矩阵指数函数

开立真实脚本

该示例示出的19点的方式来计算矩阵的指数3。

关于矩阵指数的计算背景，请参阅：

Moler，C和C范贷款。“十九可疑的方法来计算一个矩阵的指数，25年后“。SIAM审查。卷。45，第1号，2003，第3-49。

通过创建一个矩阵开始一个。

A = [0 1 2;0.5 0 1;2 1 0]

A =3×30 1.0000 2.0000 0.5000 0 1.0000 2.0000 1.0000 0

Asave = A;

方法1：缩放和磨边

expmdemo1在书中11.3.1算法的实现：

戈卢布，基因H.和查尔斯·范贷款。矩阵计算，第3版。马里兰州巴尔的摩：约翰霍普金斯大学出版社，1996年。

％尺度的由2的乘方，以便其范数是<1/2。并[f，E] = LOG2（范数（A，'INF'））;S = MAX（0，E + 1）;A = A / 2 ^ S;％Pade逼近为EXP（A）X = A;C = 1/2;E =眼（尺寸（A））+ C * A;d =眼（尺寸（A）） -  C * A;Q = 6;P = 1;对于K = 2：Q C = C *（Q-K + 1）/（K *（2 * Q-K + 1））;X = A * X;CX = C * X;E = E + CX;如果p d = d + CX;其他d = d  -  CX;结束P =〜磷;结束E = d。\ E;％撤消缩放通过反复平方对于K = 1：发E = E * E;结束E1 = E

E1 =3×35.3091 4.0012 5.5778 2.8088 2.8845 3.1930 5.1737 4.0012 5.7132

方法2：泰勒系列

expmdemo2使用了经典的定义矩阵指数由幂级数给出

$Ë^{一个} = Σ_{ķ = 0}^{\infty} \frac{1}{ķ ！} {一个}^{ķ} 。$

${一个}^{0}$ 是具有相同的尺寸的单位矩阵 $一个$ 。作为一个实际的数值方法，这种方法是缓慢和不准确的，如果规范（A）过大。

A = Asave;％泰勒级数为EXP（A）E =零（尺寸（A））;F =眼（尺寸（A））;K = 1;而范数（E + F-E，1）> 0 E = E + F;F = A * F / K表;k = k + 1;结束E2 = E

E2 =3×35.3091 4.0012 5.5778 2.8088 2.8845 3.1930 5.1737 4.0012 5.7132

方法3：特征向量

expmdemo3假定矩阵拥有全套的特征向量 $V$ 这样 $一个 = VD V^{- 1}$ 。矩阵指数可以乘幂本征值的对角矩阵来计算：

$Ë^{一个} = V Ë^{d} V^{- 1} 。$

作为一个实际的数值方法，精度由本征向量矩阵的条件来确定。

A = Asave;[V，d] = EIG（A）;E = V * DIAG（EXP（DIAG（d）））/ V;E3 = E

E3 =3×35.3091 4.0012 5.5778 2.8088 2.8845 3.1930 5.1737 4.0012 5.7132

比较结果

对于本例中的矩阵，这三种方法同样有效。

E = expm（Asave）;ERR1 = E  -  E1

ERR1 =3×310^-14×0.3553 0.1776 0.0888 0.0888 0.1332 -0.0444 0 0 -0.2665

ERR2 = E  -  E2

ERR2 =3×310^-14×0 0 -0.1776 -0.0444 0 -0.0888 0.1776 0 0.0888

ERR3 = E  -  E3

ERR3 =3×310^-14×-0.7105 -0.5329 -0.7105 -0.6661 -0.5773 -0.8882 -0.7105 -0.7105 -0.9770

泰勒级数失败

对于一些矩阵在泰勒级数的条件变得非常大，他们去到零之前。所以，expmdemo2失败。

A = [-147 72;-192 93];E1 = expmdemo1（A）

E1 =2×2-0.0996 0.0747 -0.1991 0.1494

E2 = expmdemo2（A）

E2 =2×210⁶×-1.1985 -0.5908 -2.7438 -2.0442

E3 = expmdemo3（A）

E3 =2×2-0.0996 0.0747 -0.1991 0.1494

特征向量故障

这里是没有一套完整的特征向量的矩阵。所以，expmdemo3失败。

A = [-1 1;0 -1];E1 = expmdemo1（A）

E1 =2×20.3679 0.3679 0 0.3679

E2 = expmdemo2（A）

E2 =2×20.3679 0.3679 0 0.3679

E3 = expmdemo3（A）

E3 =2×20.3679 0 0 0.3679

也可以看看

expm

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