秩序,命名约定|在MATLAB求解常微分方程
从系列:在MATLAB求解常微分方程
MATLAB ODE求解器的名称的数字反映其顺序和结果的准确性。一个方法据说p阶如果削减一半的步长减少了错误在一个步骤2的倍功率p + 1。
数值方法的一个非常重要的属性是它的秩序。方法的准确性的步长功率成正比。和这种力量叫做秩序。
如果h是步长和p是秩序,那么错误的一步正比于h p + 1。和错误在遍历整个区间正比于H p。
这意味着,如果你使用一个p阶的方法,和步长切半,你可以预计总体误差减少2倍p。数值方法的顺序是由泰勒级数分析涉及的推导方法。但是我们也可以做一个实验来确定订单。
这就是这个项目的作用。输入的名字是ODE求解器进行求解。然后它会做一个常微分方程的数值积分,只涉及t。所以结果是不可或缺的价值。1 / (1 + t的平方的积分,从0到1。
我们知道确切的回答是1/2。所以我们积分微分方程两次,一次一个步长为0.1,然后一个一半的步长。积分微分方程,以最后的y值的两个集成,比较这些价值观和准确的答案,把这两个值的比值。显示有多少错误当我们减少步长减少一半。
log 2的比率是订单。它应该是一个整数,所以我们可以四舍五入到最近的整数,并返回该值作为该函数的价值。让我们运行我们的实验ODE1第一。
我们步长为0.1,此方法积分为0.5389,不是很准确。步长切半,0.5191。这是两个的比率。log以2等于1。所以ODE1秩序1。
现在ODE2——0.1步长。0.499。把它切成一半,0.4998。的比率接近4。所以ODE2,与这个实验我们发现,订单2。
现在,让我们尝试经典龙格-库塔。这就是为什么它是如此受欢迎。这是非常准确的。我们步长为0.1,接近1/2。步长切半,我们变得更近了。这两个是接近16的比率。log 2等于4。4实验,所以ODE4秩序。
所以我们发现,至少在这一实验中,ODE解决1,2,4,订单1,2,4。所以你们可能意识到,这就是为什么我们叫他们赋1,2,4。
这就引出了命名约定在MATLAB函数颂歌套件。所有的函数名称ODEpq主题的变奏。这意味着订单p和q的方法ODEpq使用方法我们得到的,在我们的名字,赋1,2,4。
这是一个锻炼。修改订单x做进一步的实验涉及解决我们的颂歌。改变它做其他积分。和检查的顺序赋1,2,4。
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