好吧,是时候继续二阶方程。一阶方程,我们做的非常仔细。二阶方程更硬。但他们出现在自然界中,每个应用程序,因为它们包括加速、二阶导数。
好,那么这将是一个二阶方程,因为二阶导数。我经常会有常数a, b, c。我们有足够的困难没有让这些改变。a, b, c常数,和做空的解决方案。以后,会有一个强迫项的右边。但是今天,视频,零的解决方案。万博 尤文图斯
,关键是,现在,新的,有两个空的解决方案。万博 尤文图斯y零将e的组合,它们都是指数。有常系数意味着指数在解决方案。所以e指数之和,另一个,希望不同的指数。有时如果s1与s2,那将是一个特殊情况,我们会有一个细微的变化。但这是典型的。
我们有两个常数,c1和c2,零的解决方案。万博 尤文图斯我们需要两个初始条件来确定这些常数。
所以以前,一阶方程,我们得到y为0。现在,当加速度,我们给初速度,y ' (0。我可以用'作为导数的速记?dydt y ' (0, 0。
所以两个条件,在正确的时间,确定这两个常数。再说一遍,所以二阶导数将y ' '。代表,在物理学中,它代表了加速度,速度变化量,改变y ' y ' '。
函数的图像,y ' '出现在弯曲的图。因为弯曲是一个斜率的变化。弯曲是一个斜率的变化。斜率是y ',一阶导数。测量改变y ',将弯曲的图,我的粉笔切线。但如果这变化,给了我们一个y ' ',一个二阶导数。
好的,所以我准备一些例子。和第一个例子——最基本运动方程在物理和工程,我想说——它叫做简谐运动。和b = 0,这是关键。b = 0。
这是牛顿定律。因此将质量m . y ' ', ' '。b = 0。后,b将阻尼项,摩擦,阻力项。但是我们有0。所以我们要有永恒的运动,在这里。加的力,这就是牛顿定律。马是f, f = ma。力成正比,与一个负号,所以会在这边加,正比于y。方程。
没有y '。我的' ',加上肯塔基州= 0。从初始位置和初始速度,就像一个弹簧上下,或时钟钟摆来回。我们会看到它,所以它将是,我们想要解决这个方程。
所以我们看到的解决方案?万博 尤文图斯如果m和k 1,假设m和k 1。我在找一个二阶导数和函数是0。二阶导数是减函数。我立即想到正弦t, cos t。正弦和余弦,因为二阶导数,正弦函数的一阶导数是余弦函数。二阶导数是-正弦。它给了我们负号,加号,0。所以这里的特殊解决方案是y——万博 尤文图斯这是零。我发现零解。是,我称之为c1 * cos。
现在我要找出cos什么?我想要满足余弦,一个空的解决方案,满足我的方程。我把它。如果有一个√k / mt。
你必须看到,如果我用余弦函数的二阶导数,会产生- cos,我想要的。因此,链将两次平方根。所以它将因子k / m y ' '。因素,k / m, m将取消和我相匹配的k, k。这是一个解决方案。
和其他解决方案只是喜欢它。这是正弦。sin这个根k / m, t。值得把一盒。这就是我意思自由简谐运动。什么是振荡。在旋转的问题,只是以一个恒定的速度绕一圈。
注意,这些都是不一样。余弦相关指数,但又不完全相同。我可以这样写答案,用余弦和正弦。或者您将看到,我可以编写使用指数相同的公式,复指数。大家记得大公式允许在这是欧拉公式,复数的指数iωt是余弦+ i乘以sin(ωt。我会写一遍。
这就是解决方案。它有两个空的解决方案。万博 尤文图斯他们是独立的。它们是不同的。我们有两个常数。因为我们的方程是线性的,我们可以安全地乘以任意常数,并添加解决方案,和他们的解决方案,因为我们有一个线性方程,右边和0。万博 尤文图斯好。
当然,我们不能永远写这√k / m。让我做什么每个人——介绍ω。这是ω自然。n代表的自然频率,这个时钟的频率。这就是√k / m。
所以我们的方程,我们可以重写方程。让我重写这个方程以使它简单。我要除以m。没问题,除以m。所以我有y ' ', + k / m,ωn的平方,固有频率的平方。y = 0。让我们把一盒左右,因为你不能比这更好。
