从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
的求和规则,产品规则,和链式法则产生从的衍生物新衍生物十n个,罪(十)和e类十.微积分基本定理说,整体反转衍生物。
好吧,好吧,我们开始了。我认为值得考虑一下我们所知道的。微积分。微分方程是微积分的一个重要应用,所以了解微积分的哪一部分,从微积分中得到什么信息和什么思想,在微分方程中得到实际应用是很有趣的。我要向你们展示我所看到的,这并不是一切,它是一些基本的想法,但不是所有你学到的细节。所以我不是说忘掉这些,而是专注于重要的事情。
好 啊。所以你需要的微积分是我的主题。第一件事,你真的需要知道基本的导数。x对n的导数,正弦和余弦的导数。最重要的是,e对x的导数,也就是e对x的导数,e对x的导数,就是e对x的导数,这是e对x求解的奇妙方程,Dy dt等于y。
我们必须做更多这一点。然后,相关指数的反函数是对数。用的1 / X特殊衍生物。好。但是你知道这些。其次,走出那几个具体的事实,你可以创建使用密钥规则功能的巨大阵列的衍生物。
˚F加克的衍生物是导函数f的加衍生物克。衍生物是线性运算。该产品规则FG素加GF素。该商数规则。谁能够记得吗?
最重要的是,链式法则。该衍生物的this--的函数链的,即复合函数是导函数f相对于克倍衍生物克关于x。这是真的 - 它的链的功能,真正炸开的功能,或者我们可以应对。
好。然后基本定理。因此,基本定理涉及导数和积分。它说,一个是反向操作其他。一个函数的积分的衍生物是这样的。
这里是y和积分从0到X我不在乎虚拟变量是什么。我can--我会说哑变量更改为吨。随你。我不在乎。要显示的虚拟变量。
该x是集成的极限。我不会讨论基本定理,但可以肯定的是根本性的,我会使用它。也许这就是更好的。我将使用基本定理的时候了。
所以——但是记住上面说的。它说,如果你取一个函数,把它积分,取导数,再把函数取回来。好吧,我可以把它应用到,真的-,我把它看作微分方程中的一个关键例子。让我来告诉你我在想什么。我想到的函数,我称之为y,是从0到t的间隔。
所以它是t的函数,时间,它是这个的积分,e到t减去s,一些函数。这是一个解基本微分方程的显著公式。
所以用这个,这解决了方程DY DT等于y加的T Q值。所以,当我看到这个等式,我们将再次看到它,我们就会得出这个公式,但现在我只想用微积分基本定理检查公式。什么是我们created--,我们得出formula--以及它不会是错误的,因为我们的推导就会好的。但同时,这将是很好的,我只是觉得,如果你插在,到微分方程它的解决。
好的,我想取它的导数。那是我的工作。这就是为什么我在这里这么做,因为它使用了所有的规则。好的,求导,我注意到t出现在通常的地方,它也在积分里面。但这是一个简单的函数。
我可以把e带到,积分外面。所以我有一个函数t乘以另一个函数。
我将使用该产品的规则,并表明该产品的衍生物是任期将是Y和其他条款将是Q值。我可以只适用于该产品的规则这个功能,我已经帽子的拉出,但你会再次看到它。OK所以它的这个时候,这的产物。因此,衍生DY DT is--产品规则说走衍生物 - 这是e将 - 。
另外,第一件事时代衍生的第二个。现在,我使用的是产品的规则。它just--你必须通知,电子和T来过两次,因为它的存在和它的衍生物是一样的。现在好了,有什么的,该衍生品?微积分基本定理。
我们整合了一些东西,我想利用它的衍生物,所以我得到的东西。我得到E要T的负TQ。这就是基本定理。你是好与?
因此,让我们去看看我们有什么。第一项正是年。究竟是因为上面当我把衍生第一的家伙,在F它并没有改变,所以我还有年。有什么我 - 我该怎么也来了?e将t次e将减t是一个。
所以e等于t,e等于-t,剩下的q就是我想要的。所以乘积法则中的两个项就是微分方程中的两个项。我只是认为,正如你们所看到的,基本定理需要在那里找到盒子里的东西的导数,就是括号里的东西。我只是喜欢用基本定理。
好的,再来一个微积分的话题。我们走吧。所以它涉及到图的切线。这与图表相切。
所以这是一条直线,我们需要的是,y加上delta,这是任意的函数,也许你更愿意我称之为函数f,在t的某个点上的函数,大概是t的函数加上修正,因为它,加上delta,对吧?δf。
什么是增量˚F约?这是在t大约增量t次的导数。That--有很多在该行的符号,但它表达了微分学最基本的事实。如果我把的T使得f在这一侧有一个减号,那我也三角洲F。如果我通过ΔT的划分,那么相同的规则,说这是大约DF DT。
这是微积分的基本思想,该衍生物是相当接近。在该点处的T--衍生物在点t是接近的ΔF由增量吨划分。它改变了一个短的时间间隔。OK所以这是切线,因为它开始与这常数项。这是三角洲t的函数,这就是斜坡。
只是画一幅画。所以我在这里画画。因此,让我画图哦〜的有电子商务到T的图表。因此,它启动了坡1.让我给它一点坡度在这里。
OK the tangent line, and of course it comes down here Not below. So the tangent line is that line.
这是切线。这就是这种近似到f。而你看到的我 - 这里是T等于0让我们说。而这里的T以下三角洲吨。你可以看到,如果我走了一大步,我行远离曲线。
我们想靠近一点。所以我们要想更接近它,必须考虑到弯曲。曲线弯曲了。什么导数告诉我们弯曲?
这是δt平方乘以二阶导数。一半。原来有一半在里面。所以这是一个将切线改为抛物线的项。它注意到了那一点的弯曲。二阶导数。
因此,它向上弯曲。它不遵循它完美,而是因为well--比其他的要好得多。因此,这是该行。这里是抛物线。这里是功能。真正的一个。
好。我不会检讨理论有它翻出那一半,但你可以检查一下。现在最后,如果我们想要做得更好?好了,我们需要考虑到三阶导数,然后四阶导数等,如果我们得到了所有这些衍生品的话,所有的人这意味着,我们将在功能,因为这是一个不错的功能,E到T.我们可以重新从知道它的高度,它的斜率,其弯曲和条款的其余所有该功能。
所以还有很多,无限多的术语。一比二——一比二,一半的好方法,是一比二,二乘一。因为这是一个n阶阶乘,乘以t到n阶,很小,乘以函数的n阶导数。继续前进。
这就是所谓的泰勒命名的泰勒级数。令人恐惧的一种在第一。因为它有无穷多的方面这是可怕的。和术语越来越多一点comp--对于大多数功能,你真的不想计算n阶导数。
对于E到T,我不介意计算n阶导数,因为它仍e将T,但通常that's--这不是那么实用。- 很实用。切线抛物线,相当实用。高阶项,实用less--少得多。
但配方是美丽的,因为你看到的格局,这真的是关于模式数学是什么,在这里你看到的更高,更高的条件格局。他们都适合这种模式,当你把所有的条款,如果你有一个很好的功能,那么近似变得完美,你就必须平等。
因此,要结束这个演讲,近似等于只要我们有一个很好的功能。而这些都是数学和指数的最好的功能就是其中一个当然的。确定这是微积分。好吧,微积分的一部分。谢谢。
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