概述

你可以解定点最小二乘矩阵方程 $$\mathrm{一个}X＝B$$使用QR分解。利用一系列正交变换，QR分解变换矩阵 $$\mathrm{一个}$$在上三角形的位置 $$R$$，并变换矩阵 $$B$$就地来 $C＝{问}^{”}B$,在那里 $$问R＝\mathrm{一个}$$为经济规模的QR分解。这将方程简化为一个上三角方程组 $$RX＝C$$．来解 $\mathit{X}$,计算 $$X＝R＼C$$通过反代入 $$R$$成 $$C$$．

可以为最小二乘矩阵方程确定适当的不动点类型 $$\mathrm{一个}X＝B$$通过根据您的要求定义的精度位数选择分数长度。的fixed.complexQRMatrixSolveFixedpointTypes函数解析地计算下面的上界 $$R＝{问}^{”}\mathrm{一个}$$， $$C＝{问}^{”}B$$, $$X$$确定避免溢出[1,2,3]所需的整数位数。

元素大小的上界 $$R＝{问}^{”}\mathrm{一个}$$是

$$\mathrm{马克斯}（|R（：）|）\le \sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|\mathrm{一个}（：）|）$$．

元素大小的上界 $$C＝{问}^{”}B$$是

$$\mathrm{马克斯}（|C（：）|）\le \sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|B（：）|）$$．

元素大小的上界 $$X＝\mathrm{一个}＼B$$是

$$\mathrm{马克斯}（|X（：）|）\le \frac{\sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|B（：）|）}{\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））}$$．

因为计算 $$\text{圣言会}（\mathrm{一个}）$$在计算上比解方程组更昂贵fixed.complexQRMatrixSolveFixedpointTypes函数估计的下界 $$\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））$$．

矩阵方程解的不动点类型 $$\mathrm{一个}X＝B$$通常是有界的，如果行数， $$米$$的, $$\mathrm{一个}$$比列数大得多， $$n$$(即。 $$米\gg n$$), $$\mathrm{一个}$$是满秩。如果 $$\mathrm{一个}$$本身不是满秩的，那么它可以通过添加随机噪声来实现。随机噪声自然出现在物理系统中，例如雷达或通信系统中的热噪声。如果 $$米＝n$$，则系统的动态范围可以是无界的，例如在标量方程中 $$x＝\mathrm{一个}/b$$而且 $$\mathrm{一个}，b\in ［-1，1］$$,然后 $$x$$可以任意大，如果 $$b$$接近于 $$0$$．

边界的证明

向量和矩阵规范的性质和定义

边界的证明使用下列性质和矩阵和向量规范的定义，其中 $$问$$是正交矩阵，和 $$v$$向量是长度的吗 $$米$$[6]。

如果 $$\mathrm{一个}$$是一个 $$米$$——- - - - - - $$n$$矩阵和 $$问R＝\mathrm{一个}$$经济规模的QR分解是 $$\mathrm{一个}$$,在那里 $$问$$是正交的 $$米$$——- - - - - - $$n$$而且 $$R$$是上三角形 $$n$$——- - - - - - $$n$$的奇异值 $$R$$等于的奇异值 $$\mathrm{一个}$$．如果 $$\mathrm{一个}$$非奇异吗

R = Q'A的上界

元素大小的上界 $$R$$是

$$\mathrm{马克斯}（|R（：）|）\le \sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|\mathrm{一个}（：）|）$$．

R = Q'A的上界证明

的 $$j$$的第Th列 $$R$$等于 $$R（：，j）＝{问}^{”}\mathrm{一个}（：，j）$$,所以

自 $$\mathrm{马克斯}（|R（：，j）|）\le \sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|\mathrm{一个}（：）|）$$对所有 $$1\le j$$,然后

C = Q'B的上限

元素大小的上界 $$C＝{问}^{”}B$$是

$$\mathrm{马克斯}（|C（：）|）\le \sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|B（：）|）$$．

C = Q'B上界的证明

的上界证明 $$C＝{问}^{”}B$$和的上界证明是一样的吗 $$R＝{问}^{”}\mathrm{一个}$$用 $$C$$为 $$R$$而且 $$B$$为 $$\mathrm{一个}$$．

