一个焊接梁设计优化

开立真实脚本

该示例示出了如何检查光束的强度和成本之间的折衷。若干出版物使用本示例作为用于各种多目标算法，包括德布等人的测试问题。[1]和Ray和与Liew [2]。

有关此示例的视频概述，请参见多目标优化的帕累托集。

问题描述

下面的草图改编自Ray和Liew[2]。

这个草图表示焊接到衬底上的光束。梁支撑的负载万博1manbetxP在距离大号从衬底。梁被焊接到与上部和下部焊接衬底，每种长度的升和厚度H。梁具有矩形截面，宽度b，和高度Ť。梁的材料是钢。

这两个目标是梁的制造成本和梁的端部的所施加的载荷下挠曲P。负载P固定为6000磅，并且距离大号在被固定在14上。

设计变量为:

X（1）=H中，焊缝的厚度
X（2）=升中，焊缝的长度
X（3）=Ť中，光束的高度
x (4) =b中，光束的宽度

束的制造成本正比于材料在光束的量， $（升 + 大号） Ť b$ ，加上材料在焊缝的量， $升 H^{2}$ 。从被引论文使用比例常数，第一个目标是

$F_{1} （ X ） = 1 。 10471 X_{1}^{2} X_{2} + 0 。 04811 X_{3} X_{4} （ 14 + X_{2} ）。$

梁的挠度与。成正比P和成反比 $b Ť^{3}$ 。再次，使用所述比例常数从引用的论文，第二个目标是

$F_{2} （ X ） = \frac{P}{X_{4} X_{3}^{3}} C$ ,在那里 $C = \frac{4 （ 14 ）^{3}}{30 \times 1 0^{6}} \approx 3 。 6 五 87 \times 1 0^{- 4}$ 和 $P = 6 ， 000$ 。

这个问题有一些限制。

焊缝厚度不能超过射束宽度。在码元中，x（1）<= X（4）。在工具箱中的语法：

Aineq = [1,0,0，-1];bineq = 0;

的剪切应力 $τ （ X ）$ 在焊缝上不能超过13600 psi。为了计算剪应力，首先计算初步表达式:

$τ_{1} = \frac{1}{\sqrt{2} X_{1} X_{2}}$

$[R = \sqrt{X_{2}^{2} + （ X_{1} + X_{3} ）^{2}}$

$τ_{2} = \frac{（大号 + X_{2} / 2 ） [R}{\sqrt{2} X_{1} X_{3} （ X_{2}^{2} / 3 + （ X_{1} + X_{3} ）^{2}}$

$τ （ X ） = P \sqrt{τ_{1}^{2} + τ_{2}^{2} + \frac{2 τ_{1} τ_{2} X_{2}}{[R}} 。$

总之，在焊缝上的剪切应力具有约束 $τ （ X ）$ < = 13600。

正常的压力 $σ （ X ）$ 对焊缝不能突破3磅。正常应力 $P \frac{6 大号}{X_{4} X_{3}^{2}} \leq 30 \times 1 0^{3}$ 。
在垂直方向上的压曲载荷容量必须超过6000磅的施加载荷。使用杨氏模量的值 $Ë = 30 \times 1 0^{6}$ psi和 $G = 12 \times 1 0^{6}$ 即屈曲载荷约束为 $\frac{4 。 013 Ë X_{3} X_{4}^{3}}{6 {大号}^{2}} （ 1 - \frac{X_{3}}{2 大号} \sqrt{\frac{Ë}{4 G}} ） \geq 6000$ 。在数字上，这成为不平等 $64 ， 746 。 022 （ 1 - 0 。 0282346 X_{3} ） X_{3} X_{4}^{3} \geq 6000$ 。
在变量的边界是0.125 <= X（1）<= 5，0.1 <= X（2）<= 10，0.1 <= X（3）<= 10，和0.125 <= X（4）<= 5在工具箱中的语法：

磅= [0.125,0.1,0.1,0.125];UB = [5,10,10,5];

目标函数出现在本例末尾的函数中objval（x）的。非线性约束出现在本例末尾的函数中nonlcon（x）的。

多目标问题公式和`paretosearch`解

您可以优化几种方法解决此问题：

设置一个最大的挠度，并找到一个单目标最小制造成本的设计，满足最大挠度约束。
设置一个最大的制造成本，并找到了满足制造成本约束设计一个单目标极小偏差。
解决多目标的问题，可视化的两个目标之间的权衡。

