好了,是时候继续讨论二阶方程了。一阶方程,我们做得很仔细。二阶方程难度更大。但它们出现在自然界中,出现在每一个应用中,因为它们包括一个加速度,一个二阶导数。
OK,所以这将是一个二阶,因为二阶导数。我经常将有一个恒定的,b和c。我们有没有让那些变化足够困难了。所以A,B,C常数,和做空的解决方案开始。后来,就会有在右侧带有强迫项。但今天,这个视频,空的解决方案。万博 尤文图斯
关键是,现在,新的是有两个空解。所以y null是e的组合,它们都是指数。这里的常数意味着解的指数。所以e代表和指数,另一万博 尤文图斯个代表a,希望是不同的指数。有时,如果s1等于s2,这是一个特例,我们会有一个微小的变化。但这是典型的。
所以在零解中有两个常数,c1和c2。我们需要两个初始条件来确定这些常数。万博 尤文图斯
所以,以前,一阶方程,我们得到的0Ÿ现在,当我们有了加速,我们给出的初始速度,0我可以用黄金Y的主要作为衍生的简写?0Ÿ主要是dydt,在0。
于是两个条件将在合适的时间,确定这两个常量。而刚刚在说一遍,所以二阶导数为Y双撇。并表示,在物理学,它代表了速度acceleration--变化,y中主要的变化,为y双撇。
在一个函数的图中,y双素数出现在图的弯曲处。因为弯曲是坡度的变化。弯曲是坡度的变化。斜率是y素数,一阶导数。所以为了测量y素数的变化,这会使曲线弯曲,我的粉笔是一条切线。但如果这改变了,就得到一个y双素数,一个二阶导数。
好吧,我准备举几个例子。第一个例子,物理和工程中最基本的运动方程,我会说,它叫做简谐运动。b是0,这是关键点。b是0。
这是牛顿定律。所以a就是质量m.y双素数,二阶导数。b是0。稍后,b将是阻尼项,摩擦项,阻力项。但我们还是要0。所以我们会有永动机,这里。加上力,这就是牛顿定律。ma是f,f等于ma。力是成比例的,有一个负号,所以它在这边是正的,和y成比例,这是方程。
没有Ÿ总理任期。我的双引号,加KY等于0。从初始位置开始,和初始速度,它就像一个弹簧上上下下,或钟摆来回。我们会看到它,所以它要be--好了,我们要解决这个等式。
那么我们能找到解决办法吗?万博 尤文图斯所以如果m和k是1,假设m和k是1。我在找一个二阶导数,加上函数是0。二阶导数是负函数。我马上想到正弦t,余弦t,正弦和余弦,因为二阶导数,正弦的一阶导数是余弦。二阶导数是负正弦。这里是负号,那里是加号,0。所以这里的特殊解是-,这是空的。我正在寻找无效的解决方案。就是,让我把它们称为c1乘以余弦。
现在我要算出什么的余弦?我想要余弦满足,作为一个零解,满足我的方程。让我把它放进去。如果k的平方根在mt上。
而且你必须看到,如果我走了余弦的两种衍生物,即会产生负的余弦值,这是我想要的。正因为如此,链会带出这个平方根的两倍。因此,它会带出了米系数k y的双撇。这个因素,K过米,M的将取消,我将有一个比赛中K k个。这是一个解决方案。
而其他的解决办法就是喜欢它。这是正弦波。ķ超过M,T的这个平方根的正弦。这是值得投入的盒子四周。这就是我的自由谐运动的意思。东西只是振荡。在旋转的问题,一些只是要围绕以恒定的速度一圈。
注意,这些和那些不一样。余弦与指数有关,但不完全相同。所以我可以这样写答案,用余弦和正弦。或者如你所见,我可以用指数,复指数写出同样的公式。每个人都记得这里允许复数的大公式是欧拉公式,ωt的指数是余弦加上ωt的正弦,我再写一遍。
这就是解决办法。它有两个空解。他们是独立的。它们是不同的。我们有两个常数。因为万博 尤文图斯我们的方程是线性的,我们可以安全地乘上任何常数,然后加上解,它们保持解,因为我们有一个线性方程,右边是0。很好。
当然,我们不能永远把k的平方根写在m上。让我做每个人都做的事——介绍欧米茄。这是欧米茄天然的。这里的n代表自然频率,时钟的频率。这是k除以m的平方根。
所以我们的方程,我们可以重写。让我重写那个方程式,使之简单化。我要除以m,没问题,除以m,得到y双素数,加上k除以m,这是ωn的平方,自然频率的平方。y等于0。让我们在那个周围放个盒子,因为你再好不过了。
