错向风险与Copula函数

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此示例显示了一种使用高斯Copula建模用于对方信用风险的错误风险的方法。

对抗对手信用风险的基本方法（CCR）（见交易对手信用风险和CVA假设市场和信用风险因素是相互独立的。对市场风险因素的模拟驱动了投资组合中所有合约的敞口。在另一个单独的步骤中，信用违约掉期(CDS)市场报价决定每个交易对手的违约概率。风险暴露、违约概率和给定的回收率被用来计算每个交易对手的信用价值调整(CVA)，这是预期损失的衡量标准。风险因素的模拟和违约概率的模拟是相互独立的。

在实践中，默认概率和市场因素是相关的。某些类型的仪器，对于其他类型的仪器来说，这种关系可能会忽略不计，但是，在计算风险措施时，市场和信用风险因素之间的关系可能太重要了。

当对手和特定合同所产生的曝光的违约概率往往会增加我们一起说，该合同有错向风险（WWR）。

这个例子演示了Garcia Cespedes等人所描述的错误风险方法的实现(见参考文献)。

曝光模拟

许多金融机构都有模拟市场风险因素的系统，并在给定的模拟日期对其投资组合中的所有工具进行估值。这些模拟被用来计算暴露和其他风险措施。由于模拟是计算密集型的，因此重用它们进行后续风险分析是很重要的。

本例使用的数据和仿真结果来自交易对手信用风险和CVA示例，先前保存在CCR.MAT文件中。CCR.MAT文件包含：

Ratespec.：当计算速度规范合同价值
定居:计算合同金额的结算日期
simulationDates:模拟日期向量
掉期交易：包含交换参数的结构
值:NUMDATESxnumcontract.xNUMSCENARIOS每个日期/场景的模拟合同值的立方体

此示例仅在一年的时间范围内查看预期损失，因此在模拟一年后裁剪数据。第一年的模拟日期为每月频率，因此第13次仿真日期是我们的一年时间视界（第一个模拟日期是结算日期）。

负载ccr.matonyearidx = 13;值=值（1：onyearidx，：，:);日期=模拟逻辑（1：onyearidx）;numscenarios =尺寸（值，3）;

信用曝光从模拟合同值计算。这些曝光是根据我们的一年时间视线的定期抵制每月信用曝光。

由于默认值可以在一年期间的任何时间发生，因此基于预期的正曝光（EPE）的想法，默认（EAD）的曝光是常见的。计算每个场景的时间平均曝光，称为PE（正曝光）。PE的平均值，包括所有场景，是EPE，也可以从中获得exposureprofiles函数。

正曝光矩阵PE.每个模拟场景包含一行，每个对手一列。这被用作我们分析中的EAD。

计算交易对手风险敞口[敞口，交易对手]=信用敞口(价值，互换)。交易对手,......“NettingID”，swaps.nettingid）;numcp = numel（交易对手）;计算每个场景的PE(时间平均曝光)intervalweights = diff（日期）/（日期（结束） - 日期（1））;exposuremidpoints = 0.5 *（曝光（1：ex-1，：，:) +暴露（2：结束，：:)）;加权协调= BSXFUN（@次，intervalweights，ExposureMidPoints）;PE =挤压（SUM（加权协调））';计算每个场景的总投资组合风险totalExp = (PE、2)之和;％PE和totalExp的显示尺寸谁PE.totalExp

名称大小字节Class属性PE 1000x5 40000 Double Total exp 1000x1 8000双倍

信用仿真

模拟信用违约的常见方法是基于“单因素模型”，有时也被称为“资产价值方法”(参见Gupton et al.， 1997)。这是模拟相关默认值的一种有效方法。

每个公司我是否与随机变量相关义,这样

$Y_{我} ＝ β_{我} Z + \sqrt{1 - β_{我}^{2}} ϵ_{我}$

在哪里Z是“单因素”，是一个标准的正常随机变量，代表系统的信用危险因素，其价值影响所有公司。公司之间的相关性我和公因子由下式给出beta_i，企业之间的相关性我和j是beta_i * beta_j．特殊的冲击epsilon_i是另一个可以减少或增加系统因素的效果的另一个标准常规变量，独立于任何其他公司发生的事情。