利用多目标方法，通过设置目标函数和非线性约束函数，可以获得更多的问题信息。

有趣= @objval;nlcon = @nonlcon;

解决使用问题paretosearch与'psplotparetof'绘图功能。为了减少诊断显示信息的量，设置显示选项“关闭”。

opts_ps = optimoptions（'paretosearch'，“显示”，“关闭”，'PlotFcn'，'psplotparetof'）;RNG默认%的再现性[x_ps1，fval_ps1，〜，psoutput1] = paretosearch（乐趣，4，Aineq，bineq，[]，[]，LB，UB，nlcon，opts_ps）;

DISP（“总功能计数：”+ psoutput1.funccount）;

总功能计数：1320

对于平滑帕累托前，请尝试使用更多的积分。

NPTS = 160;％默认值为60opts_ps.ParetoSetSize = NPTS;[x_ps2，fval_ps2，〜，psoutput2] = paretosearch（乐趣，4，Aineq，bineq，[]，[]，LB，UB，nlcon，opts_ps）;

DISP（“总功能计数：”+ psoutput2.funccount);

总功能计数：4408

该解决方案看起来像平滑的曲线，但它具有的目的2更小的程度上使用160个帕累托点而不是60时，求解器接管三次许多功能评估。

`gamultiobj`解

要看求解器是否有作用，试试gamultiobj解算器的问题。组等效选项在以前的解决方案。由于gamultiobj求解器将不到一半的解保留在最佳帕累托前面，使用两倍于以前的点数。万博尤文图斯

opts_ga = optimoptions（'gamultiobj'，“显示”，“关闭”，'PlotFcn'，'gaplotpareto'，“族群大小”，2个* NPTS）;[x_ga1，fval_ga1，〜，gaoutput1] = gamultiobj（乐趣，4，Aineq，bineq，[]，[]，LB，UB，nlcon，opts_ga）;

DISP（“总功能计数：”+ gaoutput1.funccount);

总功能计数：33921

gamultiobj需要成千上万的函数计算paretosearch只需要成千上万。

比较方案万博尤文图斯

该gamultiobj解决方法似乎就是从不同paretosearch解决方案，虽然很难说，因为绘制的尺度不同。绘制在同一地块的两种解决方万博尤文图斯案，使用相同的规模。

fps2 = sortrows (fval_ps2 1“提升”）;身材保持上情节（FPS2（：，1），FPS2（：，2），'R-'）FGA =调用sortRows（fval_ga1,1，“提升”）;情节（FGA（：，1），FGA（：，2），'b--'）XLIM（[0,40]）ylim（[0,1e-2]）图例（'paretosearch'，'gamultiobj')包含'成本'ylabel'偏转'保持离

该gamultiobj解决方案在情节的最右边部分更好，而paretosearch解决方案是在最左边的部分更好。paretosearch使用更少的函数计算来获得它的解。

通常，当问题没有非线性约束时，paretosearch是至少为准确gamultiobj。然而，由此产生帕累托集可以有稍微不同的范围。在这种情况下，非线性约束的存在使得paretosearch溶液将超过该范围的部分不太准确。

其中一个主要优势paretosearch是，它通常需要少得多的功能评估。

从单一目标的解决方案开始万博尤文图斯

为了帮助解决者找到更好的解决方案，从那些对减少个体目标函数的解决万博尤文图斯方案，点启动它们。该pickindex函数从返回单个目标objval功能。用fmincon找到单目标最优解。然后使用这些解决方案作为初始点万博尤文图斯多目标搜索。

X0 =零（2,4）;X0F =（LB + UB）/ 2;opts_fmc = optimoptions（“fmincon”，“显示”，“关闭”，'MaxFunctionEvaluations'，1E4）;X0（1，:) = fmincon（@（X）pickindex（X，1），X0F，Aineq，bineq，[]，[]，LB，UB，@ nonlcon，opts_fmc）;X0（2，:) = fmincon（@（X）pickindex（X，2），X0F，Aineq，bineq，[]，[]，LB，UB，@ nonlcon，opts_fmc）;

检查单目标最优解。

objval（X0（1，:)）

ANS =1×22.3810 0.0158

: objval (x0 (2))

