求解单个偏微分方程

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这个例子展示了如何制定、计算和绘制单个PDE的解决方案。

考虑偏微分方程

$π^{2} \frac{\partial u}{\partial t} ＝ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} ．$

方程是在区间上定义的 $0 \leq x \leq 1$ 为次 $t \geq 0$ ．在 $t ＝ 0$ 时，解满足初始条件

$u （ x ， 0 ）＝罪（ π x ）．$

同样,在 $x ＝ 0$ 而且 $x ＝ 1$ ，解满足边界条件

$u （ 0 ， t ）＝ 0 ，$

$π e^{- t} + \frac{\partial u}{\partial x} （ 1 ， t ）＝ 0 ．$

要在MATLAB®中求解这个方程，您需要对方程、初始条件和边界条件进行编码，然后在调用求解器之前选择一个合适的解网格pdepe．您可以将所需的函数作为本地函数包含在文件的末尾(如这里所做的)，或者将它们作为单独的命名文件保存在MATLAB路径的目录中。

代码方程

在编写方程式之前，需要将它改写成一种形式pdepe解算器的预期。标准形式pdepe预计是

$c （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ） \frac{\partial u}{\partial t} ＝ x^{- 米} \frac{\partial}{\partial x} （ x^{米} f （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）） + 年代（ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）$ ．

在这种形式下，PDE变成

$π^{2} \frac{\partial u}{\partial t} ＝ x^{0} \frac{\partial}{\partial x} （ x^{0} \frac{\partial u}{\partial x} ） + 0$ ．

有了正确形式的方程式，你可以读出相关的项:

$米＝ 0$

$c （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）＝ π^{2}$

$f （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）＝ \frac{\partial u}{\partial x}$

$年代（ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）＝ 0$

现在您可以创建一个函数来编码这个方程。函数应该具有签名[c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,dudx)：

x为独立空间变量。
t是独立时间变量。
u因变量是否被求导x而且t．
dudx是空间偏导数吗 $\partial u / \partial x$ ．
输出c，f,年代所期望的标准偏微分方程形式中的系数pdepe．这些系数是根据输入变量编码的x，t，u,dudx．

因此，本例中的方程可以用函数表示:

函数[c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,dudx) c = pi^2;F = dudx;S = 0;结束

(注意:在示例的最后，所有函数都作为局部函数包含在内。)

代码初始条件

接下来，编写一个返回初始条件的函数。初始条件应用于第一个时间值tspan (1)．函数应该具有签名U0 = pdex1ic(x)．

对应的函数为

函数U0 = pdex1ic(x) U0 = sin(pi*x);结束

代码边界条件

现在，写一个计算边界条件的函数。对于在间隔上提出的问题 $一个 \leq x \leq b$ ，所有的边界条件都适用 $t$ ,要么 $x ＝一个$ 或 $x ＝ b$ ．求解器所期望的边界条件的标准形式为

$p （ x ， t ， u ） + 问（ x ， t ） f （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）＝ 0 ．$

用这个标准形式重写边界条件，并读出系数值。

为 $x ＝ 0$ ，方程为

$u （ 0 ， t ）＝ 0 \to u + 0 \cdot \frac{\partial u}{\partial x} ＝ 0 ．$

系数为:

$p （ 0 ， t ， u ）＝ u$
$问（ 0 ， t ）＝ 0$

为 $x ＝ 1$ ，方程为

$π e^{- t} + \frac{\partial u}{\partial x} （ 1 ， t ）＝ 0 \to π e^{- t} + 1 \cdot \frac{\partial u}{\partial x} （ 1 ， t ）＝ 0 ．$

系数为:

$p （ 1 ， t ， u ）＝ π e^{- t}$
$问（ 1 ， t ）＝ 1$

因为边界条件函数表示为 $f （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）$ ，并且这一项已经在主PDE函数中定义了，你不需要在边界条件函数中指定这一部分方程。您只需指定的值 $p （ x ， t ， u ）$ 而且 $问（ x ， t ）$ 在每个边界上。

