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这个例子展示了如何使用波动方程的例子在符号数学工具箱™中使用函数导数。这个例子符号化地执行计算以获得解析结果。用泛函导数求解两端固定的弦的波动方程。函数的导数是一个函数对函数所依赖的函数的导数。符号数学工具箱™使用functionalDerivative函数。

求解波动方程是泛函导数的一个应用。它描述了波的运动，从弦的运动到电磁波的传播，是物理学中的一个重要方程。您可以将本例中演示的技术应用于从解决腕时问题到寻找肥皂泡最小表面的变异演算中的应用程序。

考虑一个长度的字符串l悬挂在两点之间x = 0和x = L．弦具有单位长度的特征密度和特征张力。将长度、密度和张力定义为常量，以备以后使用。为简单起见，将这些常量设置为1．

长度= 1;密度= 1;张力= 1;

如果弦在运动，弦的动能和势能是它从静止位移的函数S (x, t)，它随位置而变化x和时间t．如果d单位长度的密度，动能是多少

$T ＝ \int_{0}^{l} \frac{d}{2} {（ \frac{d}{d t} 年代（ x ， t ））}^{2} d x ．$

势能是

$V ＝ \int_{0}^{l} \frac{r}{2} {（ \frac{d}{d x} 年代（ x ， t ））}^{2} d x ，$

在哪里r是紧张的。

在MATLAB®中输入这些方程。因为长度必须是正的，设这个假设。这种假设允许简化将得到的方程简化成期望的形式。

信谊S (x, t)drvl假设(L>0) T(x, T) = int(d/2*diff(S, T)^2,x,0,L);V (x, t) = int (r / 2 * diff(年代,x) ^ 2, x, 0, L);

这个动作一个是过程．最小行动原则指出，行动总是最小化的。通过求函数的导数来确定最小作用的条件一个关于年代使用functionalDerivative让它等于0。

一个=过程;eqn = functionalDerivative(A,S) = 0

eqn (x, t) =
                
                  $l r \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 年代 （ x ， t ） - l d \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} 年代 （ x ， t ） ＝ 0$

用以下方法简化方程简化．代入，将方程转化为期望形式r / d和波速的平方v．

eqn =简化(eqn) / r;eqn =潜艇(eqn, r / d, v ^ 2)

eqn (x, t) =
                
                  $\frac{\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} 年代 （ x ， t ）}{v^{2}} ＝ \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 年代 （ x ， t ）$

用分离变量法求解方程。集S (x, t) = U (x) * V (t)分离对位置的依赖x和时间t．用。将得到的方程两边分开孩子们．

信谊U (x)V (t)eqn2 =潜艇(eqn S (x, t), U (x) * V (t));eqn2 = eqn2 / (U (x) * V (t))

eqn2 (x, t) =
                
                  $\frac{\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} V （ t ）}{v^{2} V （ t ）} ＝ \frac{\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} U （ x ）}{U （ x ）}$

tmp =孩子(eqn2);

方程的两边依赖于不同的变量，但它们是相等的。这只有在两边都是常数的情况下才有可能。使每条边都等于一个任意常数C得到两个微分方程。

信谊Ceqn3 = tmp(1) == C

eqn3 =
                
                  $\frac{\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} V （ t ）}{v^{2} V （ t ）} ＝ C$

eqn4 = tmp(2) == C

eqn4 =
                
                  $\frac{\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} U （ x ）}{U （ x ）} ＝ C$

用dsolve条件是位移为0在x = 0和t = 0．用下列方法将方程简化为预期形式简化与步骤选项设置为50．

V (t) = dsolve (eqn3, V (0) = = 0, t);U (x) = dsolve (eqn4 U (0) = = 0, x);V (t) =简化(V (t)“步骤”, 50)

V (t) =
                 $- 2 C_{1} \sinh （ \sqrt{C} t v ）$

U (x) =简化(U (x),“步骤”, 50)

U (x) =
                 $2 C_{1} \sinh （ \sqrt{C} x ）$

求方程中的常数。

p1 = setdiff (symvar (U (x))信谊((C、x)))

p1 =
                 $C_{1}$

p2 = setdiff (symvar (V (t)),信谊((C、V、t)))

p2 =
                 $C_{1}$

弦是固定在这个位置的x = 0和x = L．的条件U (0) = 0已经存在。应用边界条件U (L) = 0和解决C．

eqn_bc = U(L) == 0;[solC,参数,气孔导度]=解决(eqn_bc C“ReturnConditions”,真正的)

solC =
                
                  $- \frac{k^{2} π^{2}}{l^{2}}$

param =
                 $k$

气孔导度=
                 $C_{1} \neq 0 \land 1 \leq k \land k \in Z$

假设(电导率)

解决方案S (x, t)是U (x)和V (t)．求出解，将字符串的特征值代入解，得到解的最终形式。

S (x, t) = U (x) * V (t);S =潜艇(S、C、solC);S = subs(S，[L v]，[长度根号(张力/密度)]);

的参数p1和p2确定振动的振幅。集p1和p2来1为了简单起见。

S = subs(S，[p1 p2]，[1 1]);S =简化(年代,“步骤”, 50)

S (x, t) =
                 $4 罪 （ π k t ） 罪 （ π k x ）$

值不同，弦有不同的振动模式k．绘制任意时间值的前四种模式t．使用参数返回的参数解决为了解决参数k．

Splot (x) = S (x, 0.3);图(1)在网格在ymin =双(多项式系数(Splot));为i = 1:4 yplot = subs(Splot,param,i);fplot (yplot长度[0])结束ylim ([-ymin ymin])传说(“k = 1”，“k = 2”，“k = 3”，“k = 4”，“位置”，“最佳”)包含(“位置(x)”) ylabel (“位移(S)”)标题('字符串的模式'）

波动方程是线性的。这意味着任意允许模态的线性组合都是波动方程的有效解。因此，在给定边界条件和初值的情况下，波动方程的完全解是允许模态的和

$F （ x ， t ）＝ \sum_{k ＝ n}^{米} {一个}_{k} 罪（ π k t ）罪（ π k x ），$

在哪里 ${一个}_{k}$ 表示任意常数。

使用symsum将弦的前五种模式相加。在一个新的图形上，显示在同一时刻的结果波形作为前一个波形的比较。

图(2)S5(x) = 1/5*symsum(S,param,1,5);fplot(subs(S5,t,0.3)，[0 Length]) ylim([-ymin ymin]) grid在包含(“位置(x)”) ylabel (“位移(S)”)标题(“前5种模式的总和”）

图中显示，求和模式允许您建模一个性质不同的波形。这里，我们指定初始条件为 $年代（ x ， t ＝ 0 ）＝ 0$ 对所有 $x$ ．

你可以计算这些值 ${一个}_{k}$ 在方程中 $F （ x ， t ）＝ \sum_{k ＝ n}^{米} {一个}_{k} 罪（ π k t ）罪（ π k x ）$ 通过指定初始速度的条件

$u_{t} （ x ， t ＝ 0 ）＝ F_{t} （ x ， 0 ）．$

适当的模态之和可以表示任何波形，这与用傅立叶级数表示弦的运动是一样的。

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