帕德逼近

该帕德逼近的顺序[米，ñ]接近功能F（X）左右X=X₀如

$\frac{{一个}_{0} + {一个}_{1} （ X - X_{0} ） + ... + {一个}_{米} {（ X - X_{0} ）}^{米}}{1 + b_{1} （ X - X_{0} ） + ... + b_{ñ} {（ X - X_{0} ）}^{ñ}} 。$

的Padé逼近是通过两个幂级数的比率形成的有理函数。因为它是一个理性的功能，它比泰勒级数与极近似的功能更加准确。帕德逼近由符号数学工具箱™函数表示帕德。

当一个极点或零点存在于扩展点X=X₀， Pade近似的精度降低。为了提高精度，可以使用另一种形式的Pade近似

$\frac{{（ X - X_{0} ）}^{p} （ {一个}_{0} + {一个}_{1} （ X - X_{0} ） + ... + {一个}_{米} {（ X - X_{0} ）}^{米} ）}{1 + b_{1} （ X - X_{0} ） + ... + b_{ñ} {（ X - X_{0} ）}^{ñ}} 。$

该帕德函数返回Padé逼近的另一种形式，当你设置OrderMode输入参数相对的。

在控制系统理论中，Pade近似用于建模系统响应中的时滞。在输入和系统响应之间存在时滞的系统中，如化学和运输过程就会出现时滞。当这些输入被建模时，它们被称为死时间输入。这个例子展示了如何使用符号数学工具箱使用Pade近似来建模一阶系统对死区输入的响应。

一阶系统的行为由该微分方程描述

$τ \frac{d ÿ （ Ť ）}{d Ť} + ÿ （ Ť ） = 一个 X （ Ť ）。$

输入MATLAB微分方程^®。

SYMS牛头一个X（t）的Y（t）的XS（S）YS（S）H（S）TMPF = tau*diff(y)+y = a*x;

查找拉普拉斯变换的F运用拉普拉斯。

F =拉普拉斯(F, t, s)

F =
                 $拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ） - τ (ÿ （ 0 ） - 小号 拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ）) = 一个 拉普拉斯 （ X （ Ť ） ， Ť ， 小号 ）$

假定系统在响应t = 0时是0。用潜艇以替代Y（0）= 0。

F =潜艇(F, y (0), 0)

F =
                 $拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ） + 小号 τ 拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ） = 一个 拉普拉斯 （ X （ Ť ） ， Ť ， 小号 ）$

收集常用术语，使用简化。

F =简化（F）

F =
                 $(小号 τ + 1) 拉普拉斯 （ ÿ （ Ť ） ， Ť ， 小号 ） = 一个 拉普拉斯 （ X （ Ť ） ， Ť ， 小号 ）$

对于可读性，取代的拉普拉斯变换X（t）的和Y（t）的同XS（S）和YS（S）。

F =潜艇（F，[拉普拉斯（X（t）的T，S）拉普拉斯（Y（t）的，T，S）]，[XS（S）YS（S）]）

F =
                 $YS （ 小号 ） (小号 τ + 1) = 一个 XS （ 小号 ）$

的拉普拉斯变换的传递函数的是YS（S）/ XS（S）。通过划分等式的两边XS（S）和使用潜艇取代YS（S）/ XS（S）同H（S）。

F = F / XS（一个或多个）;F =潜艇（F，YS（S）/ XS（S），H（S））

F =
                 $H （ 小号 ） (小号 τ + 1) = 一个$

求解方程H（S）。替代品H（S）有一个哑变量，解决哑变量使用解决，并分配解决方案回H（S）。

F =潜艇(F、H (s), tmp);H (s) =解决(F, tmp)

