特征值gydF4y2Ba

方阵的符号特征值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba或者符号特征值和特征向量gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba分别使用命令计算gydF4y2BaE = EIG（a）gydF4y2Ba和gydF4y2Ba[V E] = eig (A)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

可变精密对应物是gydF4y2BaE = eig (vpa (A))gydF4y2Ba和gydF4y2Ba(V, E) = eig (vpa (A))gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

的特征值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是特征多项式的零gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba，gydF4y2Ba依据(ax *我)gydF4y2Ba，由此计算gydF4y2Bacharpoly (A)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

矩阵gydF4y2BaHgydF4y2Ba从最后一节提供第一个示例：gydF4y2Ba

H = sym([8/9 1/2 /3;1/2 1/3 1/4;1/3 1/4 1/5)gydF4y2Ba

H =[8/9, 1/2、1/3][1/2、1/3、1/4)(1/3、1/4、1/5)gydF4y2Ba

矩阵是奇异的，所以其特征值中的一个必须为零。该声明gydF4y2Ba

[T E] = eig (H)gydF4y2Ba

产生的矩阵gydF4y2BaTgydF4y2Ba和gydF4y2BaEgydF4y2Ba．列的列gydF4y2BaTgydF4y2Ba是特征向量的gydF4y2BaHgydF4y2Ba和的对角元素gydF4y2BaEgydF4y2Ba特征值是gydF4y2BaHgydF4y2Ba：gydF4y2Ba

T = [3/10,218 / 285  - （4 * 12589 ^（1/2））/ 285，（4 * 12589 ^（1/2））/ 285 + 218/285] [-6/5,292/ 285  -  12589 ^（1/2）/ 285,12589 ^（1/2）/ 285 + 292/285] [1,1,1,1] E = [0,0,0] [0,32/45  -12589 ^（1/2）/ 180,0] [0,0,12589 ^（1/2）/ 180 + 32/45]gydF4y2Ba

它可能更容易理解特征向量矩阵的结构，gydF4y2BaTgydF4y2Ba特征值,gydF4y2BaEgydF4y2Ba，如果你转换gydF4y2BaTgydF4y2Ba和gydF4y2BaEgydF4y2Ba十进制表示法。为此，请按以下操作进行。命令gydF4y2Ba

TD =双（T）ED = DOUBLE（E）gydF4y2Ba

返回gydF4y2Ba

Td = 0.3000 -0.8098 2.3397 -1.2000 0.6309 1.4182 1.0000 1.0000 1.0000gydF4y2Ba

第一个特征值是零。对应的特征向量(的第一列)gydF4y2Ba道明gydF4y2Ba)与上一节中找到的零空间基相同。另外两个特征值是应用二次公式得到的结果gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}-gydF4y2Ba\frac{\mathrm{64gydF4y2Ba}}{\mathrm{45gydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\frac{\mathrm{253gydF4y2Ba}}{\mathrm{2160gydF4y2Ba}}$$这是二次因素gydF4y2Ba因子（Charpoly（H，x））gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

syms x g = factor（charpoly（h，x））/ x求解（g（3））gydF4y2Ba

g = [1 /（2160 * x），1，（2160 * x ^ 2  -  3072 * x + 253）/ x] ans = 32/45  -  12589 ^（1/2）/ 180 12589 ^（1/2）/ 180 + 32/45gydF4y2Ba

只有当特征多项式可以表示为四次或四次以下有理多项式的乘积时，特征值的封闭符号表达式才有可能。Rosser矩阵是一个经典的数值分析测试矩阵，说明了这一要求。该声明gydF4y2Ba

R =符号(伐木工人)gydF4y2Ba

生成gydF4y2Ba

R =(611、196、-192、407、8,-52年,-49年,29][196、899、113、-192、-71、-43年,8,-44][-192、113、899、196、61年,49岁,8日,52][407、-192、196、611、8,44岁的59岁-23][8,-71,61,411,-599,208,208][49岁的-52、-43、-599、411、208、208][-49、8、8、59,208,208,99,-911][29、-44、52、-23、208,208,-911,99]gydF4y2Ba

命令gydF4y2Ba

p = charpoly(R, x);因素(p)gydF4y2Ba

生产gydF4y2Ba

ans = [x，x  -  1020，x ^ 2  -  1040500，x ^ 2  -  1020 * x + 100，x  -  1000，x  -  1000]gydF4y2Ba

特征多项式（学位8）因子很好地进入两种线性术语的产物和三个二次术语。您可以立即看到四个特征值为0,1020，并且在1000处双根。其他四根源是从剩余的二际。用gydF4y2Ba

eig(右)gydF4y2Ba

找到所有这些值gydF4y2Ba

10*10405^(1/2) 10*10405^(1/2) 10*10405^(1/2)gydF4y2Ba

Rosser矩阵不是一个典型的例子;一个完整的8 × 8矩阵很少有特征多项式能分解成如此简单的形式。如果你改变的两个“角”元素gydF4y2BaRgydF4y2Ba从29到30gydF4y2Ba

S = R;(8) = 30;1(8日)= 30;gydF4y2Ba

然后gydF4y2Ba

p = charpoly（s，x）gydF4y2Ba

你发现gydF4y2Ba

x^8 - x^7 + x^7 + x^6 + x^5…- x^3 + x^3 + x^3 + x^3…- 1082699388411166000*x^2 + 51264008540948000*x…+ 40250968213600000gydF4y2Ba

你也发现了gydF4y2Ba因素(p)gydF4y2Ba是gydF4y2BapgydF4y2Ba本身。也就是说，特征多项式不能在有理数上分解。gydF4y2Ba

对于这个修正的罗塞尔矩阵gydF4y2Ba

f = eig（s）gydF4y2Ba

返回gydF4y2Ba

F = -1020.053214255892 -0.17053529728769 0.2180398054830161 999.9469178604428 1000.120698293384 1019.524355263202 1019.993550129163 1020.420188201505gydF4y2Ba

注意，这些值与原始Rosser矩阵的特征值很接近。gydF4y2Ba

也可以尝试计算符号矩阵的特征值，但封闭形式的解很少。万博 尤文图斯以初等矩阵的矩阵指数形式生成给定变换gydF4y2Ba

符号数学工具箱™命令gydF4y2Ba

syms t A = sym([0 1;1 0]);G = expm (t *)gydF4y2Ba

返回gydF4y2Ba

G = (exp (- t * 1 i) / 2 + exp (t * 1) / 2, (exp(我)- t * 1 * 1我)/ 2 - (exp(我)t * 1 * 1我)/ 2][——(exp(我)- t * 1 * 1我)/ 2 + (exp(我)t * 1 * 1我)/ 2,exp (- t * 1 i) / 2 + exp (t * 1) / 2)gydF4y2Ba

您可以使用gydF4y2Ba简化gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

G =简化(G)gydF4y2Ba

G = [cos(t)， sin(t)] [-sin(t)， cos(t)]gydF4y2Ba

接下来，命令gydF4y2Ba

g = eig (g)gydF4y2Ba

生产gydF4y2Ba

g = cos（t） -  sin（t）* 1i cos（t）+ sin（t）* 1igydF4y2Ba

你可以重写gydF4y2BaggydF4y2Ba用指数表示:gydF4y2Ba

G =重写(G， 'exp')gydF4y2Ba

exp(t*1i) = 1gydF4y2Ba