如果公司的默认概率我是PDi，则默认为

$Φ （ Y_{我} ） < P D_{我}$

在哪里 $Φ$ 为累积标准正态分布。

的义可变有时解释为资产回报，或有时被称为潜变量。

这个模型是一个高斯关联函数，它引入了信用违约之间的相关性。copula提供了一种特殊的方式来引入相关，或者更普遍地说，两个相互依赖未知的随机变量之间的相互依赖。

利用CDS息差来引导每个交易对手一年的违约概率。CDS报价来自《华尔街日报》使用的掉期投资组合电子表格交易对手信用风险和CVA的例子。

为每一交易对手进口CDS市场信息swapFile ='CVA交换-portfolio.xls'；cd = readtable (swapFile,'床单'，“CDS利差”）;cdsDates = datenum (cds.Date);cdsSpreads = table2array (cds(:, 2:结束));％Bootstrap每个交易对象的默认概率zeroData = [RateSpec.EndDates RateSpec.Rates];defProb =零（1，尺寸（cdsSpreads，2））;为i = 1：numel（defprob）probdata = cdsbootstrap（zerodata，[cdsdate cdsspreads（：，i）]，......定居，“probDates”、日期(结束));defProb (i) = probData (2);结束

现在模拟信贷场景。因为违约很少见，所以通常会模拟大量信贷场景。

敏感性参数bet被设置为0.3所有交易对手。这个值可以被校准或调整以探索模型的灵敏度。有关更多信息，请参阅参考资料。

numCreditScen = 100000;rng (“默认”）;% Z是单个信用因素Z = randn（numCreditScen，1）;%是特殊因素ε= randn (numCreditScen numCP);％beta是对信贷因素的对手敏感性的β= 0.3 *一（1，numCP）;％交易对手潜在变量Y = bsxfun（@倍，β，Z）+ bsxfun（@倍，SQRT（1  - β^ 2），ε）;％默认值指示符isDefault = bsxfun (@lt normcdf (Y), defProb);

相关暴露和信贷方案

现在有一套排序的投资组合曝光场景和一组默认方案，请遵循Garcia Cesdes等的方法。并使用高斯库格生成相关的曝光默认场景对。

定义潜在变量烨映射到模拟曝光的分布。烨被定义为

$Y_{e} ＝ ρ Z + \sqrt{1 - ρ^{2}} ϵ_{e}$

在哪里Z是信贷模拟中计算的系统因素，epsilon_e是一个独立的标准正态变量和ρ被解释为市场的信用相关参数。通过建设，烨是一个标准的正常变量相关Z与相关参数ρ．

之间的映射烨与模拟的风险要求我们为了以有意义的方式暴露场景的基础上，一些排序标准。该标准可以是任何有意义的量，例如，它可能是对合同值（如一个利率）底层的风险因素，总组合曝光，等等。

在本例中，使用总投资组合风险敞口(totalExp)作为风险敞口情景准则，将信用因素与总风险敞口关联起来。如果ρ是负的，低价值的信贷因素Z往往与高价值的烨，因此具有高的曝光。这意味着的负值ρ介绍WWR。

为了实现之间的映射烨还有暴露场景，把暴露场景分类totalExp价值观。假设的暴露场景的数量年代（numscenarios.）.鉴于烨，求值j这样

$\frac{j - 1}{年代} \leq. Φ （ Y_{e} ） < \frac{j}{年代}$

并选择方案j从分类的曝光方案。

烨与模拟曝光有关Z与模拟的默认值相关。的相关性ρ之间烨和Z因此，在曝光和信用模拟之间的相关链接。

%排序总曝光[〜，totalExpIdx] =排序（totalExp）;％场景切割点分割点= 0：1 / numScenarios：1;% epsilonExp是潜在变量的特殊因素epsilonExp = randn (numCreditScen, 1);％设置了市场信用相关值rho = -0.75;%潜变量y = rho * Z +根号(1 - rho^2) * epsilonExp;%找到相应的曝光场景binidx =离散化(normcdf(你们),割点);scenIdx = totalExpIdx (binidx);totalExpCorr = totalExp (scenIdx);PECorr = PE (scenIdx:);

下面的图显示了整体组合的曝光，以及第一个交易对手的相关曝光信贷方案。因为负相关，信贷因素的负值Z对应于高暴露水平(错误的风险)。

％我们只画出多达10000个场景numScenPlot = min(10000年,numCreditScen);图;散射(Z (1: numScenPlot) totalExpCorr (1: numScenPlot))在散射(Z (1: numScenPlot) PECorr (1: numScenPlot, 1)包含(“信贷因素(Z)”）ylabel（“曝光”） 标题（[“相关的曝光 - 信贷场景，\ rho ='num2str（rho）]）传奇（“总曝光”，“CP1曝光”） 抓住从

为正值时ρ，信用因素和风险暴露之间的关系是反向的(正确的风险)。

ρ= 0.75;y = rho * Z +根号(1 - rho^2) * epsilonExp;binidx =离散化(normcdf(你们),割点);scenIdx = totalExpIdx (binidx);totalExpCorr = totalExp (scenIdx);图;散射(Z (1: numScenPlot) totalExpCorr (1: numScenPlot))包含(“信贷因素(Z)”）ylabel（“曝光”） 标题（[“相关的曝光 - 信贷场景，\ rho ='num2str(ρ)))