ANS =1×276.7253 0.0004

最小成本为2.381，偏转值为0.158。最小偏转为0.0004，成本为76.7253。绘制的曲线在其范围的末端非常陡峭，这意味着如果你的花费比最小值高一点，你会得到更少的偏差;如果你的花费比最小值高一点，你会得到更少的成本。

开始paretosearch从单一目标的解决方案。万博尤文图斯因为稍后您将在同一张图上绘制解，所以删除万博尤文图斯paretosearch绘图功能。

opts_ps。InitialPoints = x0;opts_ps。P升otFcn = []; [x_psx0,fval_ps1x0,~,psoutput1x0] = paretosearch(fun,4,Aineq,bineq,[],[],lb,ub,nlcon,opts_ps); disp(“总功能计数：”+ psoutput1x0.funccount）;

总功能计数:5024

开始GA从相同的初始点，并删除其绘图功能。

opts_ga.InitialPopulationMatrix = X0;opts_ga.PlotFcn = [];[〜，fval_ga，〜，gaoutput] = gamultiobj（乐趣，4，Aineq，bineq，[]，[]，LB，UB，nlcon，opts_ga）;DISP（“总功能计数：”+ gaoutput.funccount）;

总功能计数:46721

绘制在同一坐标的解万博尤文图斯决方案。

FPS =调用sortRows（fval_ps1x0,1，“提升”）;身材保持上情节(fps (: 1), fps (:, 2),'R-') fga = sortrows(fval_ga,1“提升”）;情节（FGA（：，1），FGA（：，2），'b--'）XLIM（[0,40]）ylim（[0,1e-2]）图例（'paretosearch'，'gamultiobj')包含'成本'ylabel'偏转'保持离

通过从单目标的解决方案开始，万博尤文图斯gamultiobj解决方案略优于paretosearch整个绘制范围的解决方案。然而，gamultiobj需要近十倍的功能评估，以达到其解决方案。

混合功能

gamultiobj可以调用混合功能fgoalattain自动以期达到更精确的解决方案。见混合功能是否提高了解决方案。

opts_ga.HybridFcn =“fgoalattain”;[xgah fval_gah, ~, gaoutputh] = gamultiobj (Aineq有趣,4日,bineq,[],[],磅,乌兰巴托,nlcon, opts_ga);DISP（“总功能计数：”+ gaoutputh.funccount);

总功能计数:45512

fgah = sortrows (fval_gah 1“提升”）;身材保持上情节(fps (: 1), fps (:, 2),'R-'）情节（FGA（：，1），FGA（：，2），'b--')情节(fgah (: 1) fgah (:, 2),'G-'）XLIM（[0,40]）ylim（[0,1e-2]）图例（'paretosearch'，'gamultiobj'，'gamultiobj / fgoalattain')包含'成本'ylabel'偏转'保持离

混合动力功能提供有关的轻微改善gamultiobj解决方案，主要是在情节的最左边部分。

跑`fgoalattain`从手动`paretosearch`解决方案分

虽然paretosearch没有内置式混合动力功能，可以提高paretosearch解决方案通过运行fgoalattain从paretosearch解决方案要点。创建目标和权重fgoalattain通过使用用于相同的设置fgoalattain中描述的gamultiobj混合函数。

FMAX = MAX（fval_ps1x0）;的NObj = numel（Fmax的）;FMIN =分钟（fval_ps1x0）;W =总和（（Fmax的 -  fval_ps1x0）./（1 +的Fmax  -  Fmin的），2）;P = W *（（Fmax的 -  fval_ps1x0）./（1 +的Fmax  -  Fmin的））;xnew =零（大小（x_psx0））;NSOL =尺寸（xnew，1）;fvalnew =零（NSOL，的NObj）;opts_fg = optimoptions（“fgoalattain”，“显示”，“关闭”）;NFV = 0;对于2 = 1: nsol xnew (ii):), fvalnew (ii):), ~, ~,输出]= fgoalattain(有趣,x_psx0 (ii):), fval_ps1x0 (ii):), p (ii):)...Aineq，bineq，[]，[]，LB，UB，nlcon，opts_fg）;NFV = NFV + output.funcCount;结束DISP（fgoalachieve函数计数:+ NFV）

fgoalattain功能计数：13350

fnew =调用sortRows（fvalnew，1，“提升”）;身材保持上情节(fps (: 1), fps (:, 2),'R-'）情节（FGA（：，1），FGA（：，2），'b--')情节(fgah (: 1) fgah (:, 2),'G-')情节(fnew (: 1) fnew (:, 2),'k.-'）XLIM（[0,40]）ylim（[0,1e-2]）图例（'paretosearch'，'gamultiobj'，'gamultiobj / fgoalattain'，'paretosearch / fgoalattain')包含'成本'ylabel'偏转'

