平方域上的波动方程

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此示例演示如何使用solvepde功能。

标准的二阶波动方程是

$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot \nabla u = 0 .$

要以工具箱的形式表示这一点，请注意solvepde函数解决了表单的问题

$m \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \nabla u) + 一 u = f .$

所以标准波动方程有系数 $m = 1$ , $c = 1$ , $一 = 0$ ，及 $f = 0$ .

c=1；a=0；f=0；m=1；

在正方形区域上解决问题。这个平方函数描述此几何体。创建一个模型对象并包括几何图形。打印几何图形并查看边标签。

numberOfPDE=1；模型=createpde（numberOfPDE）；几何尺寸（模型，@square）；pdegplot（模型，“EdgeLabels”,“开”); ylim（[-1.1.1]）；轴平等的标题“显示边标签的几何图形”；xlabelx伊拉贝尔y

图中包含一个轴对象。显示了标题几何图形和边缘标签的轴对象包含5个类型为line、text的对象。

指定PDE系数。

特定系数（型号，“我是，m，“d”,0,“c”，c，“a”，a，“f”，f）；

在左侧（边4）和右侧（边2）设置零Dirichlet边界条件，在顶部（边1）和底部（边3）设置零Neumann边界条件。

applyBoundaryCondition（模型，“迪里克莱”,“边缘”,[2,4],“你”，0）；applyBoundaryCondition（模型，“诺依曼”,“边缘”,([1 3]),“g”,0);

创建并查看问题的有限元网格。

生成网格（模型）；图pdemesh（模型）；ylim（[-1.1.1]）；轴平等的xlabelx伊拉贝尔y

图中包含一个轴对象。axes对象包含2个line类型的对象。

设置以下初始条件：

$u (x, 0) = 反正切 (余弦 (\frac{π x}{2}))$ .
${\frac{\partial u}{\partial t} |}_{t = 0} = 三罪 (π x) 经验 (罪 (\frac{π y}{2}))$ .

u0=@（位置）atan（cos（pi/2*location.x））；ut0=@（位置）3*sin（pi*location.x）。*exp（sin（pi/2*location.y））；setInitialConditions（model，u0，ut0）；

这种选择避免了将能量放入更高的振动模式，并允许一个合理的时间步长。

将求解时间指定为31个等间距的时间点，从0到5。

n=31；tlist=linspace（0,5,n）；

设定SolverOptions.ReportStatistics的模型到“开”.

model.SolverOptions.ReportStatistics=“开”；结果=解算PDE（模型，tlist）；

459成功步骤39失败尝试998函数求值1偏导数115 LU分解997线性系统的解万博 尤文图斯

u = result.NodalSolution;

创建动画以可视化所有时间步长的解决方案。通过首先计算时间步长的最大值和最小值来保持固定的垂直比例u并缩放所有绘图以使用这些 $z$ -轴限制。

图umax=max（max（u））；umin=min（min（u））；对于i=1:n PDE批次（型号，“XYData”，u（：，i），“ZData”，u（：，i），...“ZStyle”,“连续的”,“网格”,“关”）;轴([-1 1 -1 1 umin umax]);caxis ([umin umax]);xlabelx伊拉贝尔y兹拉贝尔uM（i）=getframe；结束

图中包含一个轴对象。轴对象包含面片类型的对象。

要播放动画，请使用电影（M）指挥部。

偏微分方程工具箱文档

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