条件方差模型的MMSE预测

什么是MMSE预测?

条件方差建模的一个共同的目标是生成预测在未来时间地平线的条件方差过程。也就是说，给出的条件方差过程 σ 1 2 , σ 2 2 , … , σ N 2 和预测地平线h，生成对 σ N + 1 2 , σ N + 2 2 , … , σ N + h 2 。

让 σ ^ t + 1 2 表示时间上方差的预测t+ 1，有条件的历史进程的时间t,Ht。最小均方误差(MMSE)预报就是预报 σ ^ t + 1 2 使条件期望平方损失最小化，

E ( σ t + 1 2 − σ ^ t + 1 2 | H t ) 。

将损失函数最小化，得到MMSE预测，

σ ^ t + 1 2 = E ( σ t + 1 2 | H t ) = E ( ε t + 1 2 | H t ) 。

EGARCH MMSE预测

对于EGARCH模型中，MMSE预测发现日志条件方差，

日志 σ ^ t + 1 2 = E ( 日志 σ t + 1 2 | H t ) 。

对于EGARCH过程的条件方差预测，预测返回指数MMSE log条件方差预测，

σ ^ t + 1 2 = 经验值 { 日志 σ ^ t + 1 2 } 。

由于詹森不等式的存在，这导致了一个轻微的预测偏差，

E ( σ t + 1 2 ) ≥ 经验值 { E ( 日志 σ t + 1 2 ) } 。

作为MMSE预测的替代方法，您可以进行蒙特卡罗模拟来预测EGARCH过程。蒙特卡洛模拟为EGARCH模型提供无偏见的预测。然而，蒙特卡罗预测会受到蒙特卡罗误差的影响(您可以通过增加模拟样本大小来减少这种误差)。

如何预测生成MMSE预测

的预测的函数递归生成MMSE预测。您打电话的时候预测时，必须指定压力响应Y0，你可以选择指定样品前条件方差半使用“半”名称-值对的论点。如果预测的模型包含一个由非零信号表示的平均偏移量抵消财产,预测从压力响应中减去抵消项，从而产生压力创新。

从观测到的系列的末尾开始预测Y使用的最后几意见Ypresample反应Y0初始化预测。的初始化预报工作所需样品前体反应的最小号码存储在属性问的一个模型。

当指定压力条件方差时半，的最小数量样品前体条件方差需要初始化预测被存储在属性PGARCH (P,问)和GJR (P,问)模型。EGARCH (P,问）模型，的最小数目样品前体条件方差需要初始化预测为max（P,问)。

请注意，对于所有方差模型，如果您提供至少max(P,问）+Ppresample反应观察Y0,预测推断任何需要的样品前条件方差半为了你。如果你提供样品前的观察，但小于MAX（P,问）+P,预测设置任何必要的压力条件方差等于模型的无条件方差。

GARCH模型

的预测函数递归生成GARCH模型的MMSE预测。

考虑为一个GARCH(1,1)模型生成预测， ε t = σ t z t , 在哪里

σ t 2 = κ + γ 1 σ t − 1 2 + α 1 ε t − 1 2 。

鉴于presample创新 ε T 然后压条件方差 σ T 2 , 预测递归产生如下:

  • σ ^ T + 1 2 = κ + γ 1 σ T 2 + α 1 ε T 2

  • σ ^ T + 2 2 = κ + γ 1 σ ^ T + 1 2 + α 1 σ ^ T + 1 2

  • σ ^ T + 3. 2 = κ + γ 1 σ ^ T + 2 2 + α 1 σ ^ T + 2 2

⋮

需要注意的是创新使用的身份预测

E ( ε t + 1 2 | H t ) = E ( σ t + 1 2 | H t ) = σ ^ t + 1 2 。

这个递归收敛于过程的无条件方差，

σ ε 2 = κ ( 1 − γ 1 − α 1 ) 。

GJR模型

的预测函数递归生成GJR模型的MMSE预测。

考虑对GJR(1,1)模式作出预测， ε t = σ t z t , 在哪里 σ t 2 = κ + γ 1 σ t − 1 2 + α 1 ε t − 1 2 + ξ 1 我 [ ε t − 1 < 0 ] ε t − 1 2 。 鉴于presample创新 ε T 然后压条件方差 σ T 2 , 预测递归产生如下:

  • σ ^ T + 1 2 = κ + γ 1 σ ^ T 2 + α 1 ε T 2 + ξ 1 我 [ ε T < 0 ] ε T 2

  • σ ^ T + 2 2 = κ + γ 1 σ ^ T + 1 2 + α 1 σ ^ T + 1 2 + 1 2 ξ 1 σ ^ T + 1 2

  • σ ^ T + 3. 2 = κ + γ 1 σ ^ T + 2 2 + α 1 σ ^ T + 2 2 + 1 2 ξ 1 σ ^ T + 2 2

⋮

注意，对于一个创新过程，指标的期望值为1/2，平均值为零，并且利用恒等对创新进行预测

E ( ε t + 1 2 | H t ) = E ( σ t + 1 2 | H t ) = σ ^ t + 1 2 。

这个递归收敛于过程的无条件方差，

σ ε 2 = κ ( 1 − γ 1 − α 1 − 1 2 ξ 1 ) 。

EGARCH模型

的预测函数递归生成EGARCH模型的MMSE预测。预测最初是为对数条件方差生成的，然后取幂来预测条件方差。这导致了轻微的预测偏差。

考虑为EGARCH(1,1)模型生成预测， ε t = σ t z t , 在哪里

日志 σ t 2 = κ + γ 1 日志 σ t − 1 2 + α 1 [ | ε t − 1 σ t − 1 | − E { | ε t − 1 σ t − 1 | } ] + ξ 1 ε t − 1 σ t − 1 。

期望值项的形式取决于创新分布、高斯分布和学生分布的选择t。鉴于presample创新 ε T 然后压条件方差 σ T 2 , 预测递归产生如下:

  • 日志 σ ^ T + 1 2 = κ + γ 1 日志 σ T 2 + α 1 [ | ε T σ T | − E { | ε T σ T | } ] + ξ 1 ε T σ T

  • 日志 σ ^ T + 2 2 = κ + γ 1 日志 σ ^ T + 1 2

  • 日志 σ ^ T + 3. 2 = κ + γ 1 日志 σ ^ T + 2 2

⋮

注意，未来的绝对标准化创新和未来的创新都被它们的期望值所取代。这意味着，对于所有以未来创新为条件的预测，ARCH和杠杆条件都为零。这个递归收敛于过程的无条件对数方差，

日志 σ ε 2 = κ ( 1 − γ 1 ) 。

预测返回取幂预测， 经验值 { 日志 σ ^ T + 1 2 } , 经验值 { 日志 σ ^ T + 2 2 } , … , 这有限制

经验值 { κ ( 1 − γ 1 ) } 。

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