Padé时延输入近似

这个例子展示了如何使用控制系统理论中的Padé逼近来模拟一阶系统响应中的时滞。时滞出现在系统中，例如在输入和系统响应之间存在时滞的化学和运输过程中。当这些输入被建模时，它们被称为死区时间输入。

这个例子使用了Symbolic Math Toolbox™来求解一阶系统的传递函数，并使用Padé近似法求出系统对死时间步长输入的响应。这个例子符号化地执行计算以获得解析结果。

介绍

Padé近似的顺序(m, n)近似函数f（x）周围 $x = x_{0}$ 像

$\frac{{A.}_{0} + {A.}_{1.} (x - x_{0}) + \dots + {A.}_{M} (x - x_{0})^{M}}{1. + B_{1.} (x - x_{0}) + \dots + B_{N} (x - x_{0})^{N}} ．$

Padé逼近是由两个幂级数之比构成的有理函数。由于它是有理函数，因此在用极点逼近函数时比Taylor级数更精确。Padé逼近由符号数学工具箱表示™ 作用帕德．

当膨胀点存在极点或零点时 $x = x_{0}$ ，Padé逼近的精度降低。要提高精度，请使用另一种形式的Padé逼近，即

$\frac{(x - x_{0})^{P} ({A.}_{0} + {A.}_{1.} (x - x_{0}) + \dots + {A.}_{M} (x - x_{0})^{M})}{1. + B_{1.} (x - x_{0}) + \dots + B_{N} (x - x_{0})^{N}} ．$

这个帕德函数在设置OrderMode输入参数到相对的．

求一阶系统的传递函数

一阶系统的行为由该微分方程描述

$τ \frac{D Y (T)}{D T} + Y (T) = A. x (T) ．$

在MATLAB®中输入微分方程。

符号τA.x（t）y (t)xS (s)y (s)H(s)tmpF = tau*diff(y)+y = a*x;

求它的拉普拉斯变换F使用拉普拉斯．

F =拉普拉斯(F, t, s)

F=
                  $拉普拉斯 (Y (T), T, s) - τ (Y (0) - s 拉普拉斯 (Y (T), T, s)) = A. 拉普拉斯 (x (T), T, s)$

假设系统的响应为t = 0是0使用潜艇代替y（0）=0．

F =潜艇(F, y (0), 0)

F=
                  $拉普拉斯 (Y (T), T, s) + s τ 拉普拉斯 (Y (T), T, s) = A. 拉普拉斯 (x (T), T, s)$

要收集常用术语，请使用简化．

F=简化（F）

F=
                  $(s τ + 1.) 拉普拉斯 (Y (T), T, s) = A. 拉普拉斯 (x (T), T, s)$

为便于阅读，请替换的拉普拉斯变换x（t）和y (t)与xS (s)和y (s)．

F=subs（F，[laplace（x（t），t，s）laplace（y（t），t，s）]，[xS（s）yS（s）]）

F=
                  $y (s) (s τ + 1.) = A. xS (s)$

传递函数的拉普拉斯变换是yS（s）/xS（s）．等式两边同时除以xS (s)并用潜艇替换yS（s）/xS（s）与H(s)．

F = F / xS(年代);F =潜艇(F, y (s) / xS (s), H (s))

F=
                  $H (s) (s τ + 1.) = A.$

解方程为H(s)．代替H(s)用一个虚拟变量，用solve求解虚拟变量，并赋值给Hsol (s)．

F =潜艇(F、H (s), tmp);Hsol (s) =解决(F, tmp)

Hsol（s）=
                 
                   $\frac{A.}{s τ + 1.}$

查找系统对延时阶跃输入的响应

一阶系统的输入是一个时滞阶跃输入。若要表示阶跃输入，请使用重熔. 将输入延迟三个时间单位。使用拉普拉斯．

阶跃=垂向（t-3）；阶跃=拉普拉斯（阶跃）

一步=
                 
                   $\frac{E^{- 3. s}}{s}$

求系统的响应，它是传递函数和输入的乘积。

y=Hsol（s）*步骤

y=
                 
                   $\frac{A. E^{- 3. s}}{s (s τ + 1.)}$

要允许打印响应，请设置参数A.和τ特定的值。为A.和τ,选择值1.和3.分别地

Y = subs(Y，[a tau]，[1 3]);y = ilaplace (y,年代);

使用Padé近似求系统响应

求序的Padé逼近[2 2]的顺序输入参数帕德．

步骤PADE22=pade（步骤，“秩序”,[2 2])

stepPade22 =
                 
                   $\frac{3. s^{2.} - 4. s + 2.}{2. s (s + 1.)}$

通过将传递函数与输入的Padé近似值相乘，找到对输入的响应。

* stepPade22 yPade22 = Hsol(年代)

yPade22 =
                 
                   $\frac{A. (3. s^{2.} - 4. s + 2.)}{2. s (s τ + 1.) (s + 1.)}$

求拉普拉斯逆变换yPade22使用伊拉普拉斯．

yPade22=ilaplace（yPade22，s）

yPade22 =
                 
                   $A. + \frac{9 A. E^{- s}}{2. τ - 2.} - \frac{A. E^{- \frac{s}{τ}} (2. τ^{2.} + 4. τ + 3.)}{τ (2. τ - 2.)}$

