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gydF4y2Ba制約付きの最小化は,スカラー関数f (x)の局所的最小値のベクトルxを見つける問題です。このxには制約があります。
第1次のつ以上の式が成り立つ必要があります。<年代pan class="inlineequation">c (x)≤0,测查(x) = 0, x·≤b, Aeq·x =说真的,l≤x≤u年代pan>。半無限計画法で使用される制約もあります。
优化工具箱™のソルバーで使用される多くのメソッドは,<年代pan class="emphasis">“信頼領域法”を基にしています。信頼領域法はシンプルなものですが最適化では重要な概念です。
gydF4y2Ba最適化の信頼領域法のアプローチを理解するために制約なし最小化問題を考え,f (x)を最小化します。ここで関数はベクトル引数を取り,スカラーを出力します。n空間の点 x を想定し、より小さい関数値へ移動して最小化を行う場合を考えてみましょう。基本的な概念は、シンプルな関数 q で f を近似することです。この関数は、点 x の近傍 N で関数 f の挙動をよく表すものです。この近傍が信頼領域です。テスト ステップ s が N における最小化 (または近似最小化) によって計算されます。信頼領域の部分問題を次に示します。
(1)年代trong> |
F (x + s) < F (x)年代pan>の場合,現在の点がx + sに更新されます。そうでない場合は現在の点は変更されず,信頼領域Nは縮小され,テストステップの計算が繰り返されます。
f(x)を最小化するための信頼領域を決める上で重要な問題は,近似问(現在の点xで定義)の選択および計算方法,信頼領域Nの選択および変更方法,信頼領域の部分問題を解く精度です。この節では制約なしの問題に焦点をあてます。変数上に制約があるために複雑度が増す問題については、後節で取り扱います。
標準的な信頼領域法(
ここでgは現在の点xにおけるfの勾配です。Hはヘッセ行列(2次導関数の対称行列)です。Dは対角スケーリング行列であり、Δ は正のスカラーです。∥ . ∥ は 2 ノルムです。式 2を解くために適したアルゴリズムがあります(
このようなアルゴリズムにより
2次元の部分空間は,以下に示す
このように年代を選択する背景の考え方は,最急降下方向または負の曲率方向にグローバルな収束を進めることと,ニュートンステップが存在する場合は,これを介して迅速にローカルな収束を達成することです。
信頼領域法の概念を使用した制約なしの最小化の概要は以下になります。
2次元の信頼領域の部分問題の定式化
テストステップ年代を決めるため,
F (x + s) < F (x)年代pan>の場合,<年代pan class="inlineequation">X = X + s年代pan>とします。
Δを調節します。
これら4つのステップは,収束するまで繰り返されます。信頼領域の大きさΔは標準的な規則に基づいて調整されます。特に,使用するステップが適用されない場合,すなわち<年代pan class="inlineequation">F (x + s)≥F (x)年代pan>の場合,内点集合は小さくなります。詳細は
gydF4y2Ba优化工具箱のソルバーは特定の関数fの重要かつ特別なケースをいくつか扱います。非線形最小二乗法,二次関数,線形最小二乗法を考えてみましょう。しかし,根底に存在するアルゴリズムは,一般的な場合と同じです。これらの特別な場合は後続の節で説明します。
年代ect我on>線形方程式系<年代pan class="inlineequation">惠普= - g年代pan>の大きな対称正定値システムを解く一般的な方法は,前処理付き共役勾配法(PCG)です。この反復法は,形式H·vの行列ベクトル積を計算する機能を必要とします。ここでvは任意のベクトルです。対称正定値行列MはHの<年代pan class="emphasis">“前提条件子”です。すなわち,<年代pan class="inlineequation">M = C<年代up>2年代pan>です。ここで,<年代pan class="inlineequation">C<年代up>1HC
gydF4y2Ba最小化の過程で,ヘッセ行列Hが対称と仮定します。しかし、Hは強い最小化子の近傍の中でのみ正定値であることが保証されます。PCGアルゴリズムは、負または 0 の曲率方向が検出された場合に終了します (<年代pan class="inlineequation">d<年代up>T高清≤0年代pan>)。PCG出力方向 p は、負の曲率方向またはニュートン システム<年代pan class="inlineequation">惠普= - g年代pan>への近似解のどちらかです。いずれにせよpは信頼領域法のアプローチで使用される2次元部分空間を定義するために役立ちます(
