匹配追踪算法- MATLAB & Simulink - MathWorks印度万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

匹配追踪算法

冗余字典和稀疏性

在特定基础上表示信号涉及在该基础上找到唯一的一组展开系数。虽然在基（特别是正交基）中进行信号表示有许多优点，但也有缺点。

基提供稀疏表示的能力取决于信号特征与基向量特征的匹配程度。例如，平滑的连续信号在傅立叶基中稀疏表示，而脉冲则不是。具有孤立不连续的平滑信号用小波基稀疏表示。然而，小波基不能有效地表示傅立叶变换高频支持较窄的信号。万博1manbetx

真实世界的信号经常包含一些特征，这些特征禁止在任何单一基上进行稀疏表示。对于这些信号，您希望能够从一个集合中选择向量，而不局限于单个基。因为你要确保你可以表示空间中的每一个向量词典从中选择的向量数必须跨越空间。但是，由于集合不限于单个基，字典不是线性独立的。

因为字典中的向量不是线性独立的集合，所以信号在字典中的表示不是唯一的。然而，通过创建冗余字典，您可以在一组向量中扩展信号，以适应信号的时频或时间尺度特征。您可以自由地创建由几个基的联合组成的字典。例如，你可以为由小波包基和局部余弦基组成的平方可积函数空间形成一组基。小波包基可以很好地适应在不同频率区间内具有不同行为的信号。局部余弦基可以很好地适应在不同时间间隔内具有不同行为的信号。从这些基中选择向量的能力大大提高了稀疏表示具有不同特征的信号的能力。

字典中的非线性逼近

定义一个词典作为信号空间的单位范数基本构建块的集合。这些单位范数向量称为原子．如果字典的原子跨越了整个信号空间，那么字典就是完整的．

如果字典原子构成线性相关的集合，则字典为冗余的. 在大多数匹配追踪应用中，字典是完整的和冗余的。

让{φ_K}表示字典中的原子。假设字典是完整且冗余的。没有一种独特的方法可以将来自空间的信号表示为原子的线性组合。

$x = \sum_{K} α_{K} ϕ_{K}$

一个重要的问题是是否存在最好的道路一种直观上令人满意的选择方法最好的表示是选择φ_K产生与信号最大的内积(绝对值)。s manbetx 845例如最佳单φ_K是

$\underset{K}{马克斯} | < x, ϕ_{K} > |$

对于单位范数原子，它是在φ所跨越的子空间上的标量投影的大小_K．

中国的中心问题匹配追踪是你如何选择最佳的M-字典中信号的术语扩展。

基本匹配追踪

设Φ表示原子字典为M>N的N×M矩阵。如果完整的冗余字典形成信号空间的框架，则可以使用框架运算符获得最小L2范数展开系数向量。

$Φ^{†} = Φ^{*} {(Φ Φ^{*})}^{- 1.}$

但是，帧操作符返回的系数向量不保持稀疏性。如果信号在字典中是稀疏的，则使用规范帧操作符获得的展开系数通常不会反映该稀疏性。字典中信号的稀疏性是您通常希望保留的特征。匹配追踪直接解决了稀疏性保持问题。

匹配追踪是一种贪婪算法，在一个完整的、冗余的字典中计算信号的最佳非线性近似。匹配追踪逐步建立信号的稀疏逼近序列。让Φ={φ_K}表示单位范数原子的字典。允许F是你的信号。

首先定义R⁰F=F
通过从字典中选择原子开始匹配追踪，使内积的绝对值最大化R⁰F=F. 用φ表示那个原子_P．
形成残差R^1.F通过减去R⁰F在φ所张成的空间上_P．

$R^{1.} F = R^{0} F - 〈 R^{0} F, ϕ_{P} 〉 ϕ_{P}$
对残差重复步骤2和3进行迭代。

$R^{M + 1.} F = R^{M} F - 〈 R^{M} F, ϕ_{K} 〉 ϕ_{K}$
当达到某个指定的停止标准时停止算法。

在非正交（或基本）匹配追踪，字典原子不是相互正交的向量。因此，从先前的残差中减去后续残差可以引入与先前包含的原子范围不正交的成分。

为了说明这一点，考虑下面的示例。本示例并不打算给出一个有效的匹配追踪算法。

考虑下面的欧几里德2-空间字典。这本词典是一个等范数框架。

${(\begin{matrix} 1. \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1. / 2. \\ \sqrt{3.} / 2. \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1. / \sqrt{2.} \\ - 1. / \sqrt{2.} \end{matrix})}$

假设你有以下信号。

$(\begin{matrix} 1. \\ 1. / 2. \end{matrix})$

下图说明了此示例。字典是红色的。信号向量是蓝色的。

在MATLAB中构造这个字典和信号^®．

字典= [10 0;1/2倍根号(3)/ 2;1 /√(2)1 /√(2)];X = [1 /2]';

计算信号和字典原子之间的内部(标量)乘积。s manbetx 845

scalars manbetx 845products =字典' * x;

绝对值上最大的标量积出现在信号和之间[-1/sqrt（2）；-1/sqrt（2）]. 这很清楚，因为两个向量之间的角度几乎是π弧度。

通过减去信号的正交投影形成残差[-1/sqrt（2）；-1/sqrt（2）]从信号。接下来，计算残差(新信号)与剩余字典原子的内积。s manbetx 845没有必要包括[-1/sqrt（2）；-1/sqrt（2）]因为通过构造剩余向量正交于这个向量。

剩余= x-scalarproducts manbetx 845s(3) *词典(:,3);scalars manbetx 845products =字典(:1:2)*残余;

绝对值中的最大标量积由以下公式获得：(1, 0). 字典中两次迭代中最好的两个原子是[-1/sqrt（2）；-1/sqrt（2）]和(1, 0). 如果对残差进行迭代，您会看到输出不再与所选的第一个原子正交。换句话说，该算法引入了一个与所选第一个原子的跨度不正交的分量。这一事实以及与趋同相关的复杂因素支持正交匹配追踪（OMP）。

正交匹配追踪

在正交匹配追踪(OMP)中，残差总是与已选原子的跨度正交。这使得a收敛D-维向量后最多D步骤。

从概念上讲，可以通过使用Gram Schmidt创建一组正交原子来实现这一点。对于一组正交原子，你可以看到D-维向量，你最多能找到D正交方向。

OMP算法为:

用符号表示你的信号F．初始化剩余R⁰F=F．
选择内积绝对值最大的原子R⁰F=F. 用φ表示那个原子_P．
形成一个矩阵，Φ，以先前选择的原子作为列。将正交投影操作符定义到Φ．

$P = Φ {(Φ^{*} Φ)}^{- 1.} Φ^{*}$
对残差应用正交投影操作符。
更新残差。

$R^{M + 1.} F = (我 - P) R^{M} F$

我是单位矩阵。

正交匹配追踪确保在之前选择的原子跨度中的组件不会在后续步骤中引入。

弱正交匹配追踪

将所选原子使内积绝对值最大的标准放宽为较不严格的标准，在计算上是有效的。

$| 〈 x, ϕ_{P} 〉 | \geq α \underset{K}{马克斯} | 〈 x, ϕ_{K} 〉 |, α \in (0, 1.]$

这被称为弱匹配的追求。

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