要绘制响应，需要设置参数A.和τ他们的价值观1.和3.分别地

yPade22 = subs(yPade22，[a tau]，[1 3])

yPade22 =
                 
                   $\frac{9 E^{- s}}{4.} - \frac{11 E^{- \frac{s}{3.}}}{4.} + 1.$

绘制系统的响应Y以及通过Padé近似计算得到的响应yPade22．

fplot (y, 20 [0])在fplot(yPade22，[0 20])网格在标题“死区时间步长输入的Padé逼近”传奇(“对死时间阶跃输入的响应”,'Padé approant [2 2]',...“位置”,“最好的”）;

图中包含一个轴。标题为Padéapproximant的轴包含2个functionline类型的对象。这些对象表示对死区时间步输入Padéapproximant[2]的响应。

使用OrderMode增加Padé approant的准确性

这个[2 2]Padé近似不能很好地表示响应，因为在膨胀点存在极点0．提高…的准确性帕德当膨胀点有极点或零点时，设置OrderMode输入参数，并重复上述步骤。有关详细信息,请参见帕德．

stepPade22Rel = pade(步骤,“秩序”,[2 2],“订单模式”,“亲戚”)

stepPade22Rel =
                 
                   $\frac{3. s^{2.} - 6. s + 4.}{s (3. s^{2.} + 6. s + 4.)}$

* stepPade22Rel yPade22Rel = Hsol(年代)

伊帕德雷=
                 
                   $\frac{A. (3. s^{2.} - 6. s + 4.)}{s (s τ + 1.) (3. s^{2.} + 6. s + 4.)}$

yPade22Rel = ilaplace (yPade22Rel);yPade22Rel = subs(yPade22Rel，[a tau]，[1 3])

伊帕德雷=
                 
                   $\frac{12 E^{- T} (因为 (\frac{\sqrt{3.} T}{3.}) + \frac{2. \sqrt{3.} 罪 (\frac{\sqrt{3.} T}{3.})}{3.})}{7.} - \frac{19 E^{- \frac{T}{3.}}}{7.} + 1.$

fplot (yPade22Rel 20] [0,“显示名称”,“相对Padé逼近[2]”)

图中包含一个坐标轴。空时步进输入的标题为Padé近似的轴包含3个函数线类型的对象。这些对象代表对死时间步长输入的响应Padé approximation [2 2]， Relative Padé approximation[2 2]。

通过增加订单来提高Padé近似的准确性

您可以通过增加Padé近似值的顺序来提高其准确性。增加订单到[4 5]然后重复这些步骤。这个[n-1 n]Padéapproximat更适合于在以下情况下近似响应：t = 0比[n]帕德近似。

步骤PADE45=pade（步骤，“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                 
                   $\frac{27 s^{4.} - 180 s^{3.} + 540 s^{2.} - 840 s + 560}{s (27 s^{4.} + 180 s^{3.} + 540 s^{2.} + 840 s + 560)}$

yPade45=Hsol（s）*步骤板45

yPade45 =
                 
                   $\frac{A. (27 s^{4.} - 180 s^{3.} + 540 s^{2.} - 840 s + 560)}{s (s τ + 1.) (27 s^{4.} + 180 s^{3.} + 540 s^{2.} + 840 s + 560)}$

yPade45=潜艇（yPade45，[a tau]，[13]）

yPade45 =
                 
                   $\frac{27 s^{4.} - 180 s^{3.} + 540 s^{2.} - 840 s + 560}{s (3. s + 1.) (27 s^{4.} + 180 s^{3.} + 540 s^{2.} + 840 s + 560)}$

求拉普拉斯逆变换伊帕德45使用伊拉普拉斯近似伊帕德45数字使用vpa．绘制从Padé近似值计算的响应伊帕德45．

yPade45 = vpa (ilaplace (yPade45));fplot (yPade45 20] [0,“显示名称”,“Padé逼近[4 5]”)

图中包含一个轴。标题为Padéapproximant的轴包含functionline类型的4个对象。这些对象表示对死区时间步输入的响应，Padéapproximant[2 2]，Relative Padéapproximant[2]，Padéapproximant[4 5]。

结论

以下几点已显示出来：

Padé逼近可以模拟死区时间步长输入。
Padé近似值的准确性随着近似值顺序的增加而增加。
当扩展点处存在极点或零点时，Padé近似值对于扩展点不准确。若要提高近似值的精度，请设置OrderMode选项相对的。您也可以使用增加分母相对于分子的顺序。

Padé时延输入近似

介绍

求一阶系统的传递函数

查找系统对延时阶跃输入的响应

使用Padé近似求系统响应

使用OrderMode增加Padé approant的准确性

通过增加订单来提高Padé近似的准确性

结论

符号数学工具箱文档

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用符号数学工具箱进行数学建模