線形制約は,制約なしの最小化問題に対して記述された状況を複雑にします。しかし,前述の基本的な考え方は,明確かつ効率的な形で踏襲されます。优化工具箱のソルバーの信頼領域法は、厳密に実行可能な反復処理を行います。
一般的な線形等号制約付き最小化問題は,次のように表現されます。
ここで,はm行n列(<年代pan class="inlineequation">m≤n年代pan>)の行列です。いくつかの优化工具箱のソルバーは一を前処理し,A<年代up>T陆の分解をベースにした手法(参考文献
ここでgydF4y2Ba
は一を近似(ランクを失わないという条件で一の小さな非ゼロがゼロに設定される)し,CはHへのスパース対称正定値近似,すなわち<年代pan class="inlineequation">C = H年代pan>です。詳細は
ボックス制約問題は,次のように表現されます。
ここでlは下限を表すベクトル,uは上限を表すベクトルです。lの要素のいくつか (またはすべて) は –∞ にすることができ、u の要素のいくつか (またはすべて) は ∞ にすることができます。この方法は厳密な意味で実行可能点の列を生成します。ロバストな収束挙動を達成しながら、可能領域を維持するために 2 つの手法が使われます。1 つ目の手法ではスケーリングされた変更ニュートン ステップが (2 次元の部分空間 S を定義するために) 制約のないニュートン ステップと置き換わります。2 つ目の手法では反射がステップサイズを増加させるために使われます。
gydF4y2Baスケーリングされた変更ニュートンステップは
ここでgydF4y2Ba
はベクトルv (x)<年代pan class="inlineequation">1≤I≤n年代pan>の範囲で次のように定義されます。
g<年代ub>我年代ub>< 0および<年代pan class="inlineequation">u<年代ub>我年代ub><∞年代pan>の場合,<年代pan class="inlineequation">v<年代ub>我年代ub>= x
g<年代ub>我年代ub>≥0および<年代pan class="inlineequation">l<年代ub>我年代ub>>-∞年代pan>の場合,<年代pan class="inlineequation">v<年代ub>我年代ub>= x
g<年代ub>我年代ub>< 0および<年代pan class="inlineequation">u<年代ub>我年代ub>=∞年代pan>の場合,<年代pan class="inlineequation">v<年代ub>我年代ub>= 1とします。
g<年代ub>我年代ub>≥0および<年代pan class="inlineequation">l<年代ub>我年代ub>=-∞年代pan>の場合,<年代pan class="inlineequation">v<年代ub>我年代ub>= 1年代pan>とします。
非線形システム
の第k反復における線形システムの解として定義されています。ここで
および以下となります。
ここでJ<年代up>vvは||のヤコビアンの役割をします。対角行列J<年代up>vの個々の対角要素は0,1,1のいずれかに等しくなります。lとuのすべての要素が有限ならば,<年代pan class="inlineequation">J<年代up>v=诊断接头(签署(g))年代pan>になります。<年代pan class="inlineequation">g<年代ub>我年代ub>= 0の点では,v<年代ub>我年代ub>は微分可能にならない可能性があります。そのような点では,<年代pan class="inlineequation"> が定義されます。このような微分不可能性は,v<年代ub>我年代ub>がどの値を取るかは重要でないため,問題とはなりません。さらに,| v<年代ub>我年代ub>|はこの点でもまだ不連続となりますが,関数<年代pan class="inlineequation">| v<年代ub>我年代ub>|·g<年代ub>我年代ub>年代pan>は連続です。
2gydF4y2Baつ目の手法では
制約付き最適化における一般的な目的は,問題をより解き易い部分問題に変換し,部分問題を繰り返しの過程の基準として使用することです。初期に開発された多くの手法の特徴は,制約付き問題を,制約境界に近接または超過している制約にペナルティ関数を使って,基本的な非制約問題に変換することです。このように制約付き問題は,制約された問題に収束する(シーケンスの)範囲で制約されていないパラメータ化された最適化のシーケンスを使用して解決されます。現在,これらの方法は比較的効率が悪いと考えられており,
gydF4y2Ba一般的な問題GP (
gydF4y2Ba最初の方程式は,解の点で目的関数とアクティブな制約条件との間で勾配がキャンセルされることを示しています。勾配をキャンセルするためには,目的関数と制約勾配との大きさの違いを平衡させるために,ラグランジュ乗数(λ<年代ub>我年代ub>我= 1,…,m)を必要とします。アクティブな制約のみがこのキャンセル操作に含まれるので,非アクティブな制約はこの操作に含まれることはないはずであり,与えられたラグランジュ乗数はゼロに等しくなります。これはキューン・タッカー式の最後の2つの方程式によって陰的に述べられています。