H（S）=
                
                  $\frac{一个}{小号 τ + 1}$

输入到一阶系统是一个时间延迟的步骤的输入。是代表阶跃输入时，使用亥。由三个单位时间延迟输入。找到拉普拉斯变换使用拉普拉斯。

步骤=希维赛德（T  -  3）;步骤=拉普拉斯（步骤）

步骤=
                
                  $\frac{Ë^{- 3 小号}}{小号}$

发现该系统中，其是传递函数和输入的乘积的响应。

Y = H（S）*步骤

Y =
                
                  $\frac{一个 Ë^{- 3 小号}}{小号 (小号 τ + 1)}$

为了能够响应的策划，设置参数一个和牛头他们的价值观。为一个和牛头,选择值1和3，分别。

Y =潜艇（Y，[一tau蛋白]，[1 3]）;Y = ilaplace（Y，S）;

查找的顺序Padé逼近[2 2]步骤输入的使用订购输入参数帕德。

stepPade22 =帕德（步骤中，“秩序”，[2 2]）

stepPade22 =
                
                  $\frac{3 {小号}^{2} - 4 小号 + 2}{2 小号 (小号 + 1)}$

通过将传递函数与输入的Pade近似值相乘，得到对输入的响应。

yPade22 = H（S）* stepPade22

yPade22 =
                
                  $\frac{一个 (3 {小号}^{2} - 4 小号 + 2)}{2 小号 (小号 τ + 1) (小号 + 1)}$

找到逆拉普拉斯变换的yPade22运用ilaplace。

yPade22 = ilaplace（yPade22，S）

yPade22 =
                
                  $一个 + \frac{9 一个 Ë^{- 小号}}{2 τ - 2} - \frac{一个 Ë^{- \frac{小号}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - 2)}$

要绘制的响应，设置参数一个和牛头他们的价值观1和3，分别。

yPade22 =潜艇（yPade22，[一tau蛋白]，[1 3]）

yPade22 =
                
                  $\frac{9 Ë^{- 小号}}{4} - \frac{11 Ë^{- \frac{小号}{3}}}{4} + 1$

画出系统的响应ÿ和响应从Padé逼近计算yPade22。

保持在格在fplot（[Y yPade22]，[0 20]）标题（“帕德逼近对死区时间阶跃输入”）图例（“响应滞后时间步骤输入”，...'帕德逼近[2 2]'，...“位置”，'最好'）

该[2 2]因为极存在于扩张点Padé逼近不代表响应以及0。为了提高精度帕德当存在在膨胀点一个极点或零点，设置OrderMode输入参数相对的然后重复上述步骤。有关详细信息，请参阅帕德。

stepPade22Rel =帕德（步骤中，“秩序”，[2 2]，'OrderMode'，“相对”）

stepPade22Rel =
                
                  $\frac{3 {小号}^{2} - 6 小号 + 4}{小号 (3 {小号}^{2} + 6 小号 + 4)}$

yPade22Rel = H（S）* stepPade22Rel

yPade22Rel =
                
                  $\frac{一个 (3 {小号}^{2} - 6 小号 + 4)}{小号 (小号 τ + 1) (3 {小号}^{2} + 6 小号 + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace（yPade22Rel）

yPade22Rel =
                
                  $\begin{array}{l} 一个 - \frac{一个 Ë^{- \frac{Ť}{τ}} (4 τ^{2} + 6 τ + 3)}{σ_{1}} + \frac{12 一个 τ Ë^{- Ť} (COS （ \frac{\sqrt{3} Ť}{3} ） - \sqrt{3} 罪 （ \frac{\sqrt{3} Ť}{3} ） (\frac{36 一个 - 72 一个 τ}{36 一个 τ} + 1))}{σ_{1}} \\ 哪里 \\ σ_{1} = 4 τ^{2} - 6 τ + 3 \end{array}$

yPade22Rel =潜艇（yPade22Rel，[一tau蛋白]，[1 3]）

yPade22Rel =
                
                  $\frac{12 Ë^{- Ť} (COS （ \frac{\sqrt{3} Ť}{3} ） + \frac{2 \sqrt{3} 罪 （ \frac{\sqrt{3} Ť}{3} ）}{3})}{7} - \frac{19 Ë^{- \frac{Ť}{3}}}{7} + 1$