常数是1。常数b = 0。常数c是一种已知的ωn的平方,根据摆本身。好的,然后解决方案,我就万博 尤文图斯复制这个解决方案。y null c1 cosωnt。当然,ωn平方十字架。和c2 sinωnt。
哦,等一下。我可以算出c1和c2,来自初始条件,对吧?初始条件,如果我插入t = 0,那么我想答案y为0。已知的初始条件,钟摆开始摆动,春天的地方,你把春天距离y为0。你放手。
在t = 0时,我插入t = 0,在t = 0,这是0。忘记正弦。这是1。所以我发现c1应该y为0。简单。c1是y为0。因为这给我正确的答案,在t = 0。
c2呢?我可以找出c2吗?这涉及到初始速度,导数,在t = 0。因为正弦函数的导数是cos,等于1在t = 0,这是正弦函数的导数,这是0。所以,当我看着y ',导数,我希望在t = 0。我希望y ' (0。
但是我不只是想要y ' (0。你看到没有正确的导数,在t = 0吗?因为当我求导和ωn不变,你记得这个常数的导数,这将带来一个ωn。所以我最好有一个ωn下面取消它。现在我懂了。
告诉我运动,直到永永远远。能源是恒定的。势能和动能,我可以谈论能量。但我不会。这个运动持续永远,免费的简谐运动。好的,等等。好的。再一次,我可以写这方面的复指数。但是,我很满意。很难击败这种形式。
好的,还能做什么。首先,我们要有余弦ωt持续很长一段时间。我最好画简单的图形,熟悉的函数。这里的余弦ωt图。所以这是t。这是cosω。这里是0。这是2——好吧,让我看看。
所以我去cos(ω,cosωt就是我画的,不是余弦t。余弦t会从0到2π。但是我有cosωt。所以cosωt是我想图。所以从1开始,它回来。它下降,回来,回来。但这个t最终是什么?这个时期,t是振荡的周期。这是时间swing和背部。这是什么呢?这将是——所以我绘图cosωt,就是我绘图。
所以ωt从0开始,t = 0。它上升——所以我希望ωt,当我到达这里时,这种ωt应该2π。对吧?我已经完成了余弦,周围一圈圆,钟摆来回运动之一,现在在这张照片。ωt是2π,对吧?正确的。
周期是t。我认为ω的圆频率。ω是弧度每秒。的单位。和单位真正跟踪很重要。ω,这是ω,弧度/秒,当我乘,t在几秒钟内,我得到2π弧度。
现在,工程师和在日常使用中,还有另外一个频率f,呼吁频率可能。好的,所以你应该知道f。赫兹的频率。所以f以赫兹H-E-R-T-Z命名的家伙。不是番茄酱的家伙,但是,哦,这是亨氏。很抱歉。
赫兹,而不是汽车,那就是我想说的,但是德国人参与,早期,这些东西。那么f是什么呢?f * t = 1。而不是处理2π,数到弧度,1只计算完整的循环,完成振荡。所以f知道ω相比,f是2π较小的因素。所以f * t = 1。f是1 / t。ω是2π除以t。所以把这些放在一起,我想说的是,ω是2π乘以f。
所以,当我们说我们要60周期——这就是我将测量特遣部队。f的周期,周期每秒。一个周期,2π弧度。这不是大,重数学。但它比很多数学更重要,就直接把这些字母。
所以T、周期和频率的两项措施。一是ω弧度/秒,其他全部是f周期每秒。所以一个是2π乘以另一个。好。好的。我们有这个。好的。
我想我们这里的关键思想,然后,永远的运动,纯振荡。我只写我已经提到。一种不同的方式来表达yn将小c, e iωnt, c2 e - iωnt。
我想说的是,这种形式,指数,完全相当于这种形式,余弦和正弦。的形式让我两个常数,资本C1和C2。这种形式让我两个常数,小家伙和c2。从那,我有这个。从这,我有这个。这里确实有指数。的关键信息是,纯振荡,这些指数是纯虚数指数,我ωnt。
好了,这就是最好的例子,举个最简单的例子,第一个例子。谢谢。