的组合paretosearch和fgoalattain创建最精确Pareto前沿。放大看。

xlim([3.64 13.69]) ylim([0.00121 0.00442])持有离

即使有多余的fgoalattain计算，用于组合的总功能计数小于用于所述功能的计数的一半gamultiobj独自解决方案。

fprintf中（“为gamultiobj总功能数独是％d \ n”个+...“对于paretosearch和fgoalattain一起它是％d \ n”个，...gaoutput.funccount，NFV + psoutput1x0.funccount）

单是gamultiobj函数的总计数是46721。对于paretosearch和fgoal实现一起是18374。

从图中找到好的参数

绘制的点表示函数空间中的最佳值。为了确定哪些参数能够实现这些功能值，需要找到梁的尺寸和焊缝的尺寸，以获得特定的成本/挠度点。例如，的情节paretosearch其次是fgoalattain示出的点具有约6成本和大约3.5E-3的偏转。确定光束的尺寸和焊接该实现这些点。

whichgood =找到（fvalnew（：，1）<= 6＆fvalnew（：，2）<= 3.5E-3）;goodpoints =表（xnew（whichgood，:)，fvalnew（whichgood，:)，'VariableNames'{“参数”“目标”})

goodpoints =4×2表参数目标________________________________________ ___________________ 0.63457 1.5187 0.67261 10 0.0032637 5.6973 1.5708 0.61635 0.63165 10 0.0034754 5.391 0.63228 1.5251 10 0.6674 5.6584 0.0032892 0.65076 1.4751 0.70999 10 0.0030919 5.976

四组参数的实现成本小于6和挠度小于3.5e-3:

焊接于0.6略微厚度
约1.5焊缝长度
梁的高度10（上界）
光束0.63和0.71之间的宽度

目标和非线性约束

功能[Cineq，CEQ] = nonlcon（x）的标准差= 5.04e5 ./（X（：，3）^ 2 * X（：，4））;。P_C = 64746.022 *（1  -  0.028236 * X（：，3））* X（：，3）* X（：，4）^ 3;TP = 6e3./sqrt(2)./(x(:,1).*x(:,2））;TPP = 6e3./sqrt(2）*（14 + 0.5 * X（：，2））* SQRT（0.25 *（X（：，2）^ 2 +（X（：，1）+ X（：，3））^ 2））./（X（：，1）* X（：，2）*（X（：，2）^ 2/12 + 0.25 *（X（：，1）+ X（：，3））^ 2））;。tau蛋白= SQRT（TP ^ 2 + TPP ^ 2 +（X（：。。，2）* TP * TPP）./ SQRT（0.25 *（X（：，2）^ 2 +（X（:,。1）+ X（：，3））^ 2）））;Cineq = [tau蛋白 -  13600，西格玛 -  3e4,6e3  -  P_C];CEQ = [];结束功能F = objval f1 (x) = 1.10471 * x(: 1)。^ 2。* x(:, 2) + 0.04811 *(:, 3)。* x(:, 4)。* (14.0 + x (:, 2));f2 = 2.1952. / (x(:, 3)。^ 3。* x (:, 4));F = (f1、f2);结束功能z = pickindex(x,k)%评估两个目标Z = Z（k）的;％的回报目标K结束

参考文献

[1]德布，Kalyanmoy，J.孙大信，Udaya卜哈斯卡瑞饶嗯，和Shamik乔赫里。基于参考点多目标优化使用进化算法。《计算智能研究国际期刊》，第2卷第3期，2006年，第273-286页。可以在https://www.softcomputing.net/ijcir/vol2-issu3-paper4.pdf

[2]雷，T。和K. M.刘氏。一大群隐喻多目标优化设计。工程优化34,2002，页141 - 153。

一个焊接梁设计优化

问题描述

多目标问题公式和`paretosearch`解

`gamultiobj`解

比较方案万博尤文图斯

从单一目标的解决方案开始万博尤文图斯

混合功能

跑`fgoalattain`从手动`paretosearch`解决方案分

从图中找到好的参数

目标和非线性约束

参考文献

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提示和技巧-开始使用MATLAB优化

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