对产品组合优化的二次编程，基于问题

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这个例子展示了如何使用基于问题的方法来解决投资组合优化问题。有关基于求解器的方法，请参见投资组合优化问题的二次规划，基于求解器．

二次模型

假设一个投资组合包含 $ n $ 不同的资产。资产收益率我美元是带有期望值的随机变量吗 $ m_i $ ．问题是找到什么小部分 $ x_i $ 投资每种资产为了使风险最小化，在规定最低期望收益率的前提下。

让美元加元表示资产收益率的协方差矩阵。

经典的均值-方差模型由最小化投资组合风险组成

$\ frac {1} {2} x ^ t c x$

受一组约束的。

预期回报率应不低于投资组合的最低回报率 r美元这是投资者的愿望，

$$ \ sum_ {i = 1} ^ n m_i \;通用电气x_i \ r, $$

投资分数的总和 $ x_i $ 总数应该是1，

$\ sum_ {i = 1} ^ n x_i = 1，$

作为分数(或百分比)，它们应该是0到1之间的数字，

$0 \ Le X_I \ LE 1，\; \; \;我= 1 \ ldots n。$

由于目标最小化投资组合风险是二次的，并且约束是线性的，因此得到的优化问题是二次程序或QP。

225 -资产问题

现在我们来解含225个资产的QP。数据集来自OR-Library [Chang, T.-J.]那Meade, N., Beasley, J.E. and Sharaiha, Y.M., "Heuristics for cardinality constrained portfolio optimisation" Computers & Operations Research 27 (2000) 1271-1302].

我们加载数据集，然后为基于问题的方法设置约束。在这个数据集中是回报率 $ m_i $ 范围为-0.008489 ~ 0.003971;我们选择一个期望的回报 r美元在两者之间，例如，0.002（0.2％）。

加载存储在mat文件中的数据集。

加载（'port5.mat'那'相关性'那“stdDev_return”那'意思是_return'）

由相关矩阵计算协方差矩阵。

协方差= Correlation .* (stdDev_return * stdDev_return');nAssets =元素个数(mean_return);r = 0.002;％资产数量和期望的回报

创建优化问题，目标和约束

为最小化创建一个优化问题。

portprob = OptimProblem;

创建一个优化向量变量“x”与nAssets元素。这个变量表示投资于每种资产的财富比例，所以应该在0到1之间。

x = optimvar (“x”nAssets,下界的0,'上行'1);

目标函数是协方差1/2 * x ' * * x．将此目标包括在问题中。

协方差目标= 1/2 * x ' * * x;portprob。目标=目标;

变量和是1，意味着整个投资组合被投资。将其表示为约束，并将其置于问题中。

Sumcons = sum(x) == 1;portprob.Constraints.sumcons = sumcons;

平均回报必须大于R.．将其表示为约束，并将其置于问题中。

= dot(mean_return,x) >= r;portprob.Constraints.averagereturn = averagereturn;

解决225 -资产问题

设置一些选项，并调用求解器。

设置选项来打开迭代显示，并设置更严格的最佳终止容忍度。

选择= optimoptions (“quadprog”那“显示”那“通路”那“TolFun”，1E-10）;

调用求解器和测量时钟时间。

Tic [x1,fval1] = solve(portprob，“选项”、选择);toc

ITER FVAL原始Infeas双Infeas互补0 7.212813e + 00 1.227500e + 02 1.195948e + 00 2.217295e-03 8.160874e 1-04 3.615084e-01 3.522160e-03 2.250524e-05 7.220766e 2-04 3.592574e-013.378157E-05 3 4.309434E-04 9.734292S-04 2.790551C-04 4.734292C-04 4.734300C-04 5.551115C-04 5.551115CE-16 7.771561C-16 7.771561C-16 7.771561C-16 4.242216CE-16 4.2422160-16 4.242216CE-06 5 4.719034E-04-16 3.122502E-16 8.002618C-07 6 3.587475E-16 3.440892C-16 3.035766E-18 3.677066C-18 3.131814CE-04 8.8817890-16 3.686287E-18 9.586287E-18 9.586695C-18 9.586695E-18 9.586695E-18 9.586695E-08 8 2.760174C-08 8 2.770174E-04 7.7715612-16 1.463673E-18 1.521063E-08 9 2.345751E-04 1.110223E-15 1.138412C-18 4.1096080-09 10 2.096080-04 1.222450-15 1.08425E-15 1.084202O-18 6.423267E-18 6.423267E-09 11 1.961775E-04 1.110223 1.110223E-16 9.757820E-19 6.068329E-10 12 1.949281E-04 4.440892C-16 9.215718E-19 4.279951E-12 4.279951E-12满足约束的最小值。优化完成是因为目标函数在可行方向上是不递减的，到最优公差的值以内，并且约束满足到约束公差的值以内。经过时间为0.292806秒。

阴谋的结果。

plotPortfDemoStandardModel (x1.x)

225组约束的资产问题

我们现在在模型组中添加了限制条件，要求30%的投资者资金必须投资于资产1到75,30%投资于资产76到150,30%投资于资产151到225。每一组资产都可以是不同的行业，例如技术、汽车和制药。捕获这个新需求的约束是

$$ \ sum_ {i = 1} ^ {75} x_i \通用电气0.3 \ qquad $ $ & # xA; $ $ \ sum_{我= 76}^ {150}x_i \通用电气0.3 \ qquad $ $ & # xA; $ $ \ sum_{我= 151}^ {225}x_i \通用电气0.3,$$

