简化高阶植物模型

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这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™近似高阶植物模型简单,低阶模型。

介绍

鲁棒控制工具箱提供了工具来处理大型模型,如:

高阶植物:详细的采用或你的工厂往往有高阶有限元模型。我们常常想这样的简化模型用于模拟或控制设计。
高阶控制器:鲁棒控制技术往往会产生高阶控制器。这是常见的,例如,当我们使用频率加权函数对塑造的开环反应。我们想要简化控制器实现。

用于控制目的,通常足以在交叉频率附近有一个准确的模型。对于模拟,它足以捕捉必要的动态激励信号的频率范围。这意味着通常可以找到高阶模型的低阶近似。鲁棒控制工具箱提供了各种模型降阶算法最适合您的需求和您的模型特征。

该模型还原过程

一个模型还原任务一般包括以下步骤:

分析模型的重要特征的获得时间和频域响应一步或波德为例。
确定一个合适的订单减少了策划汉克尔奇异值的原始模型(hankelsv),以确定哪些模式(州)可以被丢弃在不牺牲的关键特征。
选择一个还原算法。工具箱中一些还原方法可用:balancmr,bstmr,schurmr,hankelmr,中心

我们可以轻松地访问这些算法通过顶层接口减少。方法采用不同的措施之间的“亲密”原始和减少模型。选择依赖于应用程序的。让我们尝试他们每个人调查他们的相对优点。

验证:验证我们的结果通过比较原始的动力学简化模型。我们可能需要调整减少参数(模型,算法的选择、误差范围等)。如果结果不令人满意。

例子:一个模型建立的刚体运动

在这个例子中,我们减少方法应用到模型构建的洛杉矶大学医院。模型是取自SLICOT工作注意2002 - 2,“基准实例的集合模型降阶线性时不变动态系统,“y Chahlaoui和pv Dooren。它有八层,每个都有三个自由度,两个位移和一个旋转。我们代表的输入-输出关系其中任何一个使用48-state位移模型,其中每个国家代表一个位移或速度变化(速度)。

让我们加载的数据的例子:

负载buildingData.mat

检查植物动力学

让我们开始通过分析模型的频率响应:

波德(G)网格在

图包含2轴对象。坐标轴对象1包含一个类型的对象。该对象代表2 g .坐标轴对象包含一个类型的对象。这个对象表示G。

图1:波德图来分析频率响应

从频率响应模型的观察,系统的基本动力学躺在的频率范围3 - 50弧度/秒。幅度下降非常低和高频范围。我们的目标是找到一个低阶模型,保存信息内容在这个频率范围内可接受的精度水平。

计算汉克尔奇异值

理解模型的哪个国家可以安全地丢弃,看看汉克尔奇异值的模型:

hsv_add = hankelsv (G);标题栏(hsv_add) (“汉克尔模型(G)的奇异值);包含(“许多州”)ylabel (“奇异值(\ sigma_i)”)线([10.5 - 10.5],[0 1.5 e - 3),“颜色”,“r”,“线型”,“——”,“线宽”1)文本(6日,1.6 e - 3,“10占主导地位的国家。”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴标题汉克尔奇异值的对象模型(G)包含3酒吧,类型的对象,文本。

图2:汉克尔奇异值的模型(G)。

汉克尔奇异值图表明,这个系统有四种主导模式。然而,其余的模式仍然是重要的贡献。我们画线在10个州和丢弃其余的人找到一个十阶简化模型Gr最接近原系统G。

执行模型减少使用添加剂错误绑定

这个函数减少是通往工具箱中所有可用模型降阶的例程。我们将使用默认的,平方根平衡截断(“balancmr”)选项减少作为第一步。这种方法使用的“添加剂”的错误减少,这意味着它试图保持绝对的近似误差均匀小频率。

