旅行推销员问题：基于求解器

打开生活的脚本

这个例子展示了如何使用二进制整数规划来解决经典的旅行商问题。这个问题涉及到找到通过一组站点(城市)的最短的封闭旅行(路径)。在这种情况下有200个站点，但是你可以很容易地换nstops.变量得到不同的问题大小。您将解决初始问题，并看到解决方案具有子图。这意味着找到的最佳解决方案不会给出贯穿所有点的连续路径，而是有几个不相连的循环。然后，您将使用一个迭代过程来确定子团，添加约束，并重新运行优化，直到子团被消除。

有关基于问题的方法，请参见旅行推销员问题：基于问题。

问题制定

制定用于整数线性编程的旅行推销员问题，如下所示：

生成所有可能的行程，即所有不同的站点。
计算每次行程的距离。
最小化的成本函数是旅游中每次旅行的旅行距离的总和。
决策变量是二进制的，并且与每个旅程相关联，其中每个1表示巡回演出中存在的行程，每个0表示不在旅游时的行程。
为确保游览包括每个停止，包括每个停止都在恰好两次旅行的线性约束。这意味着一个到达，一个到达停止。

生成停止

生成随机停止内的一个粗糙的多边形代表美国大陆

加载（'usborder.mat'那“x”那“y”那“xx”那“yy”）;RNG（3，'twister'）%绘制以缅因州和佛罗里达州为终点的图，且可重现nStops = 200;你可以用任何数字，但是问题的规模是N^2stopsLon = 0 (nStops, 1);％分配NSTOPS的X坐标stopslat = stopslon;％allocate y-cocordinatesn = 1;而（n <= nstops）xp = rand * 1.5;yp = rand;如果Inpolygon（XP，YP，X，Y）在边框内时％测试stopsLon (n) = xp;stopsLat (n) = yp;n = n + 1;结尾结尾

计算点间距离

因为有200个站点，所以有19,900个行程，这意味着19,900个二进制变量(# variables = 200 choose 2)。

生成所有的行程，即所有对的站点。

IDXS = NCHOOSEK（1：NSTOPS，2）;

计算所有的旅行距离，假设地球是平的，以使用勾股定理。

dist = hypot(stopsLat(idxs(:，1)) - stopsLat(idxs(:，2))，......stopsLon (idx(: 1))——stopsLon (idx (:, 2)));lendist =长度(经销);

有了这个定义经销矢量，旅游的长度是

dist”* x_tsp

在哪里x_tsp是二元解向量。这是你要尽量缩短的行程。

创建图形和绘制地图

用图表表示问题。创建一个图，其中终点是节点，行程是边。

图G = (idx (: 1), idx (:, 2));

使用图形绘图显示停止。绘制没有图形边缘的节点。

figure hGraph = plot(G，'xdata'stopsLon,“YData”，stopslat，“线型”那'没有任何'那“NodeLabel”, {});抓住在％绘制外界情节(x, y,'r-')举行从

约束

创建每个停止有两个相关旅行的线性约束，因为必须有每个停止行程和行程离开每个站点。

AEQ = spalloc（nstops，长度（Idxs），nstops *（nstops-1））;％分配稀疏矩阵为了i = 1:nStops which hidxs = (idxs == ii);找出包括站ii的行程哪个XS =稀疏（SUM（WHENIDX，2））;%包括ii在两端的行程AEQ（II，:) = andidxs';%包含在约束矩阵中结尾BEQ = 2 *那些（NSTOPS，1）;

二元界限

所有决策变量都是二进制的。现在,设置Intcon.参数到判定变量的数量，在每个界限上放置0的下限，并且上限为1。

INTCON = 1：贷款人;LB =零（贷款人，1）;UB =（贷款人，1）;

优化使用intlinprog

问题已准备好解决方案。要抑制迭代输出，请关闭默认显示。

opts = Optimoptions（“intlinprog”那“显示”那“关闭”）;[X_TSP，COSTOPT，EXITFLAG，输出] = INTLINPROG（DEST，INTCON，[]，[]，AEQ，BEQ，LB，UB，OPTS）;