fplot（yPade22Rel，[0 20]'显示名称'，'相对帕德逼近[2 2]'）

在Padé逼近的精度，也可以通过增加其订单增加。增加以[4 5]然后重复上述步骤。该[N-1 N]Padé逼近是近似的响应更好t = 0时比[N N]Padé逼近。

stepPade45 =帕德（步骤中，“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                
                  $\frac{27 {小号}^{4} - 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} - 840 小号 + 560}{小号 (27 {小号}^{4} + 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} + 840 小号 + 560)}$

yPade45 = H（S）* stepPade45

yPade45 =
                
                  $\frac{一个 (27 {小号}^{4} - 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} - 840 小号 + 560)}{小号 (小号 τ + 1) (27 {小号}^{4} + 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} + 840 小号 + 560)}$

yPade45 =潜艇（yPade45，[一tau蛋白]，[1 3]）

yPade45 =
                
                  $\frac{27 {小号}^{4} - 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} - 840 小号 + 560}{小号 (3 小号 + 1) (27 {小号}^{4} + 180 {小号}^{3} + 540 {小号}^{2} + 840 小号 + 560)}$

yPade45 = ilaplace（yPade45）

yPade45 =
                
                  $\begin{array}{l} \frac{294120 (Σ_{ķ = 1}^{4} \frac{Ë^{Ť σ_{2}} {σ_{2}}^{2}}{σ_{1}})}{1001} - \frac{2721 Ë^{- \frac{Ť}{3}}}{1001} + \frac{46440 (Σ_{ķ = 1}^{4} \frac{Ë^{Ť σ_{2}} {σ_{2}}^{3}}{σ_{1}})}{1001} + \frac{172560 (Σ_{ķ = 1}^{4} \frac{Ë^{Ť σ_{2}}}{σ_{1}})}{143} + \frac{101520 (Σ_{ķ = 1}^{4} \frac{Ë^{σ_{2} Ť} σ_{2}}{12 (90 σ_{2} + 45 {σ_{2}}^{2} + 9 {σ_{2}}^{3} + 70)})}{143} + 1 \\ 哪里 \\ σ_{1} = 12 (9 {σ_{2}}^{3} + 45 {σ_{2}}^{2} + 90 σ_{2} + 70) \\ σ_{2} = 根 （ {小号}_{五}^{4} + \frac{20 {小号}_{五}^{3}}{3} + 20 {小号}_{五}^{2} + \frac{280 {小号}_{五}}{9} + \frac{560}{27} ， {小号}_{五} ， ķ ） \end{array}$

yPade45 = VPA（yPade45）

yPade45 =
                 $3.2418384981662546679005910164486 Ë^{- 1.930807068546914778929595950184 Ť} COS （ 0.57815608595633583454598214328008 Ť ） - 2.7182817182817182817182817182817 Ë^{- 0.33333333333333333333333333333333 Ť} - 1.5235567798845363861823092981669 Ë^{- 1.4025262647864185544037373831494 Ť} COS （ 1.7716120279045018112388813990878 Ť ） + 11.595342871672681856604670597166 Ë^{- 1.930807068546914778929595950184 Ť} 罪 （ 0.57815608595633583454598214328008 Ť ） - 1.7803798379230333426855987436911 Ë^{- 1.4025262647864185544037373831494 Ť} 罪 （ 1.7716120279045018112388813990878 Ť ） + 1.0$

fplot（yPade45，[0 20]'显示名称'，'帕德逼近[4 5]'）

以下几点已经证明：

Padé逼近逼近可以模拟死区时间步投入。
与在逼近的顺序增加Padé逼近的准确性增加。
当一个极点或零点存在于扩展点，所述Padé逼近是不准确的关于扩展点。为了提高逼近的准确性，设置OrderMode选项相对的。您还可以使用增加相对分子分母的顺序。

帕德逼近

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