gydF4y2Ba马の解は多くの非線形計画法アルゴリズムの基礎となっています。これらのアルゴリズムは,ラグランジュ乗数を直接計算しようとしています。制約付き準ニュートン法は,準ニュートン更新手法を使用する马方程式に関して2次の情報を集めることにより,超線形収束を保証します。QP部分問題がそれぞれの主な反復で解かれるので、これらの方法は一般に逐次二次計画法 (SQP: Sequential Quadratic Programming) と呼ばれています (Iterative Quadratic Programming 法、Recursive Quadratic Programming 法、Constrained Variable Metric 法としても知られています)。
“激活集”アルゴリズムは大規模なアルゴリズムではありません。
逐次二次計画法は,非線形計画法の中で最先端の技法です。たとえばSchittkowski
gydF4y2Ba比格斯
GP(
ここで
(14)年代trong> |
この部分問題は,どのQPアルゴリズムでも解くことができます(例は,
x<年代ub>k+1= x
ステップ長パラメーターα<年代ub>kはメリット関数内で十分な減少が得られるように適当なライン探索手法により決められます(
gydF4y2Ba非線形の制約付き問題は,SQP法を使った制約なし問題よりも少ない反復回数で解けることもあります。この理由の一つは,可能領域上に限定されているためで,オプティマイザーが探索方向とステップ長に関して情報に基づく決定を行っていることが一因しています。
制約なしの場合は140回の反復であるのに対して,SQP法を使って解くと96回の反復になります。
図5 - 3,非線形制約付き。関数におけるSQP法年代trong>
SQP法は,次の小節で簡単に論議されている3つの部分から作られています。
ヘッセ行列の更新年代trong>主要な各反復でラグランジュ関数のヘッシアンの正定値準ニュートン近似Hは,<年代pan class="inlineequation">λ<年代ub>我年代ub>我= 1,…,m年代pan>をラグランジュ乗数の推定とする蓄热法を使って計算されます。
ここでgydF4y2Ba
鲍威尔
ここでgydF4y2Ba
wは<年代pan class="inlineequation"> が正になるまでシステマチックに増加します。
関数fmincon、
fminimax、
fgoalattain、
fseminfは,すべてSQP法を使います。
黑森修改两次が表示されます。QP部分問題が実行不可能な場合、
不可行が表示されます。このような表示は,原因を求めるものではなく,問題が非常に高い非線形性であるとか,通常より収束に長い時間が必要であるということを示すものです。場合によってはメッセージ
<年代trong id="f26746">二次計画法での解法-年代trong>SQP法の主要な各反復で,以下の形式のQP問題を解きます。ここで一<年代ub>我年代ub>は米行n列の行列一个の第
优化工具箱関数で使われる方法は,有効制約法(射影法として知られています)ですが,
gydF4y2Ba解を求めるステップは,2つの部分からなっています。最初の段階は(解が存在する場合)実行可能点を計算します。2番目の段階は解に収束する実行可能点の列を生成します。このメソッドでは,有効制約法<年代pan class="inlineequation"> が,求解点でアクティブな制約条件(すなわち制約境界上にある制約条件)の推定値となるように維持されます。事実上,すべてのQPアルゴリズムは有効制約法です。構造的には非常に類似しているにもかかわらず,異なる用語で記述されている多くの方法があるので,この点を強調しておきます。
<年代pan class="inlineequation"> は各反復kで更新され,探索方向<年代pan class="inlineequation"> の基底を作成するために使われます。等式制約は常にアクティブセット<年代pan class="inlineequation"> 内にあります。変数<年代pan class="inlineequation"> の表記法は,ここではSQP法の主要反復のd<年代ub>kと区別するために使用されています。探索方向<年代pan class="inlineequation"> が計算され,任意の有効制約境界上に存在したまま目的関数が最小化されます。<年代pan class="inlineequation"> の部分可能空間は,基底Z<年代ub>kから作成されます。この基底の列はアクティブセット<年代pan class="inlineequation"> の推定値に直交します(すなわち,<年代pan class="inlineequation"> )。これにより,Z<年代ub>kの列結合の線形和から形成される探索方向は,有効制約法の境界上にあることが保証されます。
