我希望你能看到线性代数的大局。我们不做,在这组视频,一个完整的线性代数课程。已经在1806年开放课程。现在我专注于微分方程,但你必须看到线性代数。
这意味着子空间方法。其中有四个大局。和我们之前的视频描述列空间和零空间。现在,我们有两个,四个。让我看看这个矩阵的子空间,把它们放在大局。
第一个空间我看行空间。现在,行空间这些行向量1,2,3和向量4,5,6,两个向量,所有的组合。在线性代数的关键理念,线性组合。1、2、3是三维空间的向量。4、5、6是另一个。
现在,如果我把所有的组合,你想象,如果我有两个向量,我将它们添加,我得到另一个向量在同一个平面上?或者如果我减去他们,我仍然在飞机。或者如果我拿五1和3的另一个,我仍然在飞机。我填满飞机,当我把所有的组合。所以行空间,我可以在这里试着画一幅画吗?
这是一个平面。这是行空间。我就行。在平面向量1、2、3和向量4、5、6这两行。飞机让我们的组合。好吧,我不能画无限平面在麻省理工学院的黑板上。但是你懂的。这是一个平面。我们坐在三个维度。
现在,另一个,所以有更多的。我们只有一个——一个平面,平面部分,像一个桌面,扩展到正无穷,但不是填3 d因为我们有另一个方向。在另一个方向是零空间。这是好事。
所以我想知道矩阵的零空间。我想解决零空间,N的——我解决Av = 0。所以一些组合的三列会给我0列。我把它写在一个0列。
v可以什么?的组合,列,这一列,这一列给0,0 ?现在,我知道,因为我有一些有趣的组合,只有两个方程三个未知数,v1、v2、v3。我想乘以v1、v2, v3。所以我有三个未知数,但我只有两个0,只有两个方程。
如果我有三个未知数和两个方程,将会有很多的解决方案。万博 尤文图斯我可以看到一个。你认为,如果我说,我得到4,10 - 4是一样的,10是一样的2 * 2,5。
换句话说,我相信v等于——如果我把1的第一和第三,如果我减去2的第二列,所以Av会给我1的第一列,第三列,1减去2的第二列会给我0,0。这是我的零空间。零空间头在这个方向,方向1,- 2,- 1。
但是,当然,我被v乘以任意数量更多的解决方案。万博 尤文图斯10倍向量仍然会给我0和还在零空间。所以我真的——零空间是一个行向量。那就是向量和向量的任何的倍数。这是一个整个无限的线,这是一个一维子空间,零空间。
所以零空间我的照片——这是零空间。它不是很厚是它,因为它只是一条线。所以我将称之为N,这条线。好吧,你看我想画一个三维空间。这条线是双向。但它是垂直于这个平面。这是令人难以置信的一部分。这是美妙的。
这条线,零空间,垂直于这个平面,行空间。你想知道为什么吗?你想看到它吗?因为如果我乘以v, 1, 2, 3次诉1,2,3是垂直的。我怎么检查两个向量垂直的?1、2、3点积。1,- 2,1,点积是1 * 1,- 2 * 2——4——+ 3 * 1,3。1 - 4 + 3 = 0。同样,4 - 10 + 6 = 0。
这是一个直角。这是一个直角,90度之间这两个子空间。再一次,在这个例子中,一个空间是二维的,一个平面。另一个空间是一维的,垂直的线。我可以带我的手,但我不能画在这个平面上。我有飞机无限远,线垂直于它和会议,当然,在0 - 0。
解决Av = 0,也——这是一个组合,一个0的行组合。一半的大局,行空间和零空间。
现在,我准备好另一半,这是一个第二侧,右手边的大图片包含列空间首先。这个矩阵的列空间是什么?