边界函数应该使用函数签名[pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)：

输入xl而且ul对应于 $u$ 而且 $x$ 对于左边界。
输入xr而且你的对应于 $u$ 而且 $x$ 为了正确的边界。
t是独立时间变量。
输出pl而且ql对应于 $p （ x ， t ， u ）$ 而且 $问（ x ， t ）$ 对于左边界( $x ＝ 0$ 对于这个问题)。
输出公关而且qr对应于 $p （ x ， t ， u ）$ 而且 $问（ x ， t ）$ 对于正确的边界( $x ＝ 1$ 对于这个问题)。

本例中的边界条件用函数表示:

函数[pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t) pl = ul;Ql = 0;Pr = PI * exp(-t);Qr = 1;结束

选择解决方案网格

在求解方程之前，你需要指定网格点 $（ t ， x ）$ 你想要pdepe评估解决方案。将点指定为向量t而且x．向量t而且x在求解器中扮演不同的角色。特别是，求解的成本和精度很大程度上取决于向量的长度x．然而，计算对矢量中的值不太敏感t．

对于这个问题，在空间间隔[0,1]中使用20个等间距点的网格和的5个值t从时间区间[0,2]。

X = linspace(0,1,20);T = linspace(0,2,5);

解决方程

最后，利用对称性解方程米的PDE方程，初始条件，边界条件，网格x而且t．

M = 0;Sol = pdepe(m，@pdex1pde，@pdex1ic，@pdex1bc,x,t);

pdepe返回3-D数组中的解索尔,在那里索尔(i, j, k)接近k解的第Th分量 $u_{k}$ 评估在t(我)而且x (j)．的大小索尔是长度(t)——- - - - - -长度(x)——- - - - - -长度(情况),因为情况为每个解决方案组件指定初始条件。对于这个问题，u只有一个成分，所以呢索尔是一个5 × 20的矩阵，但通常你可以提取k解决方案组件的命令U = sol(:，:，k)．

提取第一个解组件索尔．

U = sol(:，:，1);

策划解决方案

绘制解的曲面图。

冲浪(x, t, u)标题(“用20个网格点计算的数值解”)包含(“距离x”) ylabel (“t”）

图中包含一个axes对象。用20个网格点计算的数值解包含一个曲面类型的对象。

选取该问题的初始条件和边界条件，使其有解析解

$u （ x ， t ）＝ e^{- t} 罪（ π x ）．$

画出具有相同网格点的解析解。

冲浪(x, t, exp (- t)‘* sin(π* x))标题(“用20个网格点绘制的真实解”)包含(“距离x”) ylabel (“t”）

图中包含一个axes对象。标题为True solution的axis对象由20个网格点绘制，包含一个类型为surface的对象。

现在，比较数值解和解析解万博尤文图斯 $t_{f}$ 的最终值 $t$ ．在这个例子中 $t_{f} ＝ 2$ ．

情节(x, u(最终,:),“o”, x, exp (- t(结束))* sin(π* x))标题(' t = 2处的解')传说(“数值，20网格点”，“分析”，“位置”，“南”)包含(“距离x”) ylabel (“u (x, 2)”）

图中包含一个axes对象。标题为解在t = 2的axes对象包含两个类型为line的对象。这些对象表示数值，20网格点，分析。

本地函数

这里列出了PDE求解器pdepe调用的本地帮助函数来计算解决方案。或者，您可以将这些函数作为它们自己的文件保存在MATLAB路径下的一个目录中。

函数[c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,dudx)%待解方程C = ^2;F = dudx;S = 0;结束%----------------------------------------------函数U0 = pdex1ic(x)%初始条件U0 = sin(*x);结束%----------------------------------------------函数[pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)边界条件Pl = ul;Ql = 0;Pr = PI * exp(-t);Qr = 1;结束%----------------------------------------------

另请参阅

pdepe