从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
线性方程组包括日/日=y、 日/日= -y、 日/日=2TY。方程日/日=ÿ*ÿ是非线性的。
好。那么,这第一个视频的想法是告诉你的到来,给一个什么样的合理了解常微分方程轮廓。而该系列的很大一部分将在第一阶方程和视频二阶微分方程视频。这些都是你看到的大部分应用程序的人。而这些都是可以理解和解决的,当你很幸运。
所以第一阶方程装置一阶导数来代入公式。所以这是一个很好的公式,我们将解决,我们会花很多时间。微分is--这y--的的变化而变化的未知y--率随着时间的推移向前一部分从取决于解决方案本身。这是一个微分方程的想法,它与函数y连接的变化,因为它是。
然后,你还要输入称为T的Q,其自己生产的变化。他们进入系统。他们成为Y的一部分。他们成长,衰退,振荡的T还什么年。所以这是与右手侧的线性方程,具有输入,一个强迫项。
这里是一个非线性方程。y的衍生物。斜率取决于年。所以这是一个微分方程。但是ÿF的为Y的平方超过Ÿ立方或y的正弦或y的指数。因此,它可能是非线性的。线性意味着我们会看到Y本身。在这里,我们不会。那么,我们就来非常接近得到一个解决方案,因为它是一个一阶方程。而最普通的一阶方程,函数将依赖于T和y。 The input would change with time. Here, the input depends only on the current value of y.
我可能会认为Y的为钱存在银行,越来越多的,腐朽的,振荡。或者我可能会认为Y的作为在弹簧上的距离。很多来申请。
好。因此,这些都是一阶微分方程。和二阶具有二阶导数。二阶导数的加速度。它告诉你的曲线弯曲。
如果我有一个曲线图,我们所知道的一阶导数给出了曲线的斜率。难道是往上走?难道下去?它是一个最大?
二阶导数告诉你图的弯曲度。如何偏离直线。这就是加速度。所以牛顿定律——我们都生活在其中的物理学——就是加速度是某种力。还有一种力,再一次,线性地,这是一个关键字,依赖于y,只依赖于y的第一次幂。
这里是一点点的一般方程。在牛顿定律,加速度由质量相乘。因此,这包括这里物理常数,质量。
然后可能会有一些阻尼。如果我有运动,都可能有摩擦减缓下来。依赖于一阶导数,速度。
再有可能是同一种强迫项的依赖于ÿ本身。而且可能会有一些外力的作用下,一些是创造运动的人或机器。外部强迫项。
所以这是一个大方程式。让我说,在这一点上,我们让事情是非线性的。我们有很好的机会。如果我们让它们是非线性的,二阶的几率就降低了。我们走得越远,就越需要线性,甚至常数系数。m、 b,和k,这就是我们能解决的问题,当我们擅长它时,它是一个线性方程,二阶,比如说,具有常数系数。但这几乎推动了我们所能做的,明确地,真正地理解解,因为常数系数是线性的。再说一遍。这是很好的方程。
我认为在两个方面的解决方案。万博 尤文图斯如果我有一个非常好的功能,就像一个指数。指数是微分方程的巨大作用,在这一系列的巨大功能。你会一遍又一遍地看他们。指数。牛逼equals--电子商务说F至第t。或E的欧米茄吨。或E到我欧米茄吨。i是减1的平方根。
在这种情况下,我们会得到解决类似不错的功能。这些都是最好的。我们得到了一个功能,我们知道像指数。而我们得到的解决方案,万博 尤文图斯我们知道。
第二个最好的是我们得到了一些功能,我们不知道特别。在这种情况下,解决方案可能涉及的F不可分割的,或F的两个积分。我们有这方面的公式。该公式包括:积分,我们必须做的,无论是看它还是做数字。
然后当我们得到完全非线性的函数,或者我们有变系数,然后我们要进行数值计算。所以,实际上,这门课的广度,广度部分最终都是数值解。但是你有一大堆的视频,有很好的功能和解决方案。万博 尤文图斯
好。所以这是第一顺序和第二顺序。现在,有更多的,因为系统不通常由只是单个电阻器或一个春天。在现实中,我们有很多的方程。我们需要处理这些。
所以y现在是一个向量。y1,y2,到yn。不同的未知。n个不同的方程。这是n方程。这是一个n乘n的矩阵。所以这是第一道菜。常数系数。这样我们就可以去某个地方了。但它是一个n个耦合方程组。
所以这是一个与第二导数。该溶液的二阶导数。但同样,Y1至Yn。我们有一个矩阵,通常是对称矩阵存在,我们希望,乘以年。
如此反复,线性。常系数。但一些公式一次。而这将在特征向量的想法带来。特征向量是线性代数,使这些问题简单的键位,因为它变成这个耦合问题的成n脱开的问题。n个第一阶方程,我们可以分别解决。或N二阶微分方程,我们可以单独解决。这是与矩阵的目的是为了解开他们。
好。然后真的这个问题的一大现实是,解决方案和数字非常有效地发现。万博 尤文图斯而且还有很多东西需要学习有关,很多东西需要学习。和MATLAB是一流的包装,让你有许多选项数值解。万博 尤文图斯
其中一个选项可能是最喜欢的。ODE常微分方程4 5.这是数字4,5,好了,克里夫·莫勒尔,谁写的包MATLAB,将创建一系列平行视频说明朝数值解的步骤。
这些措施一开始就有一个非常简单的方法。也许我会把创作者的名字了。欧拉。所以,你可以知道,因为欧拉数世纪以前,他没有一台电脑。但他近似的简单方法。所以欧拉可能是ODE 1,而现在我们已经离开欧拉后面。欧拉是好的,但不够准确。
ODE 45,即图4和5表示一个更高的准确性,更大的灵活性该包中。因此,与欧拉开始,克里夫·莫勒尔将解释说,达到一个真正的主力包几个步骤。
所以这是一个平行的系列赛里,你会看到代码。这将是一个粉笔黑板系列,在那里我会发现指数形式的解决方案。万博 尤文图斯如果可以,我想通过达到偏微分方程结束这个系列。
我在这里写一些偏微分方程,你们知道它们的意思。这是我希望达到的目标。
所以,一个偏微分方程是杜dt--你看到的部分derivatives--是二阶导数。所以我现在有两个变量。时间,我总是有。这里是X的空间方向。这就是所谓的热方程。这是一个非常重要的常系数,偏微分方程。
所以PDE,从ODE不同。所以我写下一个。u的二阶导数是相同的右手侧在x方向上的二阶导数。那被称为波动方程。
这就像时间上的一阶方程。就像一个大系统。实际上,它就像一个无限大的方程组。时间上的第一顺序。或是二阶时间。热量方程。波动方程。
而且我想也包括拉普拉斯方程。那么,如果我们到达那里。因此,这些都是超越常微分方程中的一些课程系列的最终目标。但这里的主要目的是给你的基本微分方程,我们可以解决和理解的标准清晰的画面。
嗯,我希望一切顺利。谢谢。
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