对相关的敏感性

您可以探索暴露或其他风险措施对一系列值的敏感性ρ．

对于每个值ρ，计算每个信贷场景的总损失以及每个交易对手的预期损失。本示例假设恢复率为40%。

恢复= 0.4;rhovoves = -1：0.1：1;totallosses = zeros（numcreditscen，numel（rhovalues））;预期=零（numcp，numel（Rhovalues））;为i = 1:numel(rhoValues) rho = rhoValues(i);%潜变量y = rho * Z +根号(1 - rho^2) * epsilonExp;%找到相应的曝光场景binidx =离散化(normcdf(你们),割点);scenIdx = totalExpIdx (binidx);simulatedexposures = pe（scenidx，:);%根据风险暴露和违约事件计算实际损失损失= isDefault .* simulateexposure * (1-Recovery);totalLosses (:, i) =(损失,2)之和;我们计算每个交易对手的预期损失expectedLosses(:,我)=意味着(损失);结束displayExpectedLosses（rhoValues，expectedLosses）

预期损失的Rho CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 --------------------------------------------------1．0 604.10 260.44 194.70 1234.17 925.95-0.9 583.67 250.45 189.02 1158.65 897.91-0.8 560.45 245.19 183.23 1107.56 865.33-0.7 541.08 235.86 177.16 1041.39 835.12-0.6 521.89 228.78 170.49 991.70 803.22-0.5 502.68 217.30 165.25 926.92 774.27-0.4 487.15 211.29 160.80 881.03 746.15-0.3 471.17 203.55 154.79 828.90 715.63-0.2 450.91 197.53 149.33 781.81 688.13-0.1 433.87 189.75 144.37 744.00 658.19 0.0 419.20 181.25 138.76 693.26 630.38 0.1 399.36 174.41 134.83 650.66 605.89 0.2 385.21 169.86 130.93 617.91 579.01 0.3 371.21 164.19 124.62 565.78 552.83 0.4 355.57 158.14 119.92 530.79 530.19 0.5 342.58 152.10 116.38 496.27 508.86 0.6 324.73 145.42 111.90 466.57 485.05 0.7 319.18 140.76 108.14 429.48 465.84 0.8 303.71 136.13 103.95 405.88 446.36 0.9 290.36 131.54 100.20 381.27 422.79 1.0 278.89 126.77 95.77 358.71 405.40

您可以将经济资本（EC）的敏感性视为市场信用相关参数。将EC定义为百分位数之间的差异问损失的分布，减去预期损失。

负的ρ导致更高的资本要求，因为WWR。

PCT = 99;EC = prctile（totalLosses，PCT） - 平均（totalLosses）;图;图（rhoValues，EC）称号（“经济资本(99%)vs . rho”）xlabel（的ρ）;ylabel（“经济资本”）;

结语

此示例实现了基于Copula的WWR方法，然后追随Garcia Cesdes等。该方法可以有效地重用现有的曝光和信用仿真，并且可以有效地计算对市场信用相关参数的敏感性，并且可以针对所有相关值进行方便地可视化。

这里介绍的单参数Copula方法可以延长投资组合的全球财富报告进行更彻底的探索。例如，不同类型的连接函数的可应用，不同的标准可以被用来将暴露场景进行排序。其他扩展包括模拟多系统性信用风险变量（多因子模型），或者从一个为期一年的切换到多周期框架，计算等措施，信贷价值调整（CVA），如罗森和桑德斯（请参阅参考资料）。

参考文献

《巴塞尔协议II中错误路径风险、交易对手信用风险资本和阿尔法的有效建模》，《金融研究》，风险模型验证杂志，第4卷/第1期，第71-98，2010年春季。
Gupton，G.，C.手指，和M. Bathia，CreditMetrics™ - 技术文件，J.P. Morgan，纽约，1997年。
Rosen，D.和D. Saunders，“错误的方式，”杂志风险管理的金融机构， Vol. 5, No. 3, pp. 252-272, 2012。

本地函数

功能displayExpectedLosses (rhoValues expectedLosses)流('预期损失\ n'）;流(' Rho CP1 CP2 CP3 CP4 CP5\n'）;流(“-------------------------------------------------\ n”）;为I = 1：numel（rhoValues）％显示预期损失流('％.1f％9.2f％9.2f％9.2f％9.2f％9.2f'，rhoValues（i）中，expectedLosses（：，i））的;结束结束