X = A\B的上界

元素大小的上界 $$X＝\mathrm{一个}＼B$$是

$$\mathrm{马克斯}（|X（：）|）\le \frac{\sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|B（：）|）}{\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））}$$．

X = A\B的上界证明

如果 $$\mathrm{一个}$$那么不是满衔的吗 $$\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））＝0$$，如果 $$B$$不等于0，那么 $$\sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|B（：）|）/\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））＝\infty$$所以这个不等式成立。

如果 $$\mathrm{一个}$$那么是满级了 $$x＝R^{-1}（{问}^{”}b）$$．让 $$x＝X（：，j）$$是 $$j$$的第Th列 $$X$$, $$b＝B（：，j）$$是 $$j$$的第Th列 $$B$$．然后

自 $$\mathrm{马克斯}（|x（：）|）\le \sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|b（：）|）/\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））$$的所有行和列 $$B$$而且 $$X$$,然后

$$\mathrm{马克斯}（|X（：）|）\le \frac{\sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|B（：）|）}{\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））}$$．

最小值的下界(svd(A))

你可以估计一个下界 $$\mathrm{年代}$$的 $$\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））$$为复数 $$\mathrm{一个}$$用下面的公式，

在哪里 $${\sigma }_N$$的元素中是否加入了随机噪声的标准差 $$\mathrm{一个}$$， $$1-p_{\mathrm{年代}}$$概率是 $$\mathrm{年代}\le \mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））$$， $$\Gamma$$是γ功能, $${\gamma }^{-1}$$逆函数是不完全函数吗gammaincinv．

证明在[1]中找到。由[3]对引理3.4中的公式积分，重新排列项得到。

自 $$\mathrm{年代}\le \mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））$$的概率 $$1-p_{\mathrm{年代}}$$，那么你就可以限定元素的大小 $$X$$没有计算 $$\text{圣言会}（\mathrm{一个}）$$，

$$\mathrm{马克斯}（|X（：）|）\le \frac{\sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|B（：）|）}{\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））}\le \frac{\sqrt{米}\mathrm{马克斯}（|B（：）|）}{\mathrm{年代}}$$的概率 $$1-p_{\mathrm{年代}}$$．

你可以计算 $$\mathrm{年代}$$使用fixed.complexSingularValueLowerBound函数，该函数使用低于平均值5个标准差的默认概率， $$p_{\mathrm{年代}}＝（1+\text{小块土地}（-5/\sqrt{2}））/2\approx 2．8665\cdot 10^{-7}$$，也就是最小奇异值的估计界的概率 $$\mathrm{年代}$$小于的实际最小奇异值 $$\mathrm{一个}$$是 $$1-p_{\mathrm{年代}}\approx 0．9999997$$．

例子

这个例子用许多随机矩阵进行模拟，并将分析边界与的实际奇异值进行比较 $$\mathrm{一个}$$最大的元素 $$R＝{问}^{”}\mathrm{一个}$$， $$C＝{问}^{”}B$$, $$X＝\mathrm{一个}＼B$$．

定义系统参数

为本例定义矩阵属性和系统参数。

米矩阵中的行数是多少一个而且B．在波束形成或测向等问题中，米对应于被积分的样本数。

M = 300;

n矩阵的列数是多少一个矩阵中的行X．在最小二乘问题中，米大于n，通常米要比n．在波束形成或测向等问题中，n对应传感器个数。

N = 10;

p矩阵中的列数是多少B而且X．它对应于同时求解一个方程组p右手边。

P = 1;

在本例中，设置矩阵的秩一个小于列数。在波束形成或测向等问题中， $$\text{排名}（\mathrm{一个}）$$对应于撞击在传感器阵列上的信号数量。

rankA = 3;

precisionBits定义矩阵求解所需的精度比特数。请根据实际情况设置。

precisionBits = 24;

在这个例子中，是复值矩阵一个而且B元素的实部和虚部的大小都小于或等于1，那么任何元素的最大可能绝对值是多少 $$|1+1我|＝\sqrt{2}$$．您自己的系统需求将定义这些值是什么。如果你不知道它们是什么一个而且B都是定点输入到系统中，那么可以使用吗upperbound函数确定的定点类型的上界一个而且B．

max_abs_A是A的最大幅值元素的上界。

max_abs_A =√(2);

max_abs_B为B的最大幅值元素的上界。

max_abs_B =√(2);