常数a是1。常数b为0。常数c是已知的ωn的平方,这取决于钟摆本身。好的,然后解决方案,我复制这个解决方案。y空是ωnt的c1余弦。当然,欧米茄是那个方形的。ω-nt的c2正弦。万博 尤文图斯
哦,好吧,等一下。我能从初始条件中找出c1和c2是什么,对吧?初始条件,如果我插入t等于0,那么我想得到答案y为0。已知的初始条件,摆开始摆动的位置,弹簧的位置,你拉动弹簧的距离y为0。你放手吧。
在t等于0时,我插入t等于0,在t等于0时,就是0。忘记正弦。这是1。所以我发现c1应该是y的0。很简单。c1是0的y。因为这给了我正确的答案,t等于0。
c2呢?我能查到c2吗?这将涉及到初始速度,在t等于0时的导数。因为正弦的导数是余弦,在t等于0时等于1,所以它的导数是正弦,即0。所以当我看y素数,导数时,我看t等于0。我想要0的y素数。
但我不只是想为0做Ÿ黄金你看到的是没有合适的衍生物,在t等于0?因为当我走衍生物和欧米茄N--是恒定的,你还记得constant--的衍生物,这将带出一个欧米伽ñ。所以,我有更好的欧米伽ň到这里来取消它。现在我知道了。
这告诉我运动,直到永永远远。能量是恒定的。势能加动能,我可以对能源说话。但我不会。该议案永续,免费谐运动。OK,它的推移和。好。再次,我可以在复指数方面写这篇文章。但我与形式非常高兴。它是很难被击败这种形式。
好吧,那你在这里还能做什么呢。首先,我们要有一段时间的余弦ωt。我最好把那个简单熟悉的函数画出来。这是余弦ωt的图,这是t,这是ω的余弦。这是0。这是2——好吧,让我看看我得到了什么。
所以我去的欧米加余弦,欧米茄的T余弦就是我画,而不是余弦吨。余弦T公司将去0-2 PI。但我有欧米茄的T余弦。因此,欧米茄的T余弦是我要绘制什么。因此,它从1开始,并且它回来。它下降,回来了,回来1.但是,什么是这件T决赛?期间,此t是振荡的周期。这是花费摆动上去和返回的时间。请问是什么原因?这将be--所以我绘图欧米茄的T余弦,就是我作图。
所以ωt从0开始,这里t是0。它上升到-,所以我想要ωt,当我到这里,这个ωt应该是2π。正确的?然后我完成了余弦,一个绕圆的旋转,一个摆来回的运动,现在在那张照片里。好吧,那么欧米茄t是2π,对吧?正确的。
周期是t,我认为ω是圆频率。欧米茄的单位是弧度每秒。那是单位。而单位确实很重要,要保持跟踪。ω,这是ω,弧度每秒,当我乘以周期,t秒,我得到2π弧度。
好了,在工程师和日常使用中,还有一个频率叫做f,可能是频率。好的,你应该知道f,它的频率是赫兹。所以f的单位是赫兹,H-E-R-T-Z,以那个人的名字命名。不是番茄酱的家伙,但是——哦,不管怎样,那是海因茨。很抱歉。
赫兹——我想说的不是车,而是那个德国佬,他很早就参与了这件事。那么f是什么?f乘以t等于1。与计算弧度的2pi不同,1只计算完整的循环,完整的振荡。所以f比已知的ω小2倍。所以f乘以t等于1。f是1/t,ω是2/t,所以把这些放在一起,我要说的是,ω是f的2/t。
所以,当我们说我们得到60 cycles--所以这就是我会衡量TF。˚F将是周期的,是每秒周期。一个周期,pi第2个弧度。这是不是又大又重的数学。但它比很多数学更重要,只要直接拨打这些信件。
所以有大写的T,周期,和两个频率度量。一个是以弧度/秒表示的欧米茄,另一个是以全周期/秒表示的f。所以一个是另一个的2π倍。很好。好 啊。我们有这个。好 啊。
我认为我们已经拿到了钥匙的想法在这里,那么,对于非受迫性运动,纯振荡回事,直到永远。而让我写什么我已经提到。一种不同的方式来表达YN将与小C的,电子的我OMEGA新台币。和C2 E要负我OMEGA新台币。
我要说的是,这个形式,带指数,完全等同于这个形式,带余弦和正弦。这是两个常数,大写C1和C2。这个形式允许我两个常数,一个和c2。从那以后,我有了这个。从这里,我得到了这个。所以我们这里确实有指数。关键的信息是,对于纯振荡,这些指数是纯虚指数。
好吧,这是最好的例子,最简单的例子,第一个例子。谢谢。
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