我想说明通过运行数值刚度的重要概念,主要的MATLAB的ODE求解器,在火焰的例子。微分方程是y ' y的平方- y立方,我要选择一个相当——一个极其微小的初始条件,10的-第六位。t的最终值是2 / y零,我要实行适度的精度要求,10的-第五。
现在让我们用默认运行数值输出。现在,看到它——这里的移动非常缓慢。采取很多措施。所以我需要——按下停止按钮。工作非常努力。让我们放大看看为什么采取很多措施,非常密集的步骤。
这是刚度。我们满足精度要求。内的所有这些步骤10的-第六之一,但它是采取了非常小的步骤去做。这些步骤如此之小,以至于图形甚至不能辨别的步长。
这是刚度。这是一个效率的问题。这是我们要求做的事情。满足精度要求,但它有非常小的步骤去做。
让我们试试另一个ODE求解器,ode23。只是改变这23,看看它。这也是因为同样的原因采取非常小的步骤。如果我们放大了,我们将会看到同样的行为。但它是采取非常小的步骤以达到预期的精度。
现在让我来介绍一个新的解算器,ode23s。刚度的年代。这是旨在解决僵硬的问题。和繁荣,它上升,把角落里,它只需要几步到最终结果。它很快将角落。
我们会看到ode23s是如何工作的,但首先我们来定义刚度。这是一个定性的概念没有一个精确的数学定义。它取决于这个问题,也解决者和精度要求。
但这是一个重要的概念。我们说一个问题是硬如果所寻求的解决方案非常缓慢,但也有附近非常迅速的解决方案。万博 尤文图斯因此,数值方法必须采取小步骤,获得令人满意的结果。
僵硬的常微分方程必须隐式方法。他们必须涉及公式涉及后退的前进步伐。这些方法的原型是向后欧拉方法,或隐式欧拉方法。
这个公式,它涉及——定义了y (n + 1),但并没有告诉我们如何计算它。我们必须解决这个方程y (n + 1)。我不会详细说明我们如何去做。它涉及一个牛顿法——需要知道导数,或一个近似的导数f。但这给你一个想法你可以预期的僵硬的方法。
我喜欢做一个类比在的一个插槽峡谷徒步在西南。显式方法ode23和45采取措施在墙上的峡谷,来回的峡谷,沿着峡谷非常缓慢的进展。而隐式方法,比如ode15s,沿着峡谷向前看,向前看,你想去的地方,峡谷的取得快速的进步。
ode23s硬解算器,使用隐式二阶公式和一个关联的三阶误差估计量。偏导数的计算对t和f在每一步,这是昂贵的。它有效的原油错误公差,像平面精度。它有相对较低的开销。
相比之下,僵硬的解算器ode15s,可以配置为使用可变阶数值微分公式,NDF或向后微分公式快速公车提供有关。没有的情况下,可以节省几个值函数在前面的步骤。订单变化自动一至五,它计算偏导数的次数少,当时看到效率更高的公差23。