热噪声标准差为热噪声功率的平方根，这是一个系统参数。设计良好的系统具有比热噪声低的量化水平。在这里,套thermalNoiseStandardDeviation相当于 $$-50$$分贝噪声功率。

thermalNoiseStandardDeviation =√(10^(-50/10))

thermalNoiseStandardDeviation = 0.0032

量化复信号的实部和虚部的噪声的标准偏差为 $$2^{-\text{precisionBits}}/\sqrt{6}$$(4、5)。使用fixed.complexQuantizationNoiseStandardDeviation函数来计算这个。看到它小于thermalNoiseStandardDeviation．

quantizationNoiseStandardDeviation = fixed.complexQuantizationNoiseStandardDeviation(precisionBits)

quantizationNoiseStandardDeviation = 2.4333e-08

计算定点类型

在本例中，假设所设计的系统矩阵 $$\mathrm{一个}$$没有满秩(感兴趣的信号比矩阵的列数少 $$\mathrm{一个}$$)，和测量的系统矩阵 $$\mathrm{一个}$$具有比量化噪声更大的附加热噪声。加性噪声构成被测矩阵 $$\mathrm{一个}$$拥有满军衔。

集 $${\sigma }_{\text{噪音}}＝{\sigma }_{\text{热}\text{噪音}}$$．

noiseStandardDeviation = thermalNoiseStandardDeviation;

使用fixed.complexQRMatrixSolveFixedpointTypes计算定点类型。

T = fixed.complexQRMatrixSolveFixedpointTypes(m,n,max_abs_A,max_abs_B，.．.precisionBits noiseStandardDeviation)

T =带字段的结构:答:[0x0嵌入。fi] B: [0x0嵌入式。fi] X: [0x0 embedded.fi]

T.A是否为转换计算类型 $\mathit{一个}$来 $\mathit{R}$放置到位，以免溢出。

T.A

ans = [] DataTypeMode: Fixed-point: binary point scaling signdness: Signed WordLength: 32 FractionLength: 24

肺结核是否为转换计算类型 $\mathit{B}$来 ${\mathit{问}}^{”}\mathit{B}$放置到位，以免溢出。

肺结核

ans = [] DataTypeMode: Fixed-point: binary point scaling signdness: Signed WordLength: 32 FractionLength: 24

T.X是否为解决方案计算了类型 $\mathit{X}＝\mathit{一个}＼\mathit{B}$所以它溢出的概率很小。

T.X

ans = [] DataTypeMode: Fixed-point: binary point scaling signdness: Signed WordLength: 37 FractionLength: 24

R和C=Q'B的上界

的上界 $$R$$而且 $$C＝{问}^{”}B$$都是用下面的公式计算的，在哪里 $$米$$矩阵的行数是多少 $$\mathrm{一个}$$而且 $$B$$．

这些上界用于选择具有所需精度位数的定点类型，以避免溢出。

upperBoundR =√(m)*max_abs_A

upperBoundR = 24.4949

upperBoundQB =√(m)*max_abs_B

upperBoundQB = 24.4949

复合物A的最小值(svd(A))的下界

的下界 $$\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））$$是由fixed.complexSingularValueLowerBound函数用一个概率来估计 $$\mathrm{年代}$$不大于实际的最小奇异值。违约概率比均值低5个标准差。属性的最后一个输入参数，可以更改此概率fixed.complexSingularValueLowerBound函数。

estimatedSingularValueLowerBound = fixed.complexSingularValueLowerBound(m,n,noiseStandardDeviation)

estimatedSingularValueLowerBound = 0.0389

模拟和比较计算边界

边界在模拟结果的一个数量级内。这就足够了，因为比特数转换为相对于值范围的对数刻度。在10的因子内是在3到4位之间。这是指定定点类型的一个很好的起点。如果你对更多的样本进行模拟，那么模拟结果更有可能更接近边界。本例使用有限数量的模拟，因此运行时间不会太长。对于真实的系统设计，您应该运行额外的模拟。

定义样本数，numSamples，在上面运行模拟。

numSamples = 1e4;