%计算10阶简化模型(减少使用balancmr方法默认情况下)[Gr_add, info_add] =减少(G, 10);%现在比较原始模型G Gr_add减少模型波德(G,“b”Gr_add,“r”网格)在标题(的比较原始(G)和减少模型(Gr \ _add) ')传说(“G - 48-state原创”,“Gr \ _add十余个州减少”,“位置”,“东北”)

$图包含2轴对象。坐标轴对象1包含2线类型的对象。这些对象代表G - 48-state原始,Gr \ \ _add,十余个州减少。坐标轴对象包含2线类型的对象。这些对象代表G - 48-state原始,Gr \ \ _add,十余个州减少。$

图3:比较原始(G)减少模型(Gr_add)

执行模型减少使用乘法误差界

从波德图在图3中,减少模型捕获共振低于30 rad / s很好,但在低频区域匹配(< 2 rad / s)很差。同时,减少模型并不完全捕获动力学在30 - 50 rad / s频率范围。一个可能的解释对于大的错误在低频率相对较低的获得在这些频率的模型。因此,即使是大错误在这些频率为整体贡献小的错误。

为了解决这个问题,我们可以尝试multiplicative-error方法等bstmr。该算法强调相对而非绝对的错误。因为相对比较不工作时获得接近于零,我们需要添加一个最小增益阈值,例如通过添加一个直通的收获D我们的原始模型。假设我们不担心错误的收益低于-100分贝,我们可以设置1 e-5的引线。

GG = G;GG.D = 1 e-5;

现在,让我们看看乘法的奇异值(相对)错误(使用“相乘”选项hankelsv)

hsv_mult = hankelsv (GG,“乘”);标题栏(hsv_mult) (“Multiplicative-Error奇异值模型(G)的);包含(“许多州”)ylabel (“奇异值(\ sigma_i)”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题Multiplicative-Error奇异值的模型(G)包含一个对象类型的酒吧。

图4:Multiplicative-error奇异值的模型(G)

26阶模型看起来前途无量,但为了与之前的结果,让我们坚持10日订单减少。

%减少使用bstmr算法选择模型[Gr_mult, info_mult] =减少(GG 10“算法”,“英国”);%现在比较原始模型G Gr_mult减少模型波德(G, Gr_add Gr_mult,{1飞行,1 e4}),网格在标题(“比较原始(G)和减少模型(Gr \ _add和Gr \ _mult) ')传说(“G - 48-state原创”,Gr \ _add (balancmr)”,Gr \ _mult (bstmr)”,“位置”,“东北”)

$图包含2轴对象。坐标轴对象1包含3线类型的对象。这些对象代表G - 48-state原始,Gr \ \ _add (balancmr), Gr \ \ _mult (bstmr)。坐标轴对象2包含3线类型的对象。这些对象代表G - 48-state原始,Gr \ \ _add (balancmr), Gr \ \ _mult (bstmr)。$

图5:比较原始(G)和减少模型(Gr_add和Gr_mult)

原始和减少模型之间的配合与multiplicative-error方法要好得多,即使在低频率。我们可以证实这一点通过比较步骤的反应:

步骤(G, Gr_add Gr_mult 15)%阶跃响应到15秒传奇(旅客:48-state原始的,“Gr \ _add:十余个州(balancmr) ',“Gr \ _mult:十余个州(bstmr) ')

$图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含3线类型的对象。这些对象代表G: 48-state原始,Gr \ \ _add:十余个州(balancmr), Gr \ \ _mult:十余个州(bstmr)。$

图6:一步反应的三个模型

验证结果

所有算法都提供边界近似误差。等附加误差的方法balancmr,近似误差测量的峰值(最大值)获得的误差模型G-Greduced在所有频率。这个峰值增益的h∞范数也称为误差模型。附加误差算法的误差界的样子:

$为 G - - - - - - G r_{一个 d d} 为_{\infty} \leq 2 \sum_{我 = 11}^{48} σ_{我} : = E r r o r B o u n d$