所以一个矩阵的列空间,我们把所有的组合这三列。并将填写一份空间。现在,我所以我把向量1,4。我把向量2,5,也许在那里。然后我也把向量3,6。好,我有三列。我数3,6。好。
把这些组合的向量,得到什么呢?这是一幅在两维空间因为这些列是在二维空间中,1、4;2、5;3、6。当我的组合1、4和2,5,这些都是在不同的方向。二维空间的组合已经给我所有,所以列空间是整个空间,包括0,0,因为我可能需要0(1 + 0的向量。
,第三列不能贡献新的东西。坐在列空间。这是这两个的组合。但前两个是独立的。他们的组合给整架飞机。所以列空间是整个平面。列空间。
没有太多的房间为我们的第四子空间。但第四子空间,在这个例子中,是非常小的。让我告诉你关于第四子空间。所以我们知道零空间,N a .我们知道列空间C a零空间的这张照片。列空间那张照片。
现在,行空间的名称是什么?好吧,如果我转置矩阵,行空间变成列空间。行成列转置矩阵的转置。所以通过置换矩阵,它把这两行变成两列。这就是我。
行空间是——这是转置矩阵的列空间。我喜欢它。我不想行空间引入一个新字母。我喜欢刚刚列空间和零空间。所以我,我好去转置。现在,那是什么第四个家伙?
哦,只要美,优雅的一般原则。如果我有列空间和零空间的,如果我有列空间的转置,第四个家伙转置矩阵的零空间。对不起,我写道,这么小,这么小。但我写这篇文章有点大。
转置矩阵的零空间,所有的w解这个方程。A ' w = 0。转置矩阵的零空间w的解决这个方程。这个方程看起来像什么?哈!这个方程——A '会有两列。所以A ',这将是w1的第一列。1、2、3,当我转置。和第二列的w2, 4、5、6等于0,0,0。
好吧,现在我已经有了,——因为我的零空间矩阵是2×3,第四子,我有三个方程,只有两个未知数,w1和w2。事实上,唯一的解决方案是w1 = 0,那等于0万博 尤文图斯,因为这是唯一的方法我可以组合——这是唯一的组合这个向量和这个向量,给我是0,0。
你看到的——在这个例子中,转置矩阵的零空间——A '的零空间——只是我称之为0子空间。只有一个微不足道的子空间向量,0。但是没关系。它遵循的规则子空间。完成四子空间的照片。
在其他的例子中,我们可以有四个非零子空间。但是我们两个在这里,在一起,完成完整的N维空间。在这里,我们有两个共同完成完整的M维空间。在这里,这个矩阵,M是2,所以,这是完成。R2的列空间都是在这种情况下。
所有的二维空间列空间,而没有留下任何余地左零空间,零空间的转置。所以你看到的照片吗?再次让我们可能只是草图,用干净的董事会。
所以我有行空间。我画一下也许会这样,行空间。和垂直于零空间。的,我们在N维,他们是垂直的,那些空间。
然后,在这里,我有列空间。和垂直于左零空间。我们在M维度。这些是我们的四子空间。他们——他们坐在N维空间,其中的两个,他们两个在M维空间,垂直的。我可以告诉你一些关于他们的维度。
这行空间,在这个示例中,是二维的。这是一个平面。一般来说,维数等于假设r .这是一个重要的数字,噢,这是一个关键数字。也许,我最好单独谈论一个矩阵的秩。但是我会完成这里的想法。
所以行空间的维数是独立的行数。我叫r和美丽是这个数量相同的维度。尺寸也是排名r .我能说很棒的事实在一个句子吗?行空间列空间和有相同的尺寸。
独立的行数等于独立列的数量。就像一个奇迹,一个巨大的矩阵,说57到212年,可能有40个独立的行。然后,会有40个独立的列。然后是零空间和左零空间剩下的维度。所以零空间维数N - R的,因为,他们一起维N。
这尺寸M - R,因为他们有尺寸M .尺寸的图片。让我说一下尺寸的概念在一个单独的视频。谢谢你！
