hypergeom
超几何函数
描述
hypergeom (<一个href="#bt1ltv5-a" class="intrnllnk">代表了<一个href="//www.tianjin-qmedu.com/help/symbolic/hypergeom.html" class="intrnllnk">广义超几何函数。一个,<一个href="#bt1ltv5-b" class="intrnllnk">b,<一个href="#bt1ltv5-z" class="intrnllnk">z)
例子
超几何函数数值和符号参数
取决于输入浮点或符号,hypergeom返回浮点或象征性的结果。
计算这些数字的超几何函数。因为这些数字是浮点数,hypergeom返回浮点结果。
一个= [hypergeom ([1 - 2], 2.5, 2),…2 hypergeom(1/3,[3],π),…hypergeom([1 1/2), 1/3, 3 *我))
我1.2091 + 0.0000 = -1.2174 - 0.8330我-0.2028 + 0.2405
返回的象征性的结果将至少一个输入符号形式使用信谊。对于大多数符号(精确的)输入,hypergeom返回未解决的象征性的电话。
司马= [hypergeom([1 - 2], 2.5,信谊(2)),…2 hypergeom(1/3,[3],信谊(π)),…hypergeom([1 1/2],信谊(1/3),3 *我))
司马= [hypergeom ([1,2], 5/2, 2), hypergeom(1/3,[2、3],π),hypergeom ([1/2, 1], 1/3, 3 i))
象征性的结果转换为高精度浮点通过使用vpa。
vpa(司马)
ans =(- 1.2174189301051728850455150601879 - 0.83304055090469367131547768563638,我……1.2090631887094273193917339575087,……我- 0.20275169745081962937527290365593 + 0.24050134226872040357481317881983)
超几何函数的特殊值
表明,hypergeom返回特定的输入值的特殊值。
信谊a b c d x hypergeom ([] [] x)
ans = exp (x)
hypergeom ([a b c d], [a b c d], x)
ans = exp (x)
hypergeom ([], x)
ans = 1 / (1 - x) ^
表明超几何函数总是1在0。
信谊a b c d hypergeom ([b], [c d], 0)
ans = 1
如果取消后,在第一两个参数,相同的参数列表上参数包含0,由此产生的超几何函数是常数的值1。有关详细信息,请参见<一个href="//www.tianjin-qmedu.com/help/symbolic/hypergeom.html" class="intrnllnk">算法。
hypergeom ([0 0 2 3], [0 4], x)
ans = 1
如果取消后,前两个参数相同的参数,上面的参数包含一个负整数大于最大的负整数参数较低,超几何函数是一个多项式。
hypergeom ([4 2 3], [3 1 4], x)
ans = (3 * x ^ 2) / 5 - 2 * x + 1
超几何函数减少其他特殊功能特定的输入值。
hypergeom ([1], [a], x) hypergeom ([a], [a, b], x)
ans = (exp (x / 2) * whittakerM (1 - / 2, / 2 - 1/2 - x)) / (- x) ^ (/ 2) ans = x ^ (1/2 - b / 2) *γ(b) * besseli (b - 1, 2 * x ^ (1/2))
处理包含超几何函数的表达式
许多符号函数,如diff和泰勒,处理表达式包含hypergeom。
包含超几何函数的微分表达式。
信谊a b c d x diff (1 / x * hypergeom ([b], [c d], x), x)
ans = (a * b * hypergeom ((a + 1, + 1) (d c + 1, + 1), x)) / (c * d * x)……hypergeom ([a, b], [c, d], x) / x ^ 2
计算这个超几何函数的泰勒级数。
泰勒(hypergeom ([1 - 2] 3 x), x)
ans = (2 * x ^ 5) / 7 + x ^ 4/3 + (2 * x ^ 3) / 5 + x ^ 2/2 + (2 * x) / 3 + 1
输入参数
更多关于
算法
超几何函数
超几何函数的收敛标准:
是收敛的,如果p≤问和|z| <∞。
是收敛的,如果p=问+ 1和|z| < 1。为|z| > = 1系列是发散的,被定义为分析延续。
发散的如果p>问+ 1和z≠0。在这里,系列的渐近展开定义pF问(一个;b;z)周围z= 0。分支切割是正实轴。
一个多项式函数,称为超几何多项式,如果任何一个j是一个负的整数。
函数定义:
如果有任何bk是一个负的整数,这样吗bk>一个j在哪里一个j也是一个负的整数,因为除0发生
如果有任何bk是一个负的整数,没有一个j是一个负的整数
功能减少了订单当上下参数值相等和取消。如果r上部和下部的参数值是相等的(也就是说,一个= (一个1、…一个p- - - - - -r,c1、…cr],b= (b1、…b问- - - - - -r,c1、…cr]),然后订单(p,问)的pF问(一个;b;z)减少到(p- - - - - -r,问- - - - - -r):
这条规则适用于即使任何c我是零或负整数[2]。
pF问(一个;b;z)是对称的。也就是说,它不依赖于订单一个1,一个2,…在一个或b1,b2,…在b。
满足的微分方程z
在这里,(δ+一个)代表
和(δ+b)代表
因此,这个微分方程的顺序马克斯(p,问+ 1),超几何函数只有一个解决方案。万博 尤文图斯如果p<问+ 1,这个微分方程有定期奇点z= 0和一个不规则的奇点z=∞。如果p=问+ 1,点z= 0,z= 1,z=∞常规的奇点,解释了超几何级数的收敛性质。
超几何函数有这些特殊的值:
pFp(一个;一个;z)=0F0(;;z)= ez。
pF问(一个;b;z)= 1如果上面的参数列表一个包含更多
0年代比低参数的列表b。pF问(一个;b,0)= 1。
引用
[1]Oberhettinger, f“超几何函数。”手册的数学函数公式、图表和数学表。(m .阿布拉莫维茨和中情局Stegun, eds)。纽约:多佛,1972。
[2]卢克,Y.L.“特殊功能及其近似”,1卷,学术出版社,纽约,1969年。
[3]Prudnikov,美联社,Yu.A。Brychkov, O.I. Marichev,积分和级数,卷3:更多的特殊功能,戈登和违反,1990。