运行模拟。

[actualMaxR,actualMaxQB,singularValues,X_values] = runSimulations(m,n,p,rankA,max_abs_A,max_abs_B，.．.numSamples noiseStandardDeviation T);

你可以看到上界 $$R$$与实测模拟结果的最大值进行比较 $$R$$所有的运行都在一个数量级之内。

upperBoundR

upperBoundR = 24.4949

马克斯(actualMaxR)

Ans = 9.6720

你可以看到上界 $$C＝{问}^{”}B$$与实测模拟结果的最大值进行比较 $$C＝{问}^{”}B$$总体运行也在一个数量级之内。

upperBoundQB

upperBoundQB = 24.4949

马克斯(actualMaxQB)

Ans = 4.4764

的估计下界 $$\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））$$与实测的仿真结果相比较 $$\mathrm{最小值}（\text{圣言会}（\mathrm{一个}））$$总体运行也在一个数量级之内。

estimatedSingularValueLowerBound

estimatedSingularValueLowerBound = 0.0389

actualsmallstsingularvalue = min(singularValues，[]，“所有”）

actualsmallstsingularvalue = 0.0443

在所有模拟运行中绘制奇异值的分布。最大奇异值的分布对应于决定矩阵秩的信号。最小奇异值的分布与噪声相对应。最小奇异值的估计界的推导利用了噪声的随机性质。

clf fixed.example.plot.singularValueDistribution (m, n,蓝卡、noiseStandardDeviation.．.singularValues estimatedSingularValueLowerBound,“复杂”）;

放大到最小的奇异值，可以看到估计的边界接近它。

xlim ([estimatedSingularValueLowerBound * 0.9,马克斯(singularValues (n,:))));

估计解的最大值X，并将其与模拟运行期间发现的X的最大值进行比较。估计在实际值的一个数量级内，这对于估计一个定点数据类型是足够的，因为它在3到4位之间。

这个例子使用了有限的模拟运行次数。通过额外的模拟运行，X的实际最大值将接近X的估计值。

estimated_largest_X = fixed.complexMatrixSolveUpperBoundX(m,n,max_abs_B,noiseStandardDeviation)

estimated_largest_X = 629.3194

actual_largest_X = max(abs(X_values)，[]，“所有”）

actual_largest_X = 70.2644

绘制X值的分布，并将其与X的估计上界进行比较。

clf fixed.example.plot.xValueDistribution (m, n,蓝卡、noiseStandardDeviation.．.X_values estimated_largest_X,复正态分布随机）;

万博1manbetx支持功能

的runSimulations函数创建一系列随机矩阵 $$\mathrm{一个}$$而且 $$B$$的QR分解，并根据计算的类型对其进行量化 $$\mathrm{一个}$$，并解出方程 $$\mathrm{一个}X＝B$$．的最大值 $$R＝{问}^{”}\mathrm{一个}$$而且 $$C＝{问}^{”}B$$的奇异值 $$\mathrm{一个}$$的值 $$X$$所以它们的分布可以画出来并与边界进行比较。

函数[actualMaxR,actualMaxQB,singularValues,X_values] = runSimulations(m,n,p,rankA,max_abs_A,max_abs_B，.．.numSamples,noiseStandardDeviation,T) precisionBits = T.A.FractionLength;A_WordLength = T.A.WordLength;B_WordLength = T.B.WordLength;actualMaxR = 0 (1,numSamples);actualMaxQB = 0 (1,numSamples);singularValues = 0 (n,numSamples);X_values = 0 (n,numSamples);为j = 1:numSamples A = (max_abs_A/sqrt(2))*fixed.example.complexRandomLowRankMatrix(m,n,rankA);加上正态分布随机噪声，A是非奇异的。A = A + fixed.example.complexNormalRandomArray(0,noiseStandardDeviation,m,n);A = quantizennumeric (A,1,A_WordLength,precisionBits);B = fixed.example.complexUniformRandomArray(-max_abs_B,max_abs_B,m,p);B = quantizennumeric (B,1,B_WordLength,precisionBits);[Q,R] = qr(A,0);C = q '* b;X = r \ c;actualMaxR(j) = max(abs(R(:)));actualMaxQB(j) = max(abs(C(:)));singularValues(:，j) = svd(A); X_values(:,j) = X;结束结束

参考文献

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