从系列:微分方程与线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
积分因子Ë-在相乘的微分方程,Y” = AY + Q,得到衍生物的Ë-在y: 准备集成。
好。这是我们的一阶线性微分方程,你看到了这里最后一眼。该DY dt为唉,这就是利率在银行例子越来越多。y是我们的总余额。和t q是我们的存款或取款。
只有一个零钱。我们允许利率a随时间变化。这是我们以前没见过的。现在我们将得到一个公式。这将是一个公式,我们以前有当a是常数。现在我们来看看。看起来有点混乱,但关键是,这是可以做到的。我们可以用一种新的方法解那个方程。
所以这是真正的另一点。大家到底喜欢这些整合的因素。我将其称之为米让我告诉你它是什么以及它是如何工作的。它是什么,是解决空方程,用减号。以减号。DM DT平等减去以旧换新。没有源项。我们可以解决这个方程。
如果是constant--,我会继续的话会,因为这是一个简单的,可识别的公式。如果是一个常数,我们正在寻找的功能M导数为负我。并且函数e,在零下。
微分带来下来减去我们想要的。如果被改变,我们仍然可以解决这个方程。它仍然是负东西指数。但是,我们所拥有的,当我把M的衍生放到这里,导数将回落。所以,我想的这里的积分。然后将积分的导数是负一,下来,因为它应该。
所以,我想减的积分。而且我可以介绍虚拟变量,说一件T的dT,只是为了让符号的外观权。好。你看到了,再次,男的导数总是以指数。它总是呈指数倍的衍生指数的。和指数的导数是减去。因为微积分基本定理,如果我整合,并采取及其衍生物,我又得到了。而且它是一个我想要的。
现在,为什么我要这个M?它是如何工作的?这就是M成功的原因。看M乘以y的导数,这是一个积。所以我将使用产品规则。我得到y乘以M的导数,然后得到M乘以y的导数,但是M的导数是tM的-a,所以我最好把M的导数是tM乘以y的-a。
但是,你有什么我来到这里?分解出一个M,这只是DY DT减去唉,DY DT减AY为q。所以,当我分解出男,我只是有Q值。总之,这是M倍Q值。你看,我的微分方程不能看起来更好。乘以m使得它只是告诉我们,一个衍生物是右侧。为了解决这个方程,我们只是整合两侧。
所以如果你允许我采取这一步,把两边积分,看看我得到了什么,这将给我们一个公式,当我们在常数情况下,我们知道的公式,当t变化时,我们从未见过的公式。然后我来举个例子。让我马上做个例子。
假设一件T的,而不是被不断,越来越大。经济是真的恶性通货膨胀。采取例如,如果一件T的是,让我们说,2T。利率开始很低,向上移动,然后增长将越来越快,随着时间的推移。而这将是2T的积分?
2t的积分是t平方,在这种情况下,M是e到-a的t平方。对不起,已经没有了。a只是2t.e到负t的平方。加上减号,它下降得很快。再过一分钟,我们会有一个加号,我们会看到增长。你看到这是t的a恰好是2t时的积分因子吗?
好 啊。现在我回到这个方程,对两边进行积分得到答案。好 啊。好吧。我的积分,导数的积分,导数的积分只是t的t y的M减去0的y的M。这是左边的积分。在右边,我有M乘以q的积分,从0到t。
再次,我打算把在积分变量不同在t只是为了让事情简单一点。好。所以,现在我已经得到了y的公式。它涉及到M.实际上,在y由M相乘,我更鸿沟by--首先,做我们记住什么M 0是什么?
这是0的生长因子。只有一个。什么都没发生。这是我们公式中0的指数,M的0是1。这就是M的起点。所以0的M是1。我可以把它取下来。
好 啊。现在——哦,让我把它放在另一边,这样就等于y等于0加上。好 啊。现在如果我除以M,我就知道答案了。这些就是台阶。找到积分因子。做积分,现在很容易,因为我有一个完美的导数,它的积分我只需要积分。然后放入M,除以它,得到y。
好 啊。所以我除以m。那么1除以m是什么?嗯,M在指数中有个负号。1米以上有加号。这里有e到负t的平方。M上的1等于e加上t的平方。
所以,当我用M分,我得到的T年。这将是1以上M。这将是e将加0。吨的DTý这就是空溶液的积分。这是不断发展的0 Y的出来我有解决方案,现在再加上从0到t记〜的积分,我被M.,这就是E要加0积分划分为次q第的膳食补充剂。
好 啊。哦,等一下。我除以m,我在那里得到了m。哦,等一下。我还没拿到呢。所以我想知道时间s的M除以时间t的M是什么?这是从0到s的积分,这是从0到t的积分,两者都是指数。
我能在这里说吗?这是一个e到-,除以M是从0到t的积分,然后乘以e减去从0到s的积分。指数的规则是,如果我有两个指数的乘积,我把指数相加。当我把这个加进去时,这个就去掉了积分的下半部分。剩下的是从s到t的积分。
因此,这是一个不可分割的负的积分。让我做我们的榜样。在我们的例子在这里。当a是等于2T吨的Example-- M将be--,这是一个例子等于2T。第一次,我们已经能够应对不同的利率。所以2T的积分为t的平方。从曲风是E要平方吨。我减去下限,S平方。这就是生长因子。
这是从时间s到时间t的生长因子。当一个是恒定的,即指数只是一个时间t减去秒。这告诉我们时间。但现在,一个是变化和S之间的生长因子和T为e到T平方减去小号平方。所以这就是在这里发生的事情。让我 - 那就是成长的因素。
可我只是把它放在这儿?在这个例子中,它的E到T的平方减去小号平方。相反,e将一件T减去S的,现在我个人有T的平方减去小号平方,因为我有一个T的积分,并且不恒定了。这是我的榜样。我不知道如果你喜欢这个公式。我能再形容呢?
这是从0到t一个整体,这样就会be--这部分将通过电子邮件向平方吨。这就是生长因子相乘的初始保证金。该生长因子相乘后存款为e,将n的平方减去小号平方。我们允许存款一路从s等于0到t。所以,当我们添加这些了,我们得到的总和。
我们解了一个以前无法解的方程。这是微分方程的一个小小的胜利。无可否认,很小。我宁愿把话题放在非线性方程上,我们还没有接触过。这是件大事。谢谢您。
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