将组约束添加到现有平衡。

GRP1 = SUM（x（1:75））> = 0.3;GRP2 = SUM（x（76：150））> = 0.3;GRP3 = SUM（x（151：225））> = 0.3;portprob.constraints.grp1 = grp1;portprob.constraints.grp2 = grp2;portprob.constraints.grp3 = grp3;

调用求解器和测量时钟时间。

tic [x2，fval2] =求解（portprob，“选项”、选择);toc

ITER FVAL PRIMAL INFEAS双INFEAS互补0 7.212813E + 00 1.227500E-02 3.539920E-01 5.2539920E-03 1 7.004556E-03 2.901399C-03 2.901399C-03 2.901399C-03 2.207460E-03 2.207460E-03 2 9.1819620-04 4.095630E-04 4.095630E-04 4.095630E-04 4.095630E-04 4.095630E-04 4.095630E-04 4.095630E-04 4.095630E-04 4.095630E-011.181116E-03 3.749424E-04 3 7.515047E-04 3.567918E-01 1.028932E-01 1.486333E-04 4.238333E-04 4.238333E-04 9.005778C-04 9.005778E-02 2.597127E-04 1.6077127E-04 1.607718E-04 5 3.695008E-04 1.907718E-04 5 3.695008E-04 3.695008E-04 1.907718E-04 5 3.695008E-04 3.695008E-04-04 5.507829E-07 1.3418829E-05 6 3.691407E-04 6.146337E-07 1.772508C-09 6.817457E-09 6.817457E-09 7.010636C-04 7.691892C-04 7.691836E-04 7.691892C-08 2.2181892C-08 2.218223E-10 1.837302C-10 1.837302E-08 8 2.669065E-04 1.088252-04-08 3.138350E-11 5.474712E-09 9 2.195767E-04 8.122574C-10 2.342425C-12 2.814320E-08 10 2.102910E-04 2.839773E-10 8.189773C-10 8.189470E-13 1.037476C-08 11 2.060985C-04E-11 1.936133E-13 2.876950E-09 12 2.015107E-04 0.000000E + 00 8.131516E-19 1.522226E-19 1.522226E-10 13 2.009670E-04 4.440892C-16 8.673617E-19 5.264375E -13最低限度发现约束。优化完成是因为目标函数在可行方向上是不递减的，到最优公差的值以内，并且约束满足到约束公差的值以内。经过时间为0.162406秒。

绘图结果，叠加在前一个问题的结果上。

plotPortfDemoGroupModel (x1.x x2.x);

到目前为止的结果摘要

我们从第二个条形图中看到，由于额外的组约束，投资组合现在比第一个投资组合更均匀地分布在三个资产组中。这种施加的多样化也导致风险略有增加，如目标函数（参见标记为“F（x）”的迭代显示中的迭代显示中的迭代迭代）所测量的风险。

使用随机数据的1000资产问题

为了展示求解器在一个更大的问题上的行为，我们将使用一个拥有1000个资产的随机生成数据集。我们生成一个随机相关矩阵(对称的，正半正定的，在对角线上的)使用画廊在MATLAB®。

重置随机流以进行再现性。

RNG（0，'twister'）;nAssets = 1000;%所需资产数量

创建随机数据

在-0.1和0.4之间产生平均回报。

a = -0.1;B = 0.4;mean_return = a +（b-a）。* rand（尼索特，1）;r = 0.15;%想要回报

在0.08和0.6之间产生返回的标准偏差。

一个= 0.08;b = 0.6;stdDev_return = a + (b-a).*rand(nAssets,1);

加载相关矩阵，使用相关性=画廊（'randcorr'，尼索特）．(生成这种大小的相关矩阵需要一段时间，所以加载预生成的矩阵。)

加载（“correlationMatrixDemo.mat”那'相关性'）;

由相关矩阵计算协方差矩阵。

协方差= Correlation .* (stdDev_return * stdDev_return');

创建优化问题，目标和约束

为最小化创建一个优化问题。

portprob2 = OptimProblem;

创建优化向量变量“x”与nAssets元素。

x = optimvar (“x”nAssets,下界的0,'上行'1);

将目标函数纳入问题。

协方差目标= 1/2 * x ' * * x;portprob2。目标=目标;

包含变量之和为1且平均收益率大于的约束条件R.．

Sumcons = sum(x) == 1;portprob2.Constraints。sumcons = sumcons;= dot(mean_return,x) >= r;portprob2.Constraints。averagereturn = averagereturn;

解决1000 -资产问题

调用求解器和测量时钟时间。

Tic x3 = solve(portprob2，“选项”、选择);toc

Iter Fval Primal infas Dual infas互补性0 2.142849e+01 5.490000e+02 3.031839e+00 5.210929e-03 1 9.378552e-03 6.439102e+00 3.555978e-02 6.331676e-04 2 1.128129e-04 3.705915e-03 2.046582e-05 1.802721e-05 3 1.118804e-04 1.85295e -06 1.023291e-08 1.170562e-07 4 8.490176e-05 7.224702e -10 7.048637e-09 3.364597e-05 4.440892e-163.062871e-18 1.037370e-09 6 1.980189e-05 2.220446e-16 8.876905e-19 8.465558e-11找到满足约束的最小值。优化完成是因为目标函数在可行方向上是不递减的，到最优公差的值以内，并且约束满足到约束公差的值以内。经过时间是0.913357秒。