定数の列が含まれている標本データ行列yを作成し、平均が 0 で標準偏差が 1 の無作為な正規分布の外乱を加えます。

y = meshgrid(1:5); rngdefault;% For reproducibilityy = y + normrnd(0,1,5,5)

y =5×51.5377 0.6923 1.6501 3.7950 5.6715 2.8339 1.5664 6.0349 3.8759 3.7925 -1.2588 2.3426 3.7254 5.4897 5.7172 1.8622 5.5784 2.9369 5.4090 6.6302 1.3188 4.7694 3.7147 5.4172 5.4889

1 因子 ANOVA を実行します。

p = anova1(y)

p = 0.0023

ANOVA 表には、グループ間の変動 (Columns) とグループ内の変動 (错误) が示されています。SSは二乗和、dfは自由度です。全体の自由度は、観測値の総数から 1 を減算した 25 - 1 = 24 です。グループ間の自由度は、グループ数から 1 を減算した 5 - 1 = 4 です。グループ内の自由度は、全体の自由度からグループ間の自由度を減算した 24 - 4 = 20 です。

MSは平均二乗誤差で、変動の原因ごとのSS/dfです。F統計量は、平均二乗誤差の比率です (13.4309/2.2204)。p値は、この統計量の値が検定統計量の計算値より大きくなる確率 P(F > 6.05) です。p値は 0.0023 という小さい値なので、列の平均には有意な違いがあることがわかります。

標本データを入力します。

strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82...78 75 76 77 79 79 77 78 82 79]; alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st',...'al1','al1','al1','al1','al1','al1',...'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

このデータは,何克の構造化ビームの強度の研究(1987年)からのデータです。ベクトル strength は、3,000 ポンドの力が加わったとき、1,000 分の 1 インチごとにビームのたわみを測定します。ベクトル alloy では、各ビームを鋼鉄 ('st')、合金 1 ('al1') または合金 2 ('al2') として識別します。この例では alloy が並べ替えられていますが、グループ化変数を並べ替える必要はありません。

「鋼鉄のビームの強度は、2 つ以上の高価な合金で製造されたビームの強度と等しくなる」という帰無仮説を検定します。図の表示を無効にし、ANOVA の結果を cell 配列に取得します。

[p,tbl] = anova1(strength,alloy,'off')

p = 1.5264e-04

tbl=4×6 cell arrayColumns 1 through 5 {'Source'} {'SS' } {'df'} {'MS' } {'F' } {'Groups'} {[184.8000]} {[ 2]} {[ 92.4000]} {[ 15.4000]} {'Error' } {[102.0000]} {[17]} {[ 6.0000]} {0x0 double} {'Total' } {[286.8000]} {[19]} {0x0 double} {0x0 double} Column 6 {'Prob>F' } {[1.5264e-04]} {0x0 double } {0x0 double }

全体の自由度は、観測値の総数から 1 を減算した $20-1=19$です。グループ間の自由度は、グループ数から 1 を減算した $3-1=2$です。グループ内の自由度は、全体の自由度からグループ間の自由度を減算した $19-2=17$です。

MSは平均二乗誤差で、変動の原因ごとのSS/dfです。F統計量は、平均二乗誤差の比率です。p値は、この統計量が検定統計量より大きい値になる確率です。p値は 1.5264e-04 なので、帰無仮説は棄却されます。

cell 配列のインデックスを指定すると、ANOVA 表の値を取得できます。F統計量の値とp値を新しい変数Fstatおよびpvalueに格納します。

Fstat = tbl{2,5}

Fstat = 15.4000

pvalue = tbl{2,6}

pvalue = 1.5264e-04

標本データを入力します。

strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82...78 75 76 77 79 79 77 78 82 79]; alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st',...'al1','al1','al1','al1','al1','al1',...'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

このデータは,何克の構造化ビームの強度の研究(1987年)からのデータです。ベクトル strength は、3,000 ポンドの力が加わったとき、1,000 分の 1 インチごとにビームのたわみを測定します。ベクトル alloy では、各ビームを鋼鉄 (st)、合金 1 (al1) または合金 2 (al2) として識別します。この例では alloy が並べ替えられていますが、グループ化変数を並べ替える必要はありません。

anova1を使用して ANOVA を実行します。構造体statsが返されます。この構造体には、multcompareで多重比較を実行するために必要な統計量が含まれています。

[~,~,stats] = anova1(strength,alloy);

p値は 0.0002 という小さい値なので、ビームの強度が同じではないことがわかります。

ビームの平均強度について多重比較を実行します。

[c,~,~,gnames] = multcompare(stats);

比較の結果を、該当するグループ名とあわせて表示します。

[gnames(c(:,1)), gnames(c(:,2)), num2cell(c(:,3:6))]

ans=3×6 cell arrayColumns 1 through 5 {'st' } {'al1'} {[ 3.6064]} {[ 7]} {[10.3936]} {'st' } {'al2'} {[ 1.6064]} {[ 5]} {[ 8.3936]} {'al1'} {'al2'} {[-5.6280]} {[-2]} {[ 1.6280]} Column 6 {[1.6831e-04]} {[ 0.0040]} {[ 0.3560]}

初めの 2 列には、比較したグループのペアが示されています。4 列目には、推定したグループ平均の間の差が示されています。3 列目と 5 列目には、真の平均の差に関する 95% 信頼区間の下限と上限が示されています。6 列目には、対応するグループ間では真の平均の差がゼロに等しいという仮説のp値が示されています。

最初の 2 行は、最初のグループ (鋼鉄) を含むいずれの比較も、0 を含まない信頼区間をもつことを示します。対応するp値 (それぞれ 1.6831e-04 と 0.0040) が小さいので、これらの差は有意です。

3 行目には、2 つの合金の強度に有意差がないことが示されています。差の 95% 信頼区間は [-5.6,1.6] なので、真の差がゼロであるという仮説を棄却できません。6 列目の対応するp値は 0.3560 なので、この結果を確定できます。

図の青いバーは、鋼鉄の平均材料強度の比較区間を表しています。赤いバーは、合金 1 および合金 2 の平均材料強度の比較区間を表しています。どちらの赤いバーも青いバーと重なっていないので、鋼鉄と合金 1 および合金 2 では平均材料強度が有意に異なることがわかります。有意差を確認するには、合金 1 および 2 を表すバーをクリックします。