 c e t 年代}} (\begin{matrix} 米_{1} \cdot \nabla \\ 米_{2} \cdot \nabla \\ 米_{3} \cdot \nabla \end{matrix}) \frac{经验值 (- j k | R_{米} - r_{n} |)}{4 π | R_{米} - r_{n} |}} = 我_{米}^{P O}$

$米_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ - 米_{z} \\ + 米_{y} \end{matrix}), 米_{2} = (\begin{matrix} + 米_{z} \\ 0 \\ - 米_{x} \end{matrix}), 米_{3} = (\begin{matrix} - 米_{y} \\ + 米_{x} \\ 0 \end{matrix}), 米 = 我_{n} r_{n}$

组合场积分方程(CFIE)

CFIE使用EFIE和MFIE所示的两个方程。α一词选为0.5和η= 376.3Ω阻抗是自由空间。

$α l H 年代 E_{米} + (1 - α) η l H 年代 H_{米} = α V_{米} + (1 - α) η 我_{米}^{P O}$

FMM解算器应用于计算方程左边。LHSE_米代表EFIE和左边LHSH_米代表MFIE的左边。

引用

[1]Flatironinstitute / FMM3D。Fortran 2018。再版,熨斗研究所,2021年。https://github.com/flatironinstitute/FMM3D。

[2]格林加德、L和V Rokhlin。“粒子模拟的快速算法。”计算物理学杂志73年,没有。2(1987年12月):325 - 48。https://doi.org/10.1016/0021 - 9991 (87) 90140 - 9。

[3]Rius JM, Ubeda E, Parron j .测试磁场积分方程的RWG基函数的矩量法。IEEE反式。天线和传播,AP-49卷,不。11日,页。1550 - 1553。

[4]Rao SM,威尔顿博士,Glisson哦。电磁散射表面的任意形状。IEEE反式。在天线和传播。1982年5月,30 (3):409 - 418。doi: 001 8 - 926 x / 82/0500-O409。