gydF4y2Ba行列Z<年代ub>kは行列<年代pan class="inlineequation"> をQR分解した行列の最後の<年代pan class="inlineequation">m - l年代pan>列から形成されます。ここでlはアクティブな制約の数であり、l < m です。つまり、Z<年代ub>kは次のように与えられます。
ここでgydF4y2Ba
Z<年代ub>kが見つかるとq (d)を最小にする新しい探索方向<年代pan class="inlineequation"> が求められます。ここで<年代pan class="inlineequation"> はアクティブな制約条件のヌル空間です。つまり,<年代pan class="inlineequation"> はZ<年代ub>kの列の線形結合で,あるベクトルpに対して<年代pan class="inlineequation"> となります。
<年代pan class="inlineequation"> を置き換え,二次式をpの関数として見ると次のようになります。
pで微分すると,次の結果が得られます。
∇q (p)年代pan>はZ<年代ub>kが定義する部分空間の射影勾配であるため,二次関数の射影勾配になります。<年代pan class="inlineequation"> は射影ヘッシアンと呼ばれます。ヘッセ行列Hは(SQPのこの方法の場合)正定値であると仮定しているので,Z<年代ub>kが定義する部分空間における関数问(p)の最小値は<年代pan class="inlineequation">∇q (p) = 0年代pan>で生じます。これは次の線形方程式系の解の場合に成り立ちます。
(22)年代trong> |
ステップは次の式で計算されます。
各反復で目的関数の二次式の性質により,ステップの長さαの選択には2つの方法があります。<年代pan class="inlineequation">
に沿った単位長さのステップは,<年代pan class="inlineequation">
のヌル空間に制限された関数の最小値に向かう厳密なステップになります。制約に違反せずに,このようなステップをとることができれば,これはQPの解(
これはアクティブセットにない制約に対して定義され,方向<年代pan class="inlineequation"> は制約の境界に向かっています。すなわち,<年代pan class="inlineequation"> です。
ngydF4y2Ba個の独立した制約がアクティブセットに含まれ,最小値の位置を含んでいない場合,ラグランジュ乗数λ<年代ub>kは次の線形方程式の特異点にならないように計算されます。
λ<年代ub>kのすべての要素が正の場合,x<年代ub>kは问Pの最適解です(
<年代trong id="f26916">初期化-年代trong>アルゴリズムは実行可能な初期点を必要とします。年代问P法における現在の点が実行可能でない場合は、次の線形計画問題を解いて点を求めることができます。
(26)年代trong> |
表記一<年代ub>我年代ub>は行列の我番目の行です。
LP問題の前のQPアルゴリズムは,各反復で探索方向を最急降下方向に設定することにより変更できます。ここでg<年代ub>kは目的関数の勾配(線形目的関数の係数に等しい)です。
LP法を使って実行可能な点が求められたならば,メインのQP部分に移行します。探索方向<年代pan class="inlineequation"> は,一連の線形方程式を解いて求まる探索方向<年代pan class="inlineequation"> を使って初期化されます。
ここでg<年代ub>kは現在の反復x<年代ub>kでの目的関数の勾配です(すなわち<年代pan class="inlineequation">Hx<年代ub>k+ cです)。
问P問題で実行可能解が見つからない場合,メインのSQPルーチンの探索方向<年代pan class="inlineequation"> が,γを最小化する方向として用いられます。
<年代trong id="f26965">ライン探索とメリット関数-年代trong>QP部分問題の解はベクトルd<年代ub>kを生成し,次の新しい反復を作成するために使用されます。
ステップ長パラメーターα<年代ub>kは
鲍威尔はペナルティパラメーターを設定することを推奨しています。
これは,QP解において前の反復では活跃であったが現在不活跃的となっている制約からの正の寄与を可能にするものです。これを実装するにあたり,ペナルティパラメーターr<年代ub>我年代ub>は最初に次のように設定されています。
ここで<年代pan class="inlineequation"> はユークリッドノルムを示します。
