从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
随着指数的输入,ËST,从外部和指数级增长,Ë在,从内侧,将该溶液,Y(t)的,是两个指数的组合。
好。我们还在谈论一阶微分方程与DY DT。而且还有一个总期限成正比的平衡。这可能是对为y加息。再有就是正在取得所有的时间投入,源项,存款。
所以,我在找解决微分方程。这是微分方程的最佳功能。指数。因为指数的衍生物是指数的。这只是最简单的与工作。
和输出,该解决方案被称为指数响应。这个词响应说什么出来当E到ST进去。像以前,我们在时间0 OK一些开始存款,0初始条件y。
这是关键点,与这个漂亮的输出功能,该解决方案,或一个解决方案,一个特定的解决方案,将只是一个e将ST的倍数。因此,所有我需要做的就是找到这个数字,资本Y,和我有一个解决方案,这个等式。我该怎么做?这代入公式并求解Y.因此,让我们做到这一点。
导数这个,指数的衍生将降低因子s。所以就会有一个伊苏e将ST从衍生物。这将有等于一个乘Y e将ST,加上源项e到ST。好?我只是取代进去。
好的是,我取消了,我用e除以st,这永远不是0。所以我除以-,从e到st,再除以。它只给了我一个1。所以我有Y乘以s,Y乘以a,加1。所以让我写下这个等式,你就知道了。
这是只需S减去乘Y是1.右键?我花了时间Y和把它放在等式的左边。所以,我发现了指数响应。1点S1上减去。好。所以我有一个方程的解。
这不是结束,因为该解决方案将不匹配初始条件。那么,如何匹配的初始条件?我发现的是一个具体的解决方案,我还需要空的解决方案,均匀的溶液。因此,完整的解决方案,在T Y,这是特别ÿ。
所以资本Y,我现在知道了。所以我有一个e到st,我把Y,Y的正确值放进去,这就是我找到的特殊解决方案。加上任何零解。记住,零解,这个词就不存在了。所以来源是0。这就是为什么这个词是空的。万博 尤文图斯
所以我在寻找解决DY DT等于唉。而对于DY解决方万博 尤文图斯案DT等于AY是e将在乘以任何数字。因为右边为0了。这为y尤其如此。让我写。这为y特别,这为y空,或y均匀。
所以这是通用的解决方案。完整的解决方案具有的形式。现在我可以匹配Ÿ等于0Ÿ在t = 0。我把在T等于0,我得到的Y 0 equals-- T等于0,这是1 1所以S1上减去。在t为0,这是1,所以加C.所以,现在我知道C是什么。和通知,C不仅是Y的0,因为有时候过去。C是0减去这个收率
你现在准备好了吗?在满足初始条件的情况下,得到完整的解?所以现在我要——以正确的形式。这告诉我C必须是什么。所以我把它放进去,我有这个解决方案。
吨的y为e是ST S1上减去,该容易,加上现在C.,C是S1上减去的减去0 1 Y。这就是我们所需要的。次;对在。这就是我们的答案。这就是我们的答案。
我可以使它看起来更好一点。我想要。我想单独拿出一部分0的y,这只是从最初的条件越来越多的部分,根据从源项未来的一部分。所以,我只想把这个一起。
所以,我有相同的S减去以下。下面是一个电子上述ST。我有一个减号,即1 S1上减去一,次;对在。然后,我有这个词,这是越来越多。那么,这是真的好。这是最初的沉积物的生长出的部分。
我使用的,再次,钱额外存款,E到ST的银行。这是从那些后来的存款来的一部分。起始部分,并从那里传来的一部分。因此,这是,再次,一个空的解决方案。E的多个到所述。
这又是一个特殊的解决方案。请记住,不只是一个特定的解决方案。任何解决方案是一种特定的解决方案。这是,我认为那是非常特殊的解决方案。由于它具有很好的特性,它从0开始。
因此,一个T等于0,这是1减1,我得到0,所以我会打电话使y副总裁。我将介绍那些信,而不是标准时,该部分。而且那么y均匀,或y为null,是这一部分。好。问题解决了。该指数增长以这种方式,初始条件直接增长的方式。好。
这个问题的解决,是一个例外。现在我必须采取与异常一分钟。唯一的例外是公式击穿如果s等于一。如果s等于,我被0.我的公式将分崩离析。这就是共振的情况。因此,让我把在这里,S等于一个。共振。
而我们总是有期待,这是一个可能性,那我们把钱用相同的指数为钱的自然生长,或任何我们正在成长。而我们的配方必须改变。你说什么,你可能会说这是无限的,因为我除以0。
但是请注意以上的部分也为0如果s等于一,这是e将ST减去e将在。这些都是一样的。所以,我有0/0的情况。我的公式打破,但还没有消退。它需要更多的思考。共振的情况下,需要中场休息我已经明白这是什么,当s等于一。
让我告诉你它是什么。然后你说明为什么。所以这种情况下享有平等一。所以,如果s等于一,则Y非常特别加y零空间。因此,它是必须有不同的形式这个非常特别的解决方案。
这是表格。出现因子t。你只需要学会通过这个因素来识别共振,所以这将是at的一个t e。a和s现在是一样的,所以s不会出现。这就是从0开始的解,它来自输入。这是从0的y开始并增长的部分。
所以你看,最终,这将是更大的一个。共振的情况下,它变得像e将在,带T的那一点点额外的增长。好。所以现在我有在特殊情况下的解决方案也,当s等于。好吧。
你想知道如何来的这一点为s接近?让我带三分钟告诉你这一点。这是洛必达法则。你从微积分,记0/0,处理的方式是由这个人的名字,L'总医院叫什么?医院,我猜。大概医院法语。
你这个0/0的表达。这是两件事情的比率。顶部去0,当s都到了,因为这些变得相同。底部将0当s都到了。而right-- L'总医院的很酷的想法是,你得到同样的答案,如果你把衍生品的比例。
所以L'总医院说,取前的衍生物的比率减去derivative--哦,由该衍生物的底的划分。然后令s去到底。好。所以我要借此衍生,我必须得接受一个导数为s。经常在微积分,这是一个X.这是一个s。没什么大不了的。
这样衍生is--你拿导数为s。我们将带来down--啊,来这里的吨。S的衍生物是T E到ST。而这件事的导数是1,现在我设s去。嗯,这很容易让我们一起去到现在。这件事接近于。我的的T E在极限。
所以,洛必达法则是这个公式的共鸣背后的原因。但是,我再次强调,期望因子T,当你有这样的共鸣。好。所以这是可能的最佳右边e将ST的解决方案。好吧,也许最好是一个常数。第二个最简单的是一个指数。接下来,会正弦和cosigns。这是下一个讲座。谢谢。
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