创建一个以解决方案行程为边的新图形。为了做到这一点，在某些值不是精确整数的情况下，将解决方案舍入，并将结果值转换为逻辑。

X_TSP =逻辑（圆形（X_TSP））;GSOL = Graph（IDXS（X_TSP，1），IDXS（X_TSP，2），[]，NUMNODES（G））;% Gsol = graph(x_tsp,1)，idxs(x_tsp,2));%也适用于大多数情况

可视化解决方案

抓住在突出(hGraph Gsol,“线型”那' - ')标题('与副表的解决方案'）

从地图上可以看出，这个解决方案有几个分支。到目前为止指定的约束并没有阻止这些subtour发生。为了防止任何可能的subtour发生，你将需要大量的不等式约束。

子我们的限制

因为您不能添加所有的子域约束，所以采用迭代方法。检测当前解决方案中的子图，然后添加不等式约束以防止发生这些特定的子图。通过这样做，您可以在几次迭代中找到一个合适的旅行。

消除不等式约束的子学会。如果您在子台议会中有五个点，那么这是一个例子，那么你有五行连接这些点来创建子。通过实现不等式约束来说明这五点之间必须小于或等于四行，从而消除此子流。

更重要的是，找到这五个点之间的所有直线，并限制解中出现的直线不超过四条。这是一个正确的约束，因为如果一个解中存在5条或更多的直线，那么这个解就会有一个subtour(带有 $N.$ 节点和 $N.$ 边缘总是包含一个循环）。

通过识别连接的组件来检测子流量Gsol，用当前解决方案中的边构建的图。conncomp返回一个带有每条边所属子圈数的向量。

TouriDXS = Conncomp（GSOL）;numtours = max（touridxs）;％子台楼数fprintf（# of subtours: %d\n', numtours);

辅导团:27

包括线性不等式约束来消除子流，并反复调用求解器，直到只需一个子电台。

a = spalloc（0，lendist，0）;％分配稀疏线性不等式约束矩阵b = [];而numtours> 1％重复，直到只有一个子系统％添加子大楼约束b = [b; 0 (numtours, 1)];％分配B.a = [a; spalloc（numtours，lendist，nstops）];要分配多少个非0为了numtours rowIdx = size(A,1) + 1;%用于索引的计数器subtouridx =查找（touridxs == ii）;％提取当前的子大厅的关联的所有变量%特定子游，然后添加不等式约束来禁止%该支线和所有使用这些站点的支线。变化= nchoosek(1:长度(subTourIdx), 2);为了var = (sum(idxs==subTourIdx(variations(jj,1))，2)) &......(和(idx = = subTourIdx(变化(jj, 2)), 2));(rowIdx whichVar) = 1;结尾b（rowidx）=长度（subtouridx） -  1;比短途旅行少一站结尾再次尝试优化[X_TSP，COSTOPT，EXITFLAG，输出] = INTLINPROG（DEST，INTCON，A，B，AEQ，BEQ，LB，UB，OPTS）;X_TSP =逻辑（圆形（X_TSP））;GSOL = Graph（IDXS（X_TSP，1），IDXS（X_TSP，2），[]，NUMNODES（G））;% Gsol = graph(x_tsp,1)，idxs(x_tsp,2));%也适用于大多数情况%可视化的结果rugk.linestyle =.'没有任何';％删除先前突出显示的路径突出(hGraph Gsol,“线型”那' - ') drawnow％这次有多少子流？TouriDXS = Conncomp（GSOL）;numtours = max（touridxs）;％子台楼数fprintf（# of subtours: %d\n'，numtours）结尾

辅导团数量:20

#副图:7

辅导团:9

辅导团:9

# of subtours: 3

# of subtours: 2

#副图:7

# of subtours: 2

# subtours: 1

标题('消除了副表的解决方案'）;抓住从

解决方案质量

该解决方案代表了可行的巡演，因为它是单个闭环。但这是一个最低的成本之旅吗？一个方法可以检查输出结构。

disp（output.absolutegap）

0.

绝对隙的小于意味着解决方案是最佳的，或者具有接近最佳的总长度。