これは,解の点において制約が活跃になる場合に,ペナルティパラメーターへの小さな勾配をもつ制約からの大きな寄与を補償します。
年代ect我on>sqpアルゴリズムは,範囲によって制約されている領域内ですべての反復ステップを取ります。さらに,有限差分ステップも範囲に従います。範囲は厳密ではありません。ステップは境界上に正確に置くことができます。この厳密な実行可能性は,目的関数または非線形制約関数が未定義または範囲によって制約される領域外で複雑であるときに便利です。
反復時に,
sqpアルゴリズムは異なるセットの線形代数ルーチンを使用して,二次計画法部分問題
sqpアルゴリズムは,制約が満たされないときの
sqpアルゴリズムは目的関数と制約関数を1つのメリット関数に結合します。このアルゴリズムは,緩和された制約に従ってメリット関数を最小化しようと試みます。変更されたこの問題により実行可能解が得られる場合があります。ただし,この方法は元の問題よりも多くの変数をもつので,
非線形制約が満たされず,試みたステップにより制約違反が増大するという状況を考えてみます。
制約付き最小化の内点法アプローチとは,一連の近似最小化問題を解くことです。元の問題は次のようになります。
近似問題
近似問題をgydF4y2Ba解くために,各反復でアルゴリズムは2種類のステップタイプの中からいずれかを使用します。
既定の設定では,このアルゴリズムはまず直接ステップを試します。直接ステップが使えない場合,CGステップを試します。直接ステップが使えない場合として、近似問題が現在の反復で局所的に凸でない場合があります。
反復の都度,このアルゴリズムは
gydF4y2Ba反復x<年代ub>jにおいて,目的関数または非線形制約関数のどちらかが複素数値,南正无穷,またはエラーを返すと,アルゴリズムはx<年代ub>jを棄却します。棄却は,メリット関数が十分に減少しなかった場合と同じ効果があります。次に,アルゴリズムは別のより短いステップを試みます。
function val = userFcn(x) try val =…%代码可以错误捕获val = NaN;结束
目的関数と制約は初期点で適切な値(
以下の変数は直接ステップの定義に使用されます。
Hはf<年代ubclass="math">μ年代ub>のラグランジュ関数のヘッシアンを示します。
J<年代ub>gは制約関数gのヤコビアンを示します。
J<年代ub>hは制約関数hのヤコビアンを示します。
S =诊断接头(S)年代pan>.
λは次の制約に関連するラグランジュ乗数ベクトルを示します。g
Λ=诊断接头(
yはhに関連するラグランジュ乗数ベクトルを示します。
eはgと同じサイズの1のベクトルを示します。
式 38は直接ステップ<年代pan class="inlineequation">(Δx,Δs)年代pan>を定義します。
この方程式は線形化されたラグランジュ関数を使用して
2gydF4y2Baつ目の変数Δを年代<年代up>-1年代up>で事前に乗算しておくことで,方程式を対称化できます。
(Δx,Δs)年代pan>に対してこの式を解くために,このアルゴリズムは行列のLDL分解を行います。(MATLAB<年代up>®低密度脂蛋白関数リファレンスページの
近似問題
メモ年代trong>
次の条件のいずれかが当てはまる場合,
問題に等式制約(範囲制約を含む)がない場合。
SubproblemAlgorithmオプションが
以降,この節では,範囲パラメーターμを更新する
予測子修正子gydF4y2Baステップは,ニュートンステップにおける線形化エラーを補正することにより,既存のフィアッコ・マコーミック(モノトーン)アプローチを加速できます。予測子修正子モードには2つの効果があります。それは,ステップの方向を(頻繁に)改善すると同時に,範囲パラメーターをセンタリングパラメーターσと適応的に更新することで,”中央パス”に沿った反復を促すというものです。なぜ中央パスによってステップサイズが大きくなり,その結果として収束が速くなるのかについては,線形計画法用の予測子修正子ステップについて論じたNocedalと赖特を参照してください。
gydF4y2Ba予測子ステップは,μ= 0(つまりバリア関数なし)で線形化されたステップを使用します。
ɑ<年代ub>年代年代ub>とɑ
次に,予測子ステップから相補性を計算します。
ここで,mは制約数です。
gydF4y2Ba最初の修正子ステップは,ニュートンの根を求めるための線形化では無視された2次項を補正します。
2次エラーを修正するには,修正子ステップ方向用の線形システムを解きます。
2つ目の修正子ステップは,中心化ステップです。中心化補正は,方程式の右側にある変数σに基づきます。
ここで,σは次のように定義されます。
ここで,μ<年代ub>Pは方程式
gydF4y2Ba範囲パラメーターの減少速度が極端に速くなるとアルゴリズムが不安定になる可能性があるため,アルゴリズムのセンタリングパラメーターσは1/100を下回らないようにします。これにより,範囲パラメーターμの減少を1/100以下に抑えられます。
gydF4y2Baアルゴリズム上,最初の修正子ステップと中心化ステップは互いに独立しているため,これらのステップは一緒に計算されます。また,予測子ステップについても,2つの修正子ステップについても,左側の行列の内容は同じです。したがって,アルゴリズム上,行列は一度因子分解されているため,その因子分解はこれらのステップすべてに使用されていることになります。
gydF4y2Baアルゴリズムは,推奨されている予測子修正子ステップがメリット関数の値
近似問題
gydF4y2Ba特にRは信頼領域の半径を示すようにし,他の変数を
そしてステップ<年代pan class="inlineequation">(Δx,Δs)年代pan>をとり,以下を近似して解きます。
ここでは,内点法アルゴリズムのいくつかのオプションの効果と意味を説明します。
HonorBounds- - - - - -
HessianApproximation——以下に設定された場合
“蓄热”:
“lbfgs”:
“fin-diff-grads”:
HessianFcn- - - - - -
HessianMultiplyFcn——ヘッシアンとベクトルの積を評価する別の関数を指定します。詳細については,
SubproblemAlgorithm——直接ニュートンステップを使うかどうかを判定します。既定の設定
オプションの完全な一覧については,选项
fseminfは
c(x)≤0,ceq(x) = 0, A·x≤b, Aeq·x = beq, l≤x≤u年代pan>が条件になります。
K<年代ub>j(x, w
半無限計画法と呼ばれる理由は変数(xとw<年代ub>j)の数は有限ですが,制約数が無限であるためです。これはxの制約が連続区間または四角形<年代ub>jの集合上にあるためです。これは点数が無限にあるため、制約が無限にあります。無限個の点 w<年代ub>jに対して
制約が無限にある問題を解くのは不可能だと思うかもしれません。
Kここで| |はベクトルKの要素数です。すなわち,半無限制約関数の数です。xを固定するために、これは範囲区間または四角形上の一般最大化になります。
fseminfはさらに,ソルバーが使用するxごとに,区分的な二次または三次近似<年代pan class="inlineequation">κ<年代ub>j(x, w
<年代trong id="brpqbpl">サンプリング点-年代trong>半無限制約関数はサンプリング点(二次近似または三次近似に使用する点)を与える必要があります。これを行うには以下を行わなければなりません。
サンプリング点w間の初期空間
年代からサンプリング点wを生成する方法
初期空間
<年代trong id="bro4wg_">サンプリング点の作成例-年代trong>2つの半無限制約K<年代ub>1とK
当isnan(s(1,1)) s(1,1) = 0.2时,初始采样间隔为%;(1、2)= 0;end %采样集w1 = 2:s(1,1):12;
fseminfは制約関数をはじめて呼び出すときに
gydF4y2Ba以下のコードは,各要素を1から100までにして正方形内のw<年代ub>2からサンプリング集合を生成します。2gydF4y2Ba番目の要素より 1 番目の要素の方が初期サンプルが多くなります。
isnan(s(1,1)) s(2,1) = 0.2;s (2, 2) = 0.5;end %采样集w2x = 1:s(2,1):100;w2y = 1: s (2, 2): 100;(天气,王寅)= meshgrid (w2x w2y);
前のコードの一部は以下のように簡略化できます。
%初始采样间隔如果isnan(s(1,1)) s = [0.2 0;0.2 0.5];end %采样集w1 = 2:s(1,1):12;w2x = 1: s (2,1): 100;w2y = 1: s (2, 2): 100;(天气,王寅)= meshgrid (w2x w2y);
fseminfは基本的に半無限計画問題を
xの現在値での
fseminfは以下の
条件は<年代pan class="inlineequation">c(x)≤0,ceq(x) = 0, A·x≤b, Aeq·x = beq, l≤x≤u年代pan>です。ここでc (x)はすべての<年代pan class="inlineequation">w<年代ub>j∈我<年代ub>j年代pan>に対して取られた<年代pan class="inlineequation">κ<年代ub>j(x, w
fseminfは,新しいが点x停止判定に見合うか(反復を停止するか)を確認します。停止判定に合わない場合は手順4に進みます。
fseminfは半無限制約の離散化を更新しなければならないかを確認し,近似的にサンプリング点を更新します。これにより,更新された近似<年代pan class="inlineequation">κ<年代ub>j(x, w