和结束所有丢弃汉克尔奇异值的G(条目11通过48hsv_add)。我们可以确认这个约束满足通过比较双方的不平等:

规范(G-Gr_add正)%实际误差

ans = 6.0251 e-04

%的理论束缚(存储在“信息”的“ErrorBound”字段% | |减少返回的结构)info_add.ErrorBound

ans = 0.0047

等multiplicative-error方法bstmr,近似误差测量的增益峰值频率的相对误差模型G \ (G-Greduced)。错误绑定的样子

$为 G^{- - - - - - 1} (G - - - - - - G r_{米 u l t}) 为_{\infty} \leq \prod_{我 = 11}^{48} (1 + 2 σ_{我} (σ_{我} + \sqrt{1 + σ_{我}^{2}})) - - - - - - 1 : = E r r o r B o u n d$

丢弃的和是哪里乘法汉克尔奇异值计算hankelsv (G,“乘”)。我们可以比较这些边界模型Gr_mult

规范(GG \ (GG-Gr_mult)、正)%实际误差

ans = 0.5949

%的理论束缚info_mult.ErrorBound

ans = 546.1730

情节相对误差的确认

bodemag (GG \ (GG-Gr_mult){1飞行,1 e3})网格在文本(0.1,-50,的峰值增益:-4.6 dB (59%) 17.2 rad / s”)标题(原始模型(G)之间的相对误差和减少模型(Gr \ _mult) ')

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含2线类型的对象,文本。该对象代表untitled1。

图7:原始模型(G)之间的相对误差和减少模型(Gr_mult)

从上面的相对误差的情节中,有高达59%的相对误差为17.2 rad / s,这可能是比我们愿意接受。

选择最低的兼容所需的精度水平

改善的准确性Gr_mult,我们需要增加订单。相对精度至少达到5%,最低的是什么我们可以得到订单吗?这个函数减少可以自动选择最低模型符合我们所需的精度水平。

%指定最多5%的近似误差[gre,信息]=减少(GG,“ErrorType”,“乘”,“MaxError”,0.05);大小(gre)

1输出,状态空间模型1输入,和35个州。

挑了一个34-state减少模型的算法gre考试。比较与理论结合实际的错误:

规范(GG \ (GG-Gred)、正)

ans = 0.0068

info.ErrorBound

ans = 0.0342

看相对误差大小作为频率的函数。更高的精度为代价取得一个更大的模型(从10 - 34)。请注意,实际的最大误差为0.6%,远低于5%的目标。这种差异是一个函数的结果bstmr使用错误绑定而不是实际的错误选择的顺序。

bodemag (GG \ (GG-Gred) {1 1 e3})网格在文本(-75,的峰值增益:-43.3 dB (0.6%) 73.8 rad / s”)标题(原始模型(G)之间的相对误差和减少模型(gre) ')

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含2线类型的对象,文本。该对象代表untitled1。

图8:原始模型(G)之间的相对误差和减少模型(gre)

比较预示反应

波德(G, gre,{1飞行,1 e4})网格在传奇(“G - 48-state原创”,“gre - 34-state减少”)

图包含2轴对象。坐标轴对象1包含2线类型的对象。这些对象代表G - 48-state原始,gre - 34-state减少。坐标轴对象包含2线类型的对象。这些对象代表G - 48-state原始,gre - 34-state减少。

图9:波德图的原始模型和34-state 48-state减少模型

最后,比较原始的一步反应和减少模型。他们几乎是没有区别的。

步骤(G,“b”gre考试,“r——”15)%阶跃响应到15秒传奇(旅客:48-state原始的,“gre: 34-state (bstmr) ')文本(5 4的军医,最大相对误差< 0.05的)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含3线类型的对象,文本。这些对象代表G: 48-state原始,gre: 34-state (bstmr)。

图10:48-state原始模型的阶跃响应图和34-state减少模型

另请参阅

hankelsv|减少

鲁棒